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文檔簡介

一階線性微分方程

第四節(jié)一、一階線性微分方程二、伯努利方程

第十二章

高數(shù)微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次方程

.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程

;高數(shù)微分方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得高數(shù)微分方程高數(shù)微分方程高數(shù)微分方程高數(shù)微分方程高數(shù)微分方程高數(shù)微分方程（一階線性方程）高數(shù)微分方程二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)高數(shù)微分方程例6.

求方程的通解.解:

令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:高數(shù)微分方程內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程高數(shù)微分方程思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:

可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程高數(shù)微分方程備用題1.

求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出高數(shù)微分方程2.

設(shè)有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續(xù)解.解:1)先解定解問題利用通解公式,得利用得故有高數(shù)微分方程2)再解定解問題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得因此有3)原問題的解為高數(shù)微分方程(雅各布第一·伯努利)

書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多1694年他首次給出了直角坐1713年出這是組合數(shù)學(xué)與概率論史此外

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