1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(2)

空間角第一章空間向量與立體幾何1.理解線線、線面、面面夾角問題．2.會(huì)用向量方法求直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角.學(xué)習(xí)目標(biāo)若兩異面直線l1,l2所成角為θ，它們的方向向量分別為a,b，則有

兩異面直線所成角l2

l1θab

cosθ=|cos<a,b>|=

例題如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，試求直線EF和BC1所成的角.思路分析:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線EF和BC1的方向向量的坐標(biāo),求它們的夾角即得直線EF和BC1所成的角.解:分別以直線BA，BC，BB1為x,y,z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系(如右圖).

階段小結(jié)

階段檢測(cè)（一）BA

直線與平面所成角用平面的法向量求線面角的大小，設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為u，直線與平面所成角為θlθan

例題已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為a，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成角的大小．

階段小結(jié)求直線與平面所成角的思路與步驟方法一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)．方法二：用向量法求直線與平面所成角可利用向量夾角公式或法向量，利用法向量求直線與平面所成角的基本步驟。

階段檢測(cè)（二）如圖，在直三棱柱ABOA′B′O′中，OO′＝OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°.D是線段A′B′的中點(diǎn)，P是側(cè)棱BB′上的一點(diǎn)．若OP⊥BD，試求：(1)OP與底面AOB所成角的正切值；(2)BD與側(cè)面AOO′A′所成角的正弦值．平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．

平面與平面所成角

設(shè)平面α的法向量為n1平面β的法向量為n2，平面α與平面β的夾角是θ，則平面α與平面β的夾角為：θn2n1αβ

A.120° B.150° C.30°或150°D.60°或120°C解：設(shè)所求二面角的大小為θ,

例題2.如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求平面APB與平面PBC夾角的余弦值．(1)證明：因?yàn)椤螧AP＝∠CDP＝90°，所以AB⊥AP，CD⊥PD．因?yàn)锳B∥CD．所以AB⊥PD．又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD．因?yàn)锳B?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

階段小結(jié)

1．已知平面α的法向量u＝(1,0,-1)，平面β

的法向量ν＝(0,-1,1)，則平面α與β的夾角為________．

階段檢測(cè)（三）

(1)證明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角BQDA的平面角的余弦值．(1)證明：取AD的中點(diǎn)為O，連接QO，CO.

(2)解：在平面ABCD