第02講比例線段J【知識梳理】一.比例的性質（1）比例的基本性質：組成比例的四個數，叫做比例的項.兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內項.（2）常用的性質有:則且也=山,bd則三竺=±^

bld則且也=山,bd則三竺=±^

bldbd③分比性質.若包=￡bd④合分比性質.若包=￡,則曳也=5bda-bc-d⑤等比性質.若包=￡=???=&"+d+…+〃wo),則a+c+??????bdn b+d+ tnn二.比例線段（1）對于四條線段〃、b、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如ab=〃（即以/=A）,我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系.三.黃金分割（1）黃金分割的定義：A如圖所示，把線段A8分成兩條線段AC和3C（AOBC）,且使AC是A3和3C的比例中項（BPAB：AC=AC：BC）,叫做把線段45黃金分割，點C叫做線段A3的黃金分割點.其中AC="5-1A人0.61803,并且線段AB的黃金分割點有兩個.2（2）黃金三角形：黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值.黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72。，頂角為36。.這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：蟲二1；②等腰三角形，兩個底角為36。，頂角為108。；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金21200000cm故選：B.【點評】本題考查比例線段，比例尺的定義，解題的關鍵是熟練掌握比例尺性質，屬于中考常考題型.21.（2020秋?靜安區期末）已知線段->滿足空工=三，求三的值.x-yyy【分析】先根據比例的基本性質得到y（2x+y）=x（x-y）,可得，-3xy-『=0,再把》當作已知數,解關于x的方程即可求得三的值.y【解答】解：???絲三=3,x-yy（2x+y）=x（x-y）,貝Ux2-3xy-『=0,解得xi=f1。'y,X2=AJI。1）,（負值舍去）.2 2故衛的值為旦兔里.y2【點評】考查了比例線段，關鍵是熟練掌握比例的基本性質，得到％=生票y是解題的難點.（2023?金山區一模）下列各組中的四條線段成比例的是（ ）A.Icm,2cm,3cm,4cm B.2cm,3cm,4cm,5cmC.2cm,3cm,4cm,6cm D.3cm,4cm96cm,9cm【分析】根據比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案.【解答】解：A、???1X4W2X3,???四條線段不成比例，不符合題意；8、???2X5W3><4,???四條線段不成比例，不符合題意；C、???2義6=3><4,???四條線段成比例，符合題意；。、???3X9W4X6,J四條線段成比例，不符合題意；故選：C.【點評】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷.TOC\o"1-5"\h\z（2021秋?黃浦區期末）4和9的比例中項是（ ）A.6 B.±6 C.— D.—9 4【分析】根據比例的基本性質：兩外項之積等于兩內項之積求解.【解答】解：根據比例中項的概念結合比例的基本性質得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積.設它們的比例中項是X,則7=4X9,解得x=±6.故選：B.【點評】本題考查了比例中項的概念：當比例式中的兩個內項相同時，即叫比例中項.求比例中項根據比例的基本性質進行計算.(2021秋?奉賢區校級期中)已知：線段〃、b、c,且包上345(1)求竺生的值；3c(2)如線段。、b、c滿足3。-4>5c=54,求的值.【分析】⑴設且=上=￡=匕則。=3攵，b=4k,c=5k,代入所求代數式即可；345(2)把〃=3匕b=4k,c=5Z代入3a-4/?+5c=54求出七把攵值代入所求代數式即可.【解答】解：設包=上=￡=上345則a=3k,b=4k,c=5k,⑴軟+2b_3k+8k_llk_H.3c15k15kl5；(2)???3a-40+5c=54,A9k-16女+25左=54,解得：k=3,*.a-2b+c=3k-8攵+5k=0.【點評】本題主要考查了比例線段，設旦=2=￡=攵得到。=3攵，b=4k,c=5Z是解決問題的關鍵.34525.(2021秋?寶山區校級月考)已知〃、b、c是△ABC的三邊長，且包=衛=￡#0,求：546(1)空之的值.3c(2)若△ABC的周長為90,求各邊的長.【分析】(1)設義=上=￡=攵，易得a=5k,b=4k,c=6k,然后把它們分別代入空之中，再進行分式

546 3c的運算即可；(2)根據三角形周長定義得到5Z+4Z+6左=90,解關于Z的方程求出七然后計算5晨4%和6k即可.【解答】解：（1）設包=上=￡=攵，則。=54，b=4k,c=6k,546所以2a+b10k+4k=7；3c18k 9'（2）5Z+4攵+6攵=90,解得。=6,所以q=30,/?=24,c=36.【點評】本題考查了比例線段：對于四條線段。、6、c、力如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如。：b=c：d（即0/=兒），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.三.黃金分割（共7小題）TOC\o"1-5"\h\z26.（2023?長寧區一模）已知P是線段A5的黃金分割點，且AP〉3尸，那么越巫的值為（ ）BPA b3+V^q D+]? 2 ? 2 ? 2 ? 2【分析】利用黃金分割的定義，進行計算即可解答.【解答】解：???尸是線段A3的黃金分割點，且尸，BP.V5-1? 9AP2AP=2=返+1?1 ―― I I,BP^5-1 2?AP-BP_AP?一下^一而=立+1一I2=V54-1-22=&-1I I,2故選：C.【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵.27.（2022秋?徐匯區期末）已知點P、點Q是線段A3的兩個黃金分割點，且A8=10,那么尸。的長為（）A.5（3-a/5）B.10（^5一2）C.5（返-1）D.5（返+1）【分析】先由黃金分割的比值求出BP=AQ=5（J0-1）,再由進行計算即可.【解答】解：如圖，：點P、Q是線段A8的黃金分割點，AB=10,：.BP=AQ^：.PQ=AQ+BP-AB=\O（V5-1）-10=10（泥-2）,故選：B.ApOB【點評】本題考查了黃金分割：把線段A3分成兩條線段AC和5C（AO5C）,且使AC是A3和5C的比例中項（即A&AC=AC：BC）,叫做把線段AB黃金分割，點。叫做線段A3的黃金分割點，熟記黃金比是解題的關鍵..（2021秋?金山區期末）如果點尸是線段的黃金分割點，且"<BP,那么空的值等于（ ）BPA.錚B.匹-1

2C〉+1

.2【分析】由黃金分割的定義得空=里，即可得出答案.BPAB【解答】解：:點尸是線段A8的黃金分割點（APVBP）,爬-1.APBP2爬-1.APBP2BPABAB^-75-1 - ，2故選：D.【點評】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關鍵..（2022秋?嘉定區期中）已知點A、B、。在一條直線上，AB=1,MAC2=BCMB,求AC的長.【分析】分三種情況：當點C在線段A3上，當點C在線段A3的延長線時，當點C在線段區4的延長線時，然后分別進行計算即可解答.【解答】解：分三種情況：當點。在線段AB上，如圖：TOC\o"1-5"\h\z■■■—A C B9：AC2=B^AB9???點。是A3的黃金分割點，.MC="5-1A3='5-1義1="5-1；\o"CurrentDocument"2 2 2當點。在線段A3的延長線時，如圖：設AC=x,設AC=x,貝1J3C=AC-1,x2=(x-1)*1,整理得：x2-x+l=0,???原方程沒有實數根；當點C在線段E4的延長線時，如圖：-???-C A B設AC=x,則BC=AC+AB=x+l,vac2=bcmb,.??/=(x+l)7,整理得：x2-x-1=0,解得：隕=互應，切=上應(不符合題意，舍去)，2 2???AC的長為出口區；2綜上所述，AC的長為運二1或上正.2 2【點評】本題考查了黃金分割，分三種情況討論是解題的關鍵.30.(2022秋?寶山區校級月考)已知點C在線段A3上，且滿足AC2=ab?5C(1)若A3=l,求AC的長；(2)若AC比大2,求A5的長.【分析】(1)根據已知可得點C是線段A3的黃金分割點，從而可得然后進行計算即2可解答；(2)根據已知可設AC=x,貝i18C=x-2,從而可得AB=2x-2,然后根據可得f=(2%-2)(x-2),從而進行計算即可解答.【解答】解：(1)???點C在線段AB上，且滿足4。2=4爐8。???點C是線段A5的黃金分割點，：.AC=^~^AB=^,2 2???-C的長為:5-1；2-AC比8c大2,???設AC=x,則8C=x-2,：.AB=AC+BC=2x-29vac2=ab*bc,.*.?=⑵-2）（x-2）,解得：xi=3+J^,X2=3-（舍去），AAB=2x-2=2a/5+4,：.AB的長為2y+4.【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵.（2020秋?閔行區期末）古希臘藝術家發現當人的頭頂至肚臍的長度（上半身的長度）與肚臍至足底的長度（下半身的長度）的比值為“黃金分割數”時，人體的身材是最優美的.一位女士身高為154cm,她上半身的長度為62c加，為了使自己的身材顯得更為優美，計劃選擇一雙合適的高跟鞋，使自己的下半身長度增加.你認為選擇鞋跟高為多少厘米的高跟鞋最佳？（ ）A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm【分析】她下半身的長度為92c〃z,設鞋跟高為x厘米時，她身材顯得更為優美，利用黃金分割的定義得到X^^O.618,然后解方程即可.92+x【解答】解：???一位女士身高為154c加，她上半身的長度為62cm,???她下半身的長度為92cm,設鞋跟高為x厘米時，她身材顯得更為優美，根據題意得工^^0.618,92+x解得不?8.3（cm）.經檢驗x=8.3為原方程的解，所以選擇鞋跟高為8厘米的高跟鞋最佳.故選：C.【點評】本題考查了黃金分割：把線段分成兩條線段AC和8c（AOBC）,且使AC是A3和5c的比例中項（即A&AC=AC：BC）,叫做把線段A5黃金分割，點。叫做線段A3的黃金分割點.其中AC-0.618A8,并且線段A8的黃金分割點有兩個.也考查了解分式方程.（2019秋?嘉定區校級月考）已知：如圖，線段A5=2, 于點8,且3。=匕3,在D4上截取2DE=DB.在A3上截取AC=AE.求證：點。是線段48的黃金分割點.A C B【分析】在直角中根據勾股定理計算出4。=。虧，KiJAE=AD-DE=45-h再利用畫法得到AC=AE=4^-1,即ac=Y$二然后根據黃金分割的定義得到點C就是線段A8的黃金分割點.2【解答】證明：???A3=2,BD=LaB,2???8QJ_A8于點5,???AO=Jab2+Bd2=立'：.AE=AD-DE=45-1，：.AC=AE=45-1，???AC=、/5工―2???點。就是線段AB的黃金分割點.【點評】本題考查了黃金分割：把線段分成兩條線段AC和3C（AOBC）,且使AC是A5和BC的比例中項（即A&AC=AC：BC）,叫做把線段A3黃金分割，點。叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=』5-1A嶺。618AH并且線段AB的黃金分割點有兩個.2【過關檢測】【過關檢測】一、單選題L（2022秋?上海崇明?九年級校考期中）已知三個數1,2,0,如果再添上一個數，使它們能組成一個比例式，那么這個數不可以的是（）— B.氈 C.V3 D.2732 3【答案】C【分析】能否構成一個比例式，根據”兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段〃判斷即可.【詳解】A.2xYL1xG，能組成一個比例式，不合題意；^5x73=1x2,能組成一個比例式，不合題意；31,2,6，G，不能組成一個比例式，符合題意；26x1=2x6，能組成一個比例式，不合題意；故選：C【點睛】本題考查了成比例的線段，熟知：兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段.2.（2022秋?上海浦東新?九年級?？计谥校┫铝懈鹘M線段中，成比例線段的組是（）A.0.2cm,0.3cm,4cm,6cm B.1cm,3cm,4cm,8cmC.3cm,4cm,5cm,8cm D.1.5cm,2cm,4cm,6cm【答案】A【分析】根據比例線段的定義可各選項分別進行判斷即可.【詳解】解：A、0.2x6=03x4,是成比例線段，故本選項符合題意；B、Ix8w3x4,不是成比例線段，故本選項不符合題意；C、3x8w4x5,不是成比例線段，故本選項不符合題意；D、L5x6w2x4,不是成比例線段，故本選項不符合題意.故選：A【點睛】本題考查了比例線段：對于四條線段。、氏。、人如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d（即〃=A），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.3.（2022秋?上海?九年級校考期中）已知線段b是線段。、。的比例中項，如果q=4,c=9,那么線段b的長為（）9A.— B.6 C.±6 D.364【答案】B【分析】利用比例中項的平方等于兩個外項的積，進行計算即可.【詳解】解：由題意，得：b1=tzc=4x9=36,0Z?>O,0Z?=6；故選B.【點睛】本題考查比例選段.熟練掌握比例中項的平方等于兩個外項的積，是解題的關鍵.（2021秋?上海青浦?九年級?？计谥校┮阎€段〃、b、c、d,如果= 那么下列式子中一定正確的是（）TOC\o"1-5"\h\za b a b a d a cA.=- B.—=- C.—=— D.—=一c d d c c b b d【答案】B【分析】把各個選項的比例式轉化為乘積式，可得結論.【詳解】解：A、由3=9推出〃=歷，本選項不符合題意；caahB、由-；=-推出ac=X本選項符合題意；acC、由幺=：推出加巴本選項不符合題意；cbD、由f=；推出〃=兒，本選項不符合題意.ba故選：B.【點睛】本題考查比例線段，比例的性質，解題的關鍵是掌握比例的性質.（2022秋?上海松江?九年級?？计谥校┮阎cC是線段A3上的一個點，且BC是AC和A3的比例中項，則下列式子成立的是（ ）aBCV5-1 0BCV5-1 「ACV5-1nAC布+1AB2 AC2 AB2 BC2【答案】A【分析】設AB=1,BC=x,則AC=1—x,由比例中項得出代入解一元二次方程即可解答.【詳解】解：設AB=1,BC=x,則4C=l—x,E18C是AC和A3的比例中項，0BC2=AC-AB,即12=i—%,0jc2+x-l=0,解得：（舍去），即=避二1,2 , 2 2回AC=1_@Z1=三立，2 20生=避二1,故A符合題意；AB2生=叵1+土衛|=叵"，故B不符合題意；AC生=上避，故C不符合題意;AB24￡=更二1,故d不符合題意;BC2故選：A.【點睛】本題考查比例中項、線段的比、解一元二次方程，熟知比例中項的定義是解答的關鍵.6.（2023?上海寶山?一模）已知線段。、6.（2023?上海寶山?一模）已知線段。、b,2a-3h【答案】Cq+Z?=52a-3h【答案】Cq+Z?=5a+b5C. =—a2D.【分析】根據比例的性質進行判斷即可.【詳解】解：A、由〃山=2:3,得3〃=2。，故本選項錯誤，不符合題意；B、當。=4,Z?=6時，。:。=2:3,但是a+b=10,故本選項錯誤，不符合題意；C、由。:人=2:3,得T= 故本選項正確，符合題意；a2D、當。=4,Z?=6時，。:〃=2:3,但是產|= 故本選項錯誤，不符合題意.0+28故選：C.【點睛】本題考查了比例的性質及式子的變形，用到的知識點：在比例里，兩外項的積等于兩內項的積,比較簡單.二、填空題（2022秋?上海普陀?九年級統考期中）若二=￡，則"2的值為【答案】|x2【分析1由一=1，設x=2匕y=3-Zw0）,然后再代入求解即可；y3x2【詳解】解：0-=t,設元=2「y=3網女=0）,y3x+y2攵+3攵50—— =一,y3k3故答案為：【點睛】本題考查比例的性質，設工=2后0=3々。0）是解題關鍵.（2021秋?上海?九年級?？茧A段練習）在比例尺為1:60000的地圖上A、3兩處的距離是4cm,那么A、比：逅工2（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長之比確切值為由二1.2【考點剖析】一.比例的性質（共15小題）.（2018秋?浦東新區期中）已知3x=5y（yWO）,則下列比例式成立的是（ ）A,三=s B.A=y C.A=1D.A=y3y 53 y5 35【分析】直接利用比例的性質得出X,y之間關系進而得出答案.【解答】解：4、匹=回，可以化成：孫=15,故此選項錯誤；3yB、匹=工，可以化成：3光=5y,故此選項正確；53。、A=l,可以化成：5x=3y,故此選項錯誤；y5D、三=工，可以化成：5x=3y,故此選項錯誤.35故選：B.【點評】此題主要考查了比例的性質，正確掌握比例的基本性質是解題關鍵..（2023?青浦區一模）已知三個數1、3、4,如果再添上一個數，使它們能組成一個比例式，那么這個數可以是（ ）A.6 B.8 C.10 D.12【分析】根據比例的性質分別判斷即可.【解答】解：1：3=4：12,故選：D.【點評】此題主要考查了比例的性質，正確把握比例的性質是解題關鍵..（2023?普陀區一模）已知三x+y=10,那么x-y=2.y2 '【分析】直接利用已知代入求出y的值，即可得出x的值，進而得出答案.【解答】解：???三萼，x+y=10,y2E3?y,則■^_y+y=10,

乙解得：y=4,B兩處實際距離是km.【答案】2.4【分析】設A、8兩處的實際距離是xcm,根據比例尺的定義列式計算即可得解，然后再化為千米即可.【詳解】解：設A、3兩處的實際距離是xcm,根據題意得：4:x=l:60000解得：x=240000,240000cm=2.4km,故答案為：2.4.【點睛】本題考查了比例，主要利用了比例尺的定義，計算時要注意單位之間的換算.（2021秋?上海?九年級校考階段練習）已知（x+y）:y=l:2,則1：丁的值為.【答案】一；/-0.5【分析】根據比例的基本性質，求得y=-2x,即可得到答案.【詳解】解：（a（x+y）：y=l：2,E]2（x+y）=y,解得V=-21，^\x:y=--,故答案為：-不【點睛】此題考查了比例，熟練掌握比例的基本性質是解題的關鍵.（2023?上海嘉定??？家荒＃┤绻?〃=3匕（。、〃都不等于零），那么字二 .b【答案】1/2.5/21【分析】直接利用已知把。，人用同一未知數表示，進而計算得出答案；【詳解】解：-2a=3h（外人都不等于零），回設a=3x,貝U匕=2x,Fb>a+b3x+2x5那么 ;—b2x2故答案為：*—.【點睛】此題主要考查了比例的性質，正確表示出人的值是解題關鍵.（2021秋?上海青浦?九年級?？计谥校┮阎€段。=4厘米、c=9厘米，如果線段〃是線段。和b的比例中項，那么線段6=厘米.【答案】v【分析】根據比例中項的定義得到。/，然后利用比例性質計算即可.【詳解】解：團線段。是線段。和b的比例中項，^c:a=a:b,即9:4=4:/?,716財=—.9故答案為：【點睛?】本題考查了比例線段：對于四條線段。、b,c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如=（即〃=慶），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.特別的是若c：Q=〃:。，則。是。和〃的比例中項.（2023?上海金山?統考一模）如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖A到地面底部3的距離是468米，第二球體點P處恰好是整個塔高的一個黃金分割點（點A、B、尸在一直線），且族AAP,那么底部3到球體P之間的距離是米（結果保留根號）【答案】（234石—234）【分析】根據黃金分割的定義，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比.項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比.【詳解】解：團點尸是線段上的一個黃金分割點，且AB=468米，BP>AP.回族=X468=（2346-234）米.故答案為：（23475-234）.【點睛】本題考查了黃金分割的概念，熟記黃金分割的定義是解題的關鍵.（2023?上海楊浦?統考一模）已知點P是線段MN的黃金分割點（A〃〉NP）,如果MN=10,那么線段MP=.【答案】5百-5/-5+5指【分析】根據黃金分割點的概念列式求解即可.【詳解】解：團點尸是線段的黃金分割點，MP>PN,MN=1。,0PM=^^MN=^^xlO=5石一5,2 2故答案為：5a/5-5.【點睛】此題考查了黃金分割點的概念，解題的關鍵是熟練掌握黃金分割點的概念.把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叵【叫做黃金比.2（2023?上海崇明?統考一模）點P是線段的黃金分割點，如果MN=10cm,那么較長線段叱的長是cm.【答案】（56-5）【分析】根據黃金分割點的定義，得到處=墾1,求解即可.MN2【詳解】解：由題意，得： 必二1,即：的=避二1,TOC\o"1-5"\h\zMN2 10 20MP=（5V5-5）cm；故答案為：（55/5-5）.【點睛】本題考查黃金分割點.熟練掌握黃金分割點的定義，是解題的關鍵.（2021秋?上海普陀?九年級?？计谥校┮阎?不那么（D：。= .h2 一【答案】L3【分析】根據:設〃=3%*=2攵，代入計算即可.b2【詳解】解：b2團設a=3匕b=2k,0（a-b）：a=（3k-2k）:3k=1:3故答案為：1：3【點睛】本題主要考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解答本題的關鍵.(2022秋?九年級單元測試)已知線段點C是線段A3的黃金分割點，則線段AC等于cm【答案】(逐-1)或(3-6)【分析】分AC>3C、ACVBC兩種情況，根據黃金比值計算即可.【詳解】當AO3C時，AC二無匚x2二石-12當ACV3C時，AC=AB-^^~AB=2—=3-52回線段AC的值為：75-1(cm)或3-逐(cm).故答案為：V5-1(cm)或3■石(cm).【點睛】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比值是解題的關鍵.(2022,上海?九年級專題練習)我們知道，兩條鄰邊之比等于黃金分割數且二1的矩形叫做黃金矩2形.如圖，已知矩形A5CO是黃金矩形，點石在邊5c上，將這個矩形沿直線AE折疊，使點3落在邊AO上的點尸處，那么￡尸與CE的比值等于.【答案】史上12【分析】根據折疊的性質以及矩形的性質可證四邊形ABEb是正方形，可得EF=BE,進一步即可求出石尸與CE的比值.【詳解】解：根據折疊，可知AB=AFBE=FE,在矩形ABC。中，0BAF=0B=9O°,的4匹=45°,團BA=BE,^\AB=BE=EF=FA,又EBB=90°,回四邊形ABM是正方形,^\ef=be=ab9回矩形ABC。是黃金矩形,"75-10—=- ,BC2^EF_V5-1_V5+1EC-2-(75-1)—2，故答案為：回L2【點睛】本題考查了黃金分割，矩形的性質，正方形的判定和性質，熟練掌握黃金分割是解題的關鍵.(2020秋?上海?九年級上外附中?？茧A段練習)如圖，在A4BC中，的內、外角平分線分別交47?AR胡及其延長線于點E^BC=2.5AC,則f+ ADAE【分析】根據CD是E1ACB的平分線，由三角形的面積可得出黑=箓，可得出當=喀絲①；由CEAC DAACDC1 40召是回acb的外角平分線,得出標=就,進而得出京=二^②,兩式相加即可得出結論.【詳解】解：12CD是團ACB的平分線,°ABDCBD,S8BDCADS.DCBCAC門BDBC回——=——ADACBD+DABC+AC°ABDCBD,S8BDCADS.DCBCAC門BDBC回——=——ADACBD+DABC+AC0 = DAACABBC^AC

AD~~AC-①;0CE是回ACB的外角平分線,BEBC回 二 AEACBE-AEBC-ACniIABBC-AC回 = ,BJ一二 AEACAEAC②;①+②，得ABABBC+ACBC-AC2BC 1 ADAEAC-+-ACAC=2x25=5故答案為：5.【點睛】此題主要考查了比例的應用，熟練掌握比的性質是解答此題的關鍵.三、解答題（2020秋?九年級?？颊n時練習）已知線段AB=10cm,點C是AB上的黃金分割點，求AC的長是多少厘米？【答案】（5右一5）cm或（15-56）cm【分析】根據黃金分割點的定義，知AC可能是較長線段，也可能是較短線段；則AC=避匚~xl0=5百-5或AC=10-（575-5）=15-575.2【詳解】解：根據黃金分割點的概念，應有兩種情況，當AC是較長線段時，AC=或二1x10=5石-5;2當AC是較短線段時，則AC=10-（5百一5）=15-575.故答案為：（56一5）cm或（15-5石）cm.【點睛】本題考查了黃金分割點的概念.注意這里的AC可能是較長線段，也可能是較短線段；熟記黃金比的值是解題的關鍵.（2021秋?上海徐匯?九年級上海市徐匯中學?？茧A段練習）已知3T=：，求的值.2344x-y-z【答案】11【分析】通過設女法，設;W= 則x=23y=3k,z=4Z,再利用消元的思想代入分式求值.【詳解】解:設沁=*,則x=21,y=3&,z=4k,5x-y+z5x2%—3Z+4Z..4x-y-z~4x2k-3k-4k~*【點睛】本題主要考查求分式的值，熟練掌握消元的思想是解決本題的關鍵.2L（2022秋?上海?九年級校聯考階段練習）已知以b、c分別是△ABC的三條邊的邊長，且⑦b：c=5：7：8,3a-2b+c=9,求△ABC的周長.【答案】20【分析】設。=5攵，則"7攵，c=8攵，代入3a-2b+c=9,即可求出攵的值，從而可求出。、b、c的值，最后由三角形周長的計算公式求解即可.【詳解】根據題意可設。=5怎則用7怎c=8羊,彳弋入3q-2/?+c=9,得：3x5左一2x7左+8左=9,解得：k=l,團。=5，b=7,c=8,0AABC的周長=q+加c=5+7+8=20.【點睛】本題主要考查比例的性質.解決此類題目時一般利用〃設女法〃更簡便.（2022秋?上海嘉定?九年級統考期中）已知：；=!=:，且2x-3y+z=-2,求％+y-z的值.【答案】4【分析】設=（=3則x=3匕y=4Z,2=5Z,再根據2x—3y+z=—2求出攵的值，然后得出x,y,z的值，從而得出x+y—z的值.【詳解】解：設；則x=3￡y=4Nz=5Z,代入2x-3y+z=-2,得2.3人一3?4左+5%=—2,解得k=2,「.x=6,y=8,z=10,??.x+y-z=6+8-10=4.【點睛】本題考查了比例的性質，解題的關鍵是設;=?=：=攵，得出攵的值.（2021?上海?九年級專題練習）梯形ABCD中，AD//BC,對角線AC和BD相交于點0,Gi和G2分別為三角形AOB和三角形COD的重心.（1）求證：GiG2//AD；ah（2）延長AGi交BC于點P,當P為BC的黃金分割點時，求"的值.BCDA0CDA0C【答案】（【答案】（1）證明見解析；（2）AO_逐+1

~BC一_~【分析】（1）連接BQ、CG2并延長交AO、0D于點E、F,連接EF.易得EF為△A。。的中位線，故EG.FG,1EF//AD,根據重心的性質可得寮二K『二J,即所〃GQ2,即可得證；（2）根據點P為黃金分割點，可得生=更二1,再根據中位線的性質即可求解.BC2【詳解】（1）連接BG、CG2并延長交AO、0D于點E、F,連接EF.因為G1、6為三角形AOB和三角形COD的重心,所以點E、F為AO、DO的中點,所以EF為△40。的中位線,所以EF//AD,rEG,FG,1又因為麗―_E可=5所以石/〃G02,所以g?2〃ao.(2)A dP HA dP H因為點P為黃金分割點,所以生=如二1,BC又因為RQ是中位線,所以RQ〃BC,RQ=；BC,因為AD〃PQ,所以或=些=敷△型,ADOAOD2DO所以AQ_所以AQ_6+1~BC~2【點睛】本題考查重心的定義和性質、三角形中位線的性質、黃金分割，掌握重心的性質是解題的關鍵.（2022秋?上海嘉定?九年級校考期中）已知線段x,y.,x+3y3,x ,x+3yxt,、x,,一⑴當 二彳時，求一的值；⑵當 二一時，求一的值.x-y2y x-yyyX X【答案】（1）一=9；（2）二二3.y y【分析】（1）由比例的性質對比例式進行變形，然后去括號、移項、合并同類項可得到x=9y,即可解答;（2）由比例的性質對比例式進行變形從而得到3y2+2xy-x2=0,然后分解得（3y-x）（y+x）=0,即可解答.【詳解】解：⑴由史3 得2（x+3y）=3（x—y）,x-y2即2x+6y=3x—3y,x解得9y=尤，0-=9.yx+3yx⑵由 二一，得y（x+3y）=x（九一y）,x-yy即3y2+2xy-x2=0,用單得x=3y或％=一、（不合題意，舍去），x勺0—=3.y【點睛】本題重點考查比例線段，解答本題的關鍵在于了解比例的性質并且對比例式進行變形.（2020秋?上海寶山?九年級統考階段練習）如圖，點。、E分別在AA5c的邊A3、AC±,DE//BC.（1）若鼠女=2,（1）若鼠女=2,S△BCE=7.5△BDE；⑵右SABDE=m，S8BCE=幾，求Smbc.（用加，〃表示）九2【答案】(1)Sabde=3；(2)SAABC=——n-m【分析】（1）首先設S△加E=X，然后根據三角形的性質同高的三角形面積比等于底的比，和三角形平行線AnAF定理得出=="，列出分式方程，解得即可;DBEC（1）中的面積比等式列出等式，求出Smoe，然后即可求出Smbe_VFC'°ABCE Smbe_VFC'°ABCE 乙JDE//BC，.ADAE'~DB~~EC'S必de=2,Smce~7?5，22+九? — x7.5解得：%=一5(舍)，x2=3,??S耶de=3；qq(2)由(1)知沁=一建BDE、ABCE設smde=y，0S^BDE~m，S^bce~n，m2n-mTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2「 mnn-mn-m?e?SaABC=)%+〃-) =n-mn-m故x=6,刃口么x-y=6-4=2.故答案為：2.【點評】此題主要考查了比例的性質，正確將已知代入是解題關鍵..（2022秋?奉賢區期中）已知I：告=工=32x-3y+4z=33,求代數式3x-2y+z的值.234【分析】設比值為Z,用攵表示出x、y、z,然后代入等式求出生從而得到x、y、z,再代入代數式進行計算即可得解.【解答】解：設三=工=三=匕234則x=2攵，y=3k,z=4Z,???2x-3y+4z=33,???4攵-9攵+16攵=33,解得攵=3,??x=6,y=9,z=12,.\3x-2y+z=3X6-2X9+12=18-18+12=12.【點評】本題考查了比例的性質，利用“設攵法”表示出小y、z求解更簡便.TOC\o"1-5"\h\z.（2022秋?金山區校級期末）根據4〃=54可以組成的比例有（ ）A.2工 B.包上 C.包總 D.2上\o"CurrentDocument"b5 45 b4 5b【分析】根據比例的性質，進行計算即可解答.【解答】解：A、???旦=4,b5，5q=4/?,故A不符合題意；.\5a=4b,故3不符合題意;廠??軟5b4/.4i=55,故。符合題意；【點睛】此題主要考查三角形平行線的性質，解題關鍵是根據比例關系列出等式.26.(2022秋?上海寶山?九年級?？茧A段練習)已知點C在線段A3上，且滿足4^二人8?3。.⑴若求AC的長;⑵若AC比大2,求A6的長.【答案】⑴必二1；2(2)2遙+4【分析】(1)根據已知可得點。是線段A3的黃金分割點，從而可得AC二好二1AS然后進行計算即可解2答；(2)根據已知可設AC%則從而可得A8=2x-2,然后根據AC?二AHBC,可得d=(2x—2)(x—2),從而進行計算即可解答.回點C在線段A3上，且滿足AC2=ab?3C,回點C是線段A3的黃金分割點，^c=2/5jJab=V5-1,2 2EL4C的長為叵°;20AC比BC大2,團設AC=x,則BC=x-29^AB=AC+BC=2x-29^AC2AB-BC,團《?=(2x-2)(x-2),解得：3=3+石,%2=3-6(舍去)，0AB=2x-2=2a/5+4,MB的長為26+4.【點睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵.故。不符合題意.故選：C.【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵.TOC\o"1-5"\h\z6.（2022秋?浦東新區期中）已知包=2,那么上二的值為（ ）b3bA.2 B.2 C.— D.--\o"CurrentDocument"2 3 2 2【分析】利用比例的性質，進行計算即可解答.【解答】解：??,包=2,b3?b-a■?1b_1,3故選：B.【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵.7.（2022秋?嘉定區校級期末）如果2〃=3匕（〃、匕都不等于零），那么生也=立.b一【分析】直接利用已知把①h用同一未知數表示，進而計算得出答案.【解答】解：???2a=3。（〃、。都不等于零），???設a=3x,則b=2x,那么空地=3x+2x=Mb2x2故答案為：立.2【點評】本題考查了比例的性質，掌握正確表示出。，b的值是關鍵.8.（2022秋?奉賢區期中）已知包&二￡,且24-3計c=28,求代數式q+A”的值.257【分析】利用設攵法，進行計算即可解答.【解答】解：設包=電=￡=上257則a=2k,b=5k,c=7k,，4t75-7&=28,解得：k=-7,.\a=-14,b=-35,c=-49,：.a+b-c=-14+（-35）-（-49）=-49+49=0,.二代數式a+b-c的值為0.【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握設攵法是解題的關鍵.9.（2022秋?上海月考）已知〃、b、c分別是△ABC的三條邊的邊長，且a：b：c=5：7：8,3〃-2b+c=9,求△ABC的周長.【分析】設q=5Z,b=7k,c=8比再代入等式3a-2/?+c=9,求出攵的值，從而得到。、b、。的值，然后根據三角形周長公式進行計算，即可得解.【解答】解:設。=5攵，b=7k,c=8k,代入3a-2b+c=9得，15攵-14攵+8攵=9,解得：k=l,則〃=5,b=7,c=8,所以△ABC的周長是：5+7+8=20.【點評】本題考查了比例的性質以及代數式求值，解決此類題目時利用“設女法”求解更簡便.（2022秋?虹口區期中）已知：—^0,且a+0+c=36,求八b、c的值.234【分析】可設且=且=￡=攵（kWO）,可得。=3攵，b=4k,c=5k,再根據a+0+c=36可得關于攵的方程，234解方程求出匕進一步求得。、b、c的值.【解答】解：設＞=2=￡"=420,貝！Ja=3左,b=4k,c=5k9234q+8+c=36,，3攵+4攵+5Z=36,解得％=3,則。=3%=9,/?=4攵=12,c=5k=\5.【點評】此題考查了比例的性質，設女法得到關于人的方程是解題的關鍵.（2021秋?徐匯區校級月考）已知三求5xf+z的值.2344x-y-z【分析1先設三=工=三=匕可得x=2Z,y=3k,z=4k,再把x、y、2的值都代入所求式子計算即可.234【解答】解:設二=工===晨則x=2Z,y=3k,z=4k,2345x-y+z5X2k-3k+4k4x-y-z4X2k-3k-4k【點評】本題考查了比例的性質.解題的關鍵是先假設設三=工=三=鼠可得x=2Z,y=3k,z=4k,降234低計算難度.（2021秋?奉賢區校級期中）已知：a：b：c=3：4：5.（1）求代數式.—b+c的值;2a+3b-c（2）如果3a-b+c=10,求〃、b、c的值.【分析】設。=3攵，b=4k,c=5k,（1）把。=3匕b=4k,c=5Z代入代數式中進行分式的混合運算即可；（2）把。=3匕b=4k,c=5攵代入3a-/?+c=10得到關于左的方程，求出攵，從而得到。、b、c的值.【解答】解：???〃：b：c=3：4：5,???設q=3Z,b=4k,c=5k,⑴3a-b+c9k-4k+5k—10.2a+3b-c6k+12k-5k13,V3a-Z?+c=10,???9攵-4攵+5攵=10,解得k=l,，a=3,b—4,c—5.【點評】本題考查了比例的性質：熟練掌握比例的基本性質（內項之積等于外項之積、合比性質、分比性質、合分比性質、等比性質等）是解決問題的關鍵.（2022秋?奉賢區期中）已知實數。、b、0滿足包工廠，且〃-3>2c=-8.求且乜幺的值.354 2c-3b【分析】設。=3攵，b=5k,c=4k,根據〃-3/?+2c=-8,得攵=2,a=6,b=\0,c=8,即可求出答案.【解答】解：???包&354???設。=3匕b=5k,c=4攵,?：a-3b+2c=-8,：.3k-15k+Sk=-8,:?k=2,??4=6,Z?=10,c=8,?a-2b6-202c~3b16~30【點評】本題考查了比例的基本性質，根據已知條件列方程是關鍵.（2021秋?奉賢區校級期中）已知實數無、）、z滿足三=工=三，且x-2y+3z=-2.求：上L的值.352 2y-3z【分析】設三=