靜電平衡狀態下導體電荷分布的分析

在靜電平衡下，祖母的電壓分布是一個復雜的問題。在普通物理教材中，這一部分的內容只是簡單地解釋和例子。要讓學生清楚和全面理解并會解決分析實際問題,存在一定難度。這里運用導體靜電平衡的性質、電場線的性質、高斯定理,對靜電場中的幾種情況下導體的電荷分布進行定性或定量的分析、舉例,將有助于解決導體在靜電場中的問題。一、導電內部場的強度導體在電場中發生靜電感應現象,達到靜電平衡時,導體內部電場強度處處為零,這是靜電平衡的條件。若導體內部場強不為零,自由電子在電場力的作用下必定作定向運動,那就不是靜電平衡。導體處于靜電平衡時具有如下的性質。1.導電平衡的條件c在導體內或導體表面任取兩點A、B,這兩點間的電勢差為,而滿足靜電平衡的條件是導體內部場強為零E=0,場強的線積分也必為零,所以UA-UB,表明導體上所有點的電勢都相等。2.沒有內部凈荷，凈荷僅分布在導管表面在導體的內部作任意閉合曲面,根據高斯定理可以證明,閉合曲面包圍的電荷的代數和一定為零,所以導體帶的電荷只能分布在導體的外表面。3.在主干道表面附近附近，強垂直于主干道表面根據高斯定理可證,導體表面附近場強的大小與表面對應點的電荷密度成正比,可以表示為:二、靜電平衡線下導電體的電荷分布電場線的性質在一定程度上正是高斯定理和環路定理這兩個靜電場基本規律的形象體現,由此可知,根據電場線的性質可直觀地分析靜電平衡條件下導體的電荷分布。1.電場線源于正電荷(或無限遠),終于負電荷(或無限遠),在無電荷處不中斷不相交。2.電場線不構成閉合曲線,即沿電場線方向電勢降低。這一性質是靜電場環路定理的必然推論。三、在靜電平衡中，對六大郎的電載荷進行分布分析1.導電平衡時金例1.證明如圖3.1-1所示靜電感應現象中,靠近點電荷A一側的感應電荷量的絕對值不大于點電荷電量q。證明:設導體B上遠離A一側感應出電荷量為q′,靠近A一側感應電荷量為-q′。根據電場線性質,電場線只能始于正電q、q′或∞、或,終于負電-q′或∞。又根據靜電平衡的性質,B為等勢體,電場線不可能始于q′而終于-q′,因為同一電場線上不能有電位相等的點,所以始于q′的電場線只能終于∞,導體B的電勢高于無限遠的電勢UB>U∞,于是終于-q′的電場線就不可能始于∞。由此可得,終于-q′的電場線全部始于q。再根據電場線的性質,終于-q′的電場線條數-q′/ε0≤始于q的電場線條數,q/ε0,故q′≤q。例2:孤立不帶電導體球放在無窮大均勻電場中和點電荷電場中,試分析導體接地與不接地時,達到靜電平衡時電荷的分布情況。電荷分布情況分析:(1)導體處于靜電平衡時,感應出的電荷只能分布在球體的外表面上。若導體放在無窮大均勻電場中,球體兩側將分別感應出正負電荷,總電荷的代數和為零。而兩側面電荷的分布規律可通過拉普拉斯方程證明其按導體球的中軸線按照余弦規律對稱分布,其接地與否不影響電荷的分布,因無窮大電場中任意點都可看成既遠離正電荷又遠離負電荷的零電勢點,電子不會由零電勢流向零電勢點,(2)若導體球放在點電荷電場中,因點電荷的電場是非均勻電場,為保證導體球上電荷的分布形成的場與點電荷形成的場在導體球內疊加為零,達到靜電平衡。所以靠近點電荷的部分密度大,但所占的表面空間小;遠離點電荷的部分電荷密度小,所占表面空間大。3.1-2(b)。(3)導體從不接地到接地,電子將從大地流向導體,流上來的電子不僅僅中和掉原來左側的正電荷,還要使其帶上與之相反的負電荷;同時還要補充右側的負電荷量,從而電荷的重新分布仍保持導體內部場強為零,處于靜電平衡,導體為等勢體。并非導體接地后表面電荷都為零,導體接地后滿足一個條件,那就是電勢為零。如圖3.1-2(c)。例3在圖3.1-2(d)中,求證導體表面上感應電荷總量為。R為球的半徑,L為點電荷到球心的距離。2.殼外電場的分布及場強的控制靜電平衡時,導體殼內表面沒有凈電荷,凈電荷只分布在外表面。由此得出:空腔導體內無帶電體時,不論殼外帶電情況如何,腔內空間和導體內部各點場強必然為零,殼外全部電荷(包括殼外表面感應電荷)在導體外表面以內任一點貢獻的場強為零。(2)空腔導體內存在帶電體的情況根據電場線既不能在無電荷處中斷,又不能穿過導體(導體內部E=0),所以殼內起于電荷q的電場線只能終于殼的內壁,故殼內壁必然感應出與q等量的異性電荷q1=-q0同樣用高斯定理可以證明,在導體內包圍內殼作高斯面,S驀E軑·dS軋=q+q1q0=0。q1=-q0若殼為中性,導體內、外壁電荷代數和必然為零,故外表面的總電量為q2=q,在殼外引起電場。根據對稱性,外表面電荷均勻分布。如圖3.2-2(a)。這時,q于q1在殼內表面以外產生的場強為零;而外表面感應出的電荷q2在外表面以內產生的場強為零。若球殼帶電為Q,Q和q2都分布在外表面上,且(Q+q2)的分布使其在外表面之內產生的場強處處為零,滿足靜電平衡。當球殼接地時,由于導體是等勢體,同一電場線不能在導體上任意兩點起終,也不能起于無限遠而終于無限遠,接地殼和無限遠等電位,所以殼外壁不可能有電場線,即殼外無電場。如圖3.2-2(b)。當殼內電荷偏心時,如圖3.2-2(c)內部電荷分布隨之而改變,出現不均勻分布,以保證點電荷q與壁內感應電荷在內壁之外任一點的合場強為零。而根據電動力學的“唯一性定理”,要保證外表面電荷在導體內部場強仍為零,外壁電荷分布仍均勻分布,與點電荷在球心時完全相同。這一規律表明,殼內電荷的變化決定殼內表面電荷的分布;當殼內帶電體電量一定時,殼外電荷的分布由殼外壁的形狀及殼外空間帶電體的電量、形狀和配置(殼外有帶電體情況)決定,但都必須保證導體內部場強為零。(3)空腔導體內外都有電荷且接地根據前面的分析可知。腔內各點場強由腔內電荷和內表面的感應電荷的分布決定,接地后,其內部場強不影響外部;而外部帶電的情況只影響球殼外表面的電荷分布及場強的變化,對殼內空間無影響。靜電平衡狀態下,接地空腔導體殼內外場強具有獨立性。如圖3.2-3(a)例4.兩塊大小相同的無限大平行金屬板A、B,所帶電荷為1、2,略去邊緣效應,求每個板面的面電荷分布。分析:由于略去邊緣效應,由對稱性可知,各面上的電荷都是均勻分布的,因此兩板間和兩板外的電場必然均勻,電場方向垂直于板面。解:設四個平面的面電荷密度分別為σ1、σ2、σ3、σ4,垂直板面單位矢量為∧n,作如圖所示的圓柱形高斯面。在導體中任取一點P,根據無窮大平面均勻電荷分布產生的場強公式和電場疊加原理、靜電平衡原理,P點場強為:按電荷守恒