專題19三角形一、三角形的角平分線、中線和高【高頻考點精講】1、從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高。2、三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與交點間的線段叫做三角形的角平分線。3、三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線。4、三角形有3條中線，3條高線，3條角平分線，它們都是線段。【熱點題型精練】1．（2022?玉林）請你量一量如圖△ABC中BC邊上的高的長度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm解：過點A作AD⊥BC于D，用刻度尺測量AD的長度，更接近2cm，答案：D．2．（2022?杭州中考）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（）A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線 C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線解：A、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，本選項說法正確，符合題意；C、線段AD不是△ABC的BC邊上高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、線段AD不是△ABC的AC邊上高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；答案：B．3．（2022?江門模擬）如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（）A．B．C．D．解：在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是B，答案：B．4．（2022?西安模擬）如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝8，點D是BC邊上的中點，連接AD，若△ACD的周長為20，則△ABD的周長是（）A．16 B．18 C．20 D．22解：∵點D是BC邊上的中點，∴BD＝CD，∵△ACD的周長為20，∴AC+AD+CD＝20，∵AC＝8，∴AD+CD＝AD+BD＝12，∵AB＝10，∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝22，答案：D．5．（2022?菏澤模擬）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分別為AB邊上的高和中線，若∠DCE＝20°，則∠BAC的度數為35°或55°．解：如圖：∵∠ACB＝90°，CD、CE分別為AB邊上的高和中線，∠DCE＝20°，∴∠CEA＝70°，CE＝EB，∴∠CBA＝35°，∴∠BAC＝55°，如圖：∵∠ACB＝90°，CD、CE分別為AB邊上的高和中線，∠DCE＝20°，∴∠CEA＝70°，CE＝EB，∴∠BAC＝35°，答案：35°或55°．6．（2022?上海模擬）如果一個三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜邊AB＝10，則它的周長等于10+102或65+10解：分兩種情況：①如圖所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD=12AB設BC＝a，AC＝b，則a2解得a+b＝102或a+b＝﹣102（舍去），∴△ABC的周長為102+②如圖所示，Rt△ABC中，AC=12設BC＝a，AC＝b，則a2解得：a=45∴△ABC的周長為65+綜上所述，該三角形的周長為10+102或65+答案：10+102或65+二、三角形的面積【高頻考點精講】1、三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△＝×底×高。2、三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分。【熱點題型精練】7．（2022?桂林中考）如圖，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則△ABC的面積是（）A．3+22 B．1+2 C．22解：如圖，過點A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD=2AC＝22∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠B＝∠DAB，∴AD＝BD＝2，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴DE＝CE，∴AE=12CD∴△ABC的面積=12?BC?AE=12×答案：D．8．（2022?遂寧中考）如圖，D、E、F分別是△ABC三邊上的點，其中BC＝8，BC邊上的高為6，且DE∥BC，則△DEF面積的最大值為（）A．6 B．8 C．10 D．12解：如圖，過點A作AM⊥BC于M，交DE于點N，則AN⊥DE，設AN＝a，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴DE8∴DE=43∴△DEF面積S=12×=12×4=?23a2=?23（a﹣3）∴當a＝3時，S有最大值，最大值為6．答案：A．9．（2022?常州中考）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是2．解：∵E是AD的中點，∴CE是△ACD的中線，∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面積是1，∴S△ACD＝2S△AEC＝2，∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD＝S△ACD＝2．答案：2．10．（2022?錦州中考）如圖，A1為射線ON上一點，B1為射線OM上一點，∠B1A1O＝60°，OA1＝3，B1A1＝1．以B1A1為邊在其右側作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1＝60°，C1D1與射線OM交于點B2，得△C1B1B2；延長B2D1交射線ON于點A2，以B2A2為邊在其右側作菱形A2B2C2D2，且∠B2A2D2＝60°，C2D2與射線OM交于點B3，得△C2B2B3；延長B3D2交射線ON于點A3，以B3A3為邊在其右側作菱形A3B3C3D3，且∠B3A3D3＝60°，C3D3與射線OM交于點B4，得△C3B3B4；…，按此規律進行下去，則△C2022B2022B2023的面積為36×(解：過點B1作B1D⊥OA1于點D，連接B1D1，B2D2，B3D3，分別作B2H⊥B1D1，B3G⊥B2D2，B4E⊥B3D3，如圖所示：∴∠B1DO＝∠B1DA1＝∠B2HD1＝∠B3GD2＝∠B4ED3＝90°，∵∠B1A1O＝60°，∴∠DB1A1＝30°，∵B1A1＝1，OA1＝3，∴DA1=∴B1∴tan∠O=B∵菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1＝60°，∴△A1B1D1是等邊三角形，∴∠A1B1D1＝60°，B1D1＝A1B1＝1，∵∠A1B1D1＝∠OA1B1＝60°，∴OA1∥B1D1，∴∠O＝∠B2B1D1，∴tan∠B設B2D1＝x，∵∠B2D1H＝60°，∴HD∴B1∴52x+1∴B2∴A2同理可得：B3D2∴A3由上可得：AnBn∴S△答案：3611．（2022?宜賓中考）《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S=14[c2a2?(c2解：根據a：b：c＝4：3：2，設a＝4k，b＝3k，c＝2k，則4k+3k+2k＝18，解得：k＝2，∴a＝4k＝4×2＝8，b＝3k＝3×2＝6，c＝2k＝2×2＝4，∴S=14[答案：315．三、三角形三邊關系【高頻考點精講】1、三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊。2、只要兩條較短的邊長之和大于第三邊的長度就可以判定這三條線段能構成一個三角形。【熱點題型精練】12．（2022?西藏中考）如圖，數軸上A，B兩點到原點的距離是三角形兩邊的長，則該三角形第三邊長可能是（）A．﹣5 B．4 C．7 D．8解：由題意知，該三角形的兩邊長分別為3、4．不妨設第三邊長為a，則4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7．觀察選項，只有選項B符合題意．答案：B．13．（2022?淮安中考）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9解：A、∵3+3＝6，∴長度為3，3，6的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；B、∵3+5＜10，∴長度為3，5，10的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；C、∵4+6＞9，∴長度為4，6，9的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；D、∵4+5＝9，∴長度為4，5，9的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；答案：C．14．（2022?南通中考）用一根小木棒與兩根長分別為3cm，6cm的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm解：設第三根木棒長為xcm，由三角形三邊關系定理得6﹣3＜x＜6+3，所以x的取值范圍是3＜x＜9，觀察選項，只有選項D符合題意．答案：D．15．（2022?益陽中考）如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：長為6的線段圍成等腰三角形的腰長為a．則底邊長為6﹣2a．由題意得，2a＞6?2a6?2a＞0解得32＜所給選項中分別為：1，2，3，4．∴只有2符合上面不等式組的解集．∴a只能取2．答案：B．16．（2022?河北中考）平面內，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（）A．1 B．2 C．7 D．8解：∵平面內，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形，∴1+d+1+1＞5且1+5+1+1＞d，∴d的取值范圍為：2＜d＜8，∴則d可能是7．答案：C．17．（2022?德陽中考）八一中學九年級2班學生楊沖家和李銳家到學校的直線距離分別是5km和3km．那么楊沖，李銳兩家的直線距離不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km解：當楊沖，李銳兩家在一條直線上時，楊沖，李銳兩家的直線距離為2km或8km，當楊沖，李銳兩家不在一條直線上時，設楊沖，李銳兩家的直線距離為xkm，根據三角形的三邊關系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，楊沖，李銳兩家的直線距離可能為2km，8km，3km，答案：A．18．（2022?哈爾濱中考）在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是80或40度．解：當△ABC為銳角三角形時，如圖，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；當△ABC為鈍角三角形時，如圖，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．綜上所述，∠BAC＝80°或40°．答案：80或40．19．（2022?東營中考）如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB，∠BOC＝40°，則∠AOC的度數為100°．解：∵AC∥半徑OB，∴∠OCA＝∠BOC＝40°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠OCA＝180°﹣40°﹣40°＝100°．答案：100°．四、三角形內角和定理與外角性質【高頻考點精講】1、三角形的內角和等于180°。2、三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等。3、三角形外角的性質（1）三角形的外角和為360°。（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。（3）三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角。【熱點題型精練】20．（2022?北京模擬）如圖，直線AB∥CD，連接BC，點E是BC上一點，∠A＝15°，∠C＝27°，則∠AEC的大小為（）A．27° B．42° C．45° D．70°解：∵AB∥CD，∠C＝27°，∴∠ABE＝∠C＝27°，∵∠A＝15°，∴∠AEC＝∠A+∠ABE＝42°，答案：B．21．（2022?西安模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分線，BF平分∠ABC與AE的反向延長線相交于點F，則∠BFE為（）A．35° B．40° C．45° D．50°解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=12∠∵AE平分∠DAB，∴∠EAB=12∠∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝90°，∴∠EAB﹣∠ABF＝45°，∴∠BFE＝∠EAB﹣∠ABF＝45°，答案：C．22．（2022?漳州模擬）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，則α﹣β＝45度．解：如圖，∵∠C＝30°，∠DBF＝45°，∴β＝∠C+∠DBF＝75°，∵∠DFC＝90°，∴α＝∠DFC+∠C＝120°，∴α﹣β＝120°﹣75°＝45°，答案：45．23．（2022?北京中考）下面是證明三角形內角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°．已知：如圖，△ABC，求證：∠A+∠B+∠C＝180°．方法一證明：如圖，過點A作DE∥BC．方法二證明：如圖，過點C作CD∥AB．證明：方法一：∵DE∥BC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；方法二：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，∴∠B+∠ACB+∠A＝180°．五、全等三角形的判定與性質【高頻考點精講】1、三角形全等的判定（1）三組對應邊分別相等的兩個三角形全等(SSS)。（2）有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS)。（3）有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA)。（4）有兩角及一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS)。2、全等三角形的性質（1）全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。（2）全等三角形的周長、面積相等。（3）全等三角形的對應邊上的高對應相等。（4）全等三角形的對應角的角平分線相等。（5）全等三角形的對應邊上的中線相等。【熱點題型精練】24．（2022?成都中考）如圖，在△ABC和△DEF中，點A，E，B，D在同一直線上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個條件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D解：∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴當添加∠C＝∠F時，可根據“ASA”判定△ABC≌△DEF；當添加∠ABC＝∠DEF時，可根據“AAS”判定△ABC≌△DEF；當添加AB＝DE時，即AE＝BD，可根據“SAS”判定△ABC≌△DEF．答案：B．25．（2022?淄博中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC邊上，過△ABD的內心I作IE⊥BD于點E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9解：如圖，連接AI，BI，CI，DI，過點I作IT⊥AC于點T．∵I是△ABD的內心，∴∠BAI＝∠CAI，∵AB＝AC，AI＝AI，∴△BAI≌△CAI（SAS），∴IB＝IC，∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，∴△IDT≌△IDE（AAS），∴DE＝DT，IT＝IE，∵∠BEI＝∠CTI＝90°，∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），∴BE＝CT，設BE＝CT＝x，∵DE＝DT，∴10﹣x＝x﹣4，∴x＝7，∴BE＝7．答案：B．26．（2022?湘西州中考）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中點，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，∠B=∠MCGBM=CM∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當GH最小時，即MH⊥AB時四邊形ACGH的周長有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，答案：B．27．（2022?湖北中考）如圖，已知AB∥DE，AB＝DE，請你添加一個條件∠A＝∠D，使△ABC≌△DEF．解：添加條件：∠A＝∠D．∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中，∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（ASA），答案：∠A＝∠D．（答案不唯一）28．（2022?日照中考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，4），P是x軸上一動點，把線段PA繞點P順時針旋轉60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是2．解：如圖，在第二象限作等邊三角形AOB，連接BP、AF，過點B作BP′⊥x軸于點P′，∵將線段PA繞點P順時針旋轉60°得到線段PF，∴∠APF＝60°，PF＝PA，∴△APF是等邊三角形，∴AP＝AF，∠PAF＝60°，∵△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，在△BAP和△OAF中，AB=AO∠BAP=∠OAF∴△BAP≌△OAF（SAS），∴BP＝OF，∵P是x軸上一動點，∴當BP⊥x軸時，BP最小，即點P與點P′重合時BP＝BP′最小，∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，∴BP′=12OB∴OF的最小值為2，答案：2．29．（2022?深圳中考）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝25，連接CE，以CE為底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE邊上的一點，連接BD和BF，且∠FBD＝45°，則AF長為354解：將線段BD繞點D順時針旋轉90°，得到線段HD，連接BH，延長HE交BC于G，∴△BDH是等腰直角三角形，∴∠HBD＝45°，∵∠FBD＝45°，∴點B、F、H共線，又∵△EDC是等腰直角三角形，∴HD＝BD，∠EDH＝∠CDB，ED＝CD，∴△EDH≌△CDB（SAS），∴EH＝CB＝5，∠DHE＝∠CBD，∴∠BGH＝∠BDH＝90°，∴HE∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴ABEH∵AE＝25，∴35∴AF=3答案：3430．（2022?溫州中考）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當AB＝AC時，請判斷CD與ED的大小關系，并說明理由．（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．31．（2022?懷化中考）如圖，在等邊三角形ABC中，點M為AB邊上任意一點，延長BC至點N，使CN＝AM，連接MN交AC于點P，MH⊥AC于點H．（1）求證：MP＝NP；（2）若AB＝a，求線段PH的長（結果用含a的代數式表示）．（1）證明：過點M作MQ∥BC，交AC于點Q，如圖所示：在等邊△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等邊三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，∠QPM=∠CPN∠QMP=∠N∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等邊三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP=12∵AB＝a，AB＝AC，∴PH=1232．（2022?北京中考）在△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內一點，連接BD，DC，延長DC到點E，使得CE＝DC．（1）如圖1，延長BC到點F，使得CF＝BC，連接AF，EF．若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；（2）連接AE，交BD的延長線于點H，連接CH，依題意補全圖2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示線段CD與CH的數量關系，并證明．（1）證明：在△BCD和△FCE中，BC=CF∠BCD=∠FCE∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由題意補全圖形如下：CD＝CH．證明：延長BC到F，使CF＝BC，連接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．33．（2022?資陽中考）如圖，在△ABC中（AB＜BC），過點C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，連接DE、DB．（1）求證：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝25，求△BCD的面積．（1）證明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，AB=EC∠ABC=∠ECD∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，設BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝25，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（25）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合題意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE=B∴S△BCD=12BC?DE∴△BCD的面積為10．六、等腰（等邊）三角形的判定與性質【高頻考點精講】1、等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性質：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）；③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）3、等邊三角形的概念：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。4、等邊三角形的性質：①等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°；②等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸；③等邊三角形的內角平分線垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸。【熱點題型精練】34．（2022?淮安中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AC的中點，若AB＝10，則DE的長是（）A．8 B．6 C．5 D．4解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E為AC的中點，∴DE=12答案：C．35．（2022?淄博中考）某城市幾條道路的位置關系如圖所示，道路AB∥CD，道路AB與AE的夾角∠BAE＝50°．城市規劃部門想新修一條道路CE，要求CF＝EF，則∠E的度數為（）A．23° B．25° C．27° D．30°解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C=12∠DFE答案：B．36．（2022?宜賓中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的點，DE∥AB交AC于點E，DF∥AC交AB于點F，那么四邊形AEDF的周長是（）A．5 B．10 C．15 D．20解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴?AFDE的周長＝AB+AC＝5+5＝10．答案：B．37．（2022?鎮江中考）如圖，點A、B、C、D在網格中小正方形的頂點處，AD與BC相交于點O，小正方形的邊長為1，則AO的長等于（）A．2 B．73 C．625解：如圖：連接AE，由題意得：AE∥BC，AD=32+∴AD＝DE＝5，∴∠DAE＝∠DEA，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，∴∠DOC＝∠DCO，∴DO＝DC＝3，∴AO＝AD﹣DO＝5﹣3＝2，答案：A．38．（2022?寧波中考）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，E為BD上一點，F為CE中點．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長為（）A．22 B．3 C．23 D．4解：∵D為斜邊AC的中點，F為CE中點，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，∴BD=12AC＝答案：D．39．（2022?張家界中考）如圖，點O是等邊三角形ABC內一點，OA＝2，OB＝1，OC=3，則△AOB與△BOCA．34 B．32 C．33解：將△AOB繞點B順時針旋轉60°得△CDB，連接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等邊三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（3）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，∴△AOB與△BOC的面積之和為S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD=34×1答案：C．40．（2022?蘇州中考）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為6．解：∵等腰△ABC是“倍長三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，則△ABC三邊分別是6，6，3，符合題意，∴腰AB的長為6；若BC＝3＝2AB，則AB＝1.5，△ABC三邊分別是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此時不能構成三角形，這種情況不存在；綜上所述，腰AB的長是6，答案：6．41．（2022?岳陽中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，若BC＝6，則CD＝3．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，答案：3．42．（2022?鄂州中考）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點，AD與BE相交于點P，若BD＝CE＝2，則△ABP的周長為42+1877解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABD=∠C∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一點F使CF＝CE＝2，則BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴APBP設BP＝x，則AP＝2x，作BH⊥AD延長線于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH=x2，BH∴AH＝AP+PH＝2x+x2在Rt△ABH中