2024屆江蘇省無錫市宜興和橋二中學九年級數學第一學期期末經典模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知關于的方程，若，則該方程一定有一個根為（）A．-1 B．0 C．1 D．1或-12．若拋物線y＝x2﹣3x+c與y軸的交點為（0，2），則下列說法正確的是（）A．拋物線開口向下B．拋物線與x軸的交點為（﹣1，0），（3，0）C．當x＝1時，y有最大值為0D．拋物線的對稱軸是直線x＝3．下列各式正確的是（）A． B．C． D．4．已知拋物線（其中是常數，）的頂點坐標為．有下列結論：①若，則；②若點與在該拋物線上，當時，則；③關于的一元二次方程有實數解．其中正確結論的個數是（）A． B． C． D．5．二次函數圖象如圖，下列結論正確的是（）A． B．若且，則C． D．當時，6．已知扇形的圓心角為60°，半徑為1，則扇形的弧長為（）A． B．π C． D．7．一副透明的三角板，如圖疊放，直角三角板的斜邊AB、CE相交于點D，則∠BDC的度數為（）A．60° B．45° C．75° D．90°8．我國古代數學名著《孫子算經》中記載了一道大題，大意是：匹馬恰好拉了片瓦，已知匹小馬能拉片瓦，匹大馬能拉片瓦，求小馬、大馬各有多少匹，若設小馬有匹，大馬有匹，依題意，可列方程組為（）A． B．C． D．9．sin30°的值為（）A． B． C．1 D．10．下列語句，錯誤的是（）A．直徑是弦 B．相等的圓心角所對的弧相等C．弦的垂直平分線一定經過圓心 D．平分弧的半徑垂直于弧所對的弦二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，設點P在函數y=的圖象上，PC⊥x軸于點C，交函數y=的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交函數y=的圖象于點B，則四邊形PAOB的面積為_____．12．如圖，一副含和角的三角板和拼合在一個平面上，邊與重合，.當點從點出發沿方向滑動時，點同時從點出發沿射線方向滑動.當點從點滑動到點時，點運動的路徑長為______.13．某班主任將其班上學生上學方式（乘公汽、騎自行車、坐小轎車、步行共4種）的調查結果繪制成下圖所示的不完整的統計圖，已知乘坐公汽上學的有12人，騎自行車上學的有24人，乘家長小轎車上學的有4人，則步行上學的學生人數在扇形統計圖對應的扇形所占的圓心角的度數為_____．14．如圖，練習本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個點A、B、C都在橫格線上．若線段AB＝6cm，則線段BC＝____cm．15．已知點P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函數y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的圖象上，其中k≠0，若y1＞y2，則x1的取值范圍為_____．16．如圖，以點O為位似中心，將四邊形ABCD按1：2放大得到四邊形A′B′C′D′，則四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比是_____．17．如圖、正比例函數與反比例函數的圖象交于（1,2），則在第一象限內不等式的解集為_____________．18．已知向量為單位向量，如果向量與向量方向相反，且長度為3，那么向量=________．（用單位向量表示）三、解答題(共66分)19．（10分）某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系．（1）求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式；（2）王師傅在噴水池內維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內？（3）經檢修評估，游樂園決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請探究擴建改造后噴水池水柱的最大高度．20．（6分）某區為創建《國家義務教育優質均衡發展區》，自2016年以來加大了教育經費的投入，2016年該區投入教育經費9000萬元，2018年投入教育經費12960萬元，假設該區這兩年投入教育經費的年平均增長率相同（1）求這兩年該區投入教育經費的年平均增長率（2）若該區教育經費的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預算2019年該區投入教育經費多少萬元21．（6分）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如圖1，當DE∥BC時，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）發現探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展運用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內一點，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數．22．（8分）某校八年級學生在一起射擊訓練中，隨機抽取10名學生的成績如下表，回答問題：環數6789人數152（1）填空：_______；（2）10名學生的射擊成績的眾數是_______環，中位數是_______環；（3）若9環（含9環）以上評為優秀射手，試估計全年級500名學生中有_______名是優秀射手.23．（8分）如圖，是規格為8×8的正方形網格，請在所給的網格中按下列要求操作.（1）在網格中建立平面直角坐標系，使點的坐標為，點的坐標為.（2）在第二象限內的格點上畫一點，使點與線段組成一個以為底的等腰三角形，且腰長是無理數.求點的坐標及的周長（結果保留根號）.（3）將繞點順時針旋轉90°后得到，以點為位似中心將放大，使放大前后的位似比為1：2，畫出放大后的的圖形.24．（8分）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且AD//BC，BD的垂直平分線經過點O，分別與AD、BC交于點E、F（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；（2）求證：四邊形BFDE為菱形．25．（10分）如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行B地，已知B地位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向，若打通穿山隧道，建成兩地直達高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長（結果保留整數）（參考數據：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）26．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，點D為直線BC上一動點（點D不與點B、C重合），以AD為邊做正方形ADEF，連接CF．（1）如圖①，當點D在線段BC上時，直接寫出線段CF、BC、CD之間的數量關系．（2）如圖②，當點D在線段BC的延長線上時，其他件不變，則（1）中的三條線段之間的數量關系還成立嗎？如成立，請予以證明，如不成立，請說明理由；（3）如圖③，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A、F分別在直線BC兩側，其他條件不變；若正方形ADEF的邊長為4，對角線AE、DF相交于點O，連接OC，請直接寫出OC的長度．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】由題意將變形為并代入原方程左邊，再將方程左邊因式分解即可．【題目詳解】解：依題意得，原方程化為，即，∴，∴為原方程的一個根.故選：C．【題目點撥】本題考查一元二次方程解的定義．注意掌握方程的解是使方程左右兩邊成立的未知數的值．2、D【解題分析】A、由a=1＞0，可得出拋物線開口向上，A選項錯誤；B、由拋物線與y軸的交點坐標可得出c值，進而可得出拋物線的解析式，令y=0求出x值，由此可得出拋物線與x軸的交點為（1，0）、（1，0），B選項錯誤；C、由拋物線開口向上，可得出y無最大值，C選項錯誤；D、由拋物線的解析式利用二次函數的性質，即可求出拋物線的對稱軸為直線x=-，D選項正確．綜上即可得出結論．【題目詳解】解：A、∵a=1＞0，∴拋物線開口向上，A選項錯誤；B、∵拋物線y=x1-3x+c與y軸的交點為（0，1），∴c=1，∴拋物線的解析式為y=x1-3x+1．當y=0時，有x1-3x+1=0，解得：x1=1，x1=1，∴拋物線與x軸的交點為（1，0）、（1，0），B選項錯誤；C、∵拋物線開口向上，∴y無最大值，C選項錯誤；D、∵拋物線的解析式為y=x1-3x+1，∴拋物線的對稱軸為直線x=-=-=，D選項正確．故選D．【題目點撥】本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數的性質、二次函數的最值以及二次函數圖象上點的坐標特征，利用二次函數的性質及二次函數圖象上點的坐標特征逐一分析四個選項的正誤是解題的關鍵．3、B【分析】根據二次根式的性質，同類二次根式的定義，以及二次根式的除法，分別進行判斷，即可得到答案.【題目詳解】解：A、無法計算，故A錯誤；B、，故B正確；C、，故C錯誤；D、，故D錯誤；故選：B.【題目點撥】本題考查了二次根式的性質，同類二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質進行解題.4、C【分析】利用二次函數的性質一一進行判斷即可得出答案.【題目詳解】解：①拋物線（其中是常數，）頂點坐標為，，，，∴c＞＞0．故①小題結論正確；②頂點坐標為，點關于拋物線的對稱軸的對稱點為點與在該拋物線上，，，，當時，隨的增大而增大，故此小題結論正確；③把頂點坐標代入拋物線中，得，一元二次方程中，，關于的一元二次方程無實數解．故此小題錯誤．故選：C．【題目點撥】本題是一道關于二次函數的綜合性題目，具有一定的難度，需要學生熟練掌握二次函數的性質并能夠熟練運用.5、D【分析】根據二次函數的圖象得到相關信息并依次判斷即可得到答案.【題目詳解】由圖象知：a<0，b>0，c>0，，∴abc<0，故A選項錯誤；若且，∴對稱軸為，故B選項錯誤；∵二次函數的圖象的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點的橫坐標小于3，∴與x軸的另一個交點的橫坐標大于-1，當x=-1時，得出y=a-b+c<0，故C選項錯誤；∵二次函數的圖象的對稱軸為直線x=1，開口向下，∴函數的最大值為y=a+b+c，∴，∴，故D選項正確，故選：D.【題目點撥】此題考查二次函數的圖象，根據函數圖象得到對應系數的符號，并判斷代數式的符號，正確理解二次函數圖象與系數的關系是解題的關鍵.6、D【解題分析】試題分析：根據弧長公式知：扇形的弧長為．故選D．考點：弧長公式．7、C【分析】根據三角形的外角的性質計算，得到答案．【題目詳解】∵∠GFA＝90°，∠A＝45°，∴∠CGD＝45°，∴∠BDC＝∠CGD＋∠C＝75°，故選：B．【題目點撥】本題考查的是三角形的外角性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．8、A【分析】設大馬有x匹，小馬有y匹，根據題意可得等量關系：①小馬數+大馬數=100；②小馬拉瓦數+大馬拉瓦數=100，根據等量關系列出方程組即可．【題目詳解】設小馬有x匹，大馬有y匹，由題意得：，故選：A．【題目點撥】本題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程組．9、B【分析】直接根據特殊角的三角函數值進行選擇.【題目詳解】sin30°=，故選：B.【題目點撥】此題考查特殊角的三角函數值，熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵.10、B【分析】將每一句話進行分析和處理即可得出本題答案.【題目詳解】A.直徑是弦，正確.B.∵在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等,∴相等的圓心角所對的弧相等，錯誤.C.弦的垂直平分線一定經過圓心，正確.D.平分弧的半徑垂直于弧所對的弦，正確.故答案選：B.【題目點撥】本題考查了圓中弦、圓心角、弧度之間的關系，熟練掌握該知識點是本題解題的關鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、4【解題分析】＝6－1－1＝4【題目點撥】本題考察了反比例函數的幾何意義及割補法求圖形的面積．通過觀察可知，所求四邊形的面積等于矩形OCPD的面積減去△OBD和△OCA的面積，而矩形OCPD的面積可通過的比例系數求得；△OBD和△OCA的面積可通過的比例系數求得，從而用矩形OCPD的面積減去△OBD和△OCA的面積即可求得答案．12、【分析】過點D'作D'N⊥AC于點N，作D'M⊥BC于點M，由直角三角形的性質可得BC=4cm，AB=8cm，ED=DF=6cm，由“AAS”可證△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N=D'M，即點D'在射線CD上移動，且當E'D'⊥AC時，DD'值最大，則可求點D運動的路徑長，【題目詳解】解：∵AC=12cm，∠A=30°，∠DEF=45°∴BC=4cm，AB=8cm，ED=DF=6cm

如圖，當點E沿AC方向下滑時，得△E'D'F'，過點D'作D'N⊥AC于點N，作D'M⊥BC于點M∴∠MD'N=90°，且∠E'D'F'=90°∴∠E'D'N=∠F'D'M，且∠D'NE'=∠D'MF'=90°，E'D'=D'F'∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）∴D'N=D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM∴CD'平分∠ACM即點E沿AC方向下滑時，點D'在射線CD上移動，∴當E'D'⊥AC時，DD'值最大，最大值=ED-CD=（12-6）cm

∴當點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長=2×（12-6）=（24-12）cm【題目點撥】本題考查了軌跡，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，角平分線的性質，確定點D的運動軌跡是本題的關鍵．13、90°【分析】先根據騎自行車上學的學生有12人占25%，求出總人數，再根據步行上學的學生人數所對應的圓心角的度數為所占的比例乘以360度，即可求出答案．【題目詳解】解：根據題意得：總人數是：12÷25%＝48人，所以乘車部分所對應的圓心角的度數為360°×＝90°；故答案為：90°．【題目點撥】此題主要考查了扇形統計圖，讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息，列出算式是解決問題的關鍵．14、18【分析】根據已知圖形構造相似三角形，進而得出，即可求得答案.【題目詳解】如圖所示：過點A作平行線的垂線，交點分別為D、E，可得：，∴，即，解得：，∴，故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了相似三角形的應用，根據題意得出是解答本題的關鍵.15、x1＞2或x1＜1．【分析】將二次函數的解析式化為頂點式，然后將點P、Q的坐標代入解析式中，然后y1＞y2，列出關于x1的不等式即可求出結論．【題目詳解】解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2）＝（x﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，∵點P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函數y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的圖象上，∴y1＝（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，y2＝﹣2k﹣k2，∵y1＞y2，∴（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2＞﹣2k﹣k2，∴（x1﹣1）2＞1，∴x1＞2或x1＜1．故答案為：x1＞2或x1＜1．【題目點撥】此題考查的是比較二次函數上兩點之間的坐標大小關系，掌握二次函數的頂點式和根據函數值的取值范圍求自變量的取值范圍是解決此題的關鍵．16、1：1．【解題分析】根據位似變換的性質定義得到四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似，根據相似多邊形的性質計算即可．【題目詳解】解：以點O為位似中心，將四邊形ABCD按1：2放大得到四邊形A′B′C′D′，則四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似，相似比為1：2，∴四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比是1：1，故答案為：1：1．【題目點撥】本題考查的是位似變換，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形．17、x＞1【分析】在第一象限內不等式k1x＞的解集就是正比例函數圖象都在反比例函數圖象上方，即有y1＞y2時x的取值范圍．【題目詳解】根據圖象可得：第一象限內不等式k1x＞

的解集為x＞1．

故答案是：x＞1．【題目點撥】此題考查反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求函數解析式，解題關鍵在于掌握反比例函數與一次函數圖象的交點坐標滿足兩函數解析式．18、【解題分析】因為向量為單位向量,向量與向量方向相反,且長度為3,所以=,故答案為:.三、解答題(共66分)19、（1）水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）；（2）為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內；（3）擴建改造后噴水池水柱的最大高度為米．【解題分析】分析：（1）根據頂點坐標可設二次函數的頂點式，代入點（8，0），求出a值，此題得解；（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征，求出當y=1.8時x的值，由此即可得出結論；（3）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出拋物線與y軸的交點坐標，由拋物線的形狀不變可設改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣x2+bx+，代入點（16，0）可求出b值，再利用配方法將二次函數表達式變形為頂點式，即可得出結論．詳解：（1）設水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=a（x﹣3）2+5（a≠0），將（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=﹣，∴水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）當y=1.8時，有﹣（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7，∴為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內．（3）當x=0時，y=﹣（x﹣3）2+5=．設改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣x2+bx+．∵該函數圖象過點（16，0），∴0=﹣×162+16b+，解得：b=3，∴改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式為y=﹣x2+3x+=﹣（x﹣）2+，∴擴建改造后噴水池水柱的最大高度為米．點睛：本題考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定系數法求出二次函數表達式；（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征求出當y=1.8時x的值；（3）根據點的坐標，利用待定系數法求出二次函數表達式．20、（1）20%；（2）15552萬元【分析】（1）設該縣投入教育經費的年平均增長率為，根據題意列式計算即可；（2）由（1）可知增長率，列式計算即可.【題目詳解】解：（1）設該縣投入教育經費的年平均增長率為，根據題得，解得（舍去）答：該縣投入教育經費的年平均增長率為20%（2）因為2018年該縣投入教育經費為12960萬元，由（1）可知增長率為20%，所以2019年該縣投入教育經費為萬元答：預算2019年該縣投入教育經費15552萬元【題目點撥】本題考查的是一元二次方程的實際應用，能夠讀懂題意列式計算是解題的關鍵.21、（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）135°.【分析】試題（1）由DE∥BC，得到，結合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉得到的結論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋轉構造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理計算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEA是直角三角形，再簡單計算即可．【題目詳解】（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案為=，（2）成立．證明：由①易知AD=AE，∴由旋轉性質可知∠DAB=∠EAC，又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如圖，將△CPB繞點C旋轉90°得△CEA，連接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．【題目點撥】考點：幾何變換綜合題；平行線平行線分線段成比例.22、（1）1；（1）2，2；（3）3【分析】（1）利用總人數減去其它環的人數即可；（1）根據眾數的定義和中位數的定義即可得出結論；（3）先計算出9環（含9環）的人數占總人數的百分率，然后乘500即可．【題目詳解】解：（1）（名）故答案為：1．（1）由表格可知：10名學生的射擊成績的眾數是2環；這10名學生的射擊成績的中位數應是從小到大排列后，第5名和第6名成績的平均數，∴這10名學生的射擊成績的中位數為（2+2）÷1=2環．故答案為：2；2．（3）9環（含9環）的人數占總人數的1÷10×3%=10%∴優秀射手的人數為：500×10%=3（名）故答案為：3．【題目點撥】此題考查的是眾數、中位數和數據統計問題，掌握眾數和中位數的定義和百分率的求法是解決此題的關鍵．23、（1）圖見解析；（2），周長為；（3）圖見解析.【分析】（1）根據平面直角坐標系點的特征作圖即可得出答案；（2）根據等腰三角形的定義計算即可得出答案；（3）根據旋轉和位似的性質即可得出答案.【題目詳解】解：（1）如圖所示：（2）∵，∴∴周長為；（3）如圖所示，即為所求.【題目點撥】本題考查的是尺規作圖，涉及到了兩點間的距離公式以及位似的相關性質，需要熟練掌握.24、（1）見解析；（2）見解析．【解題分析】（1）由平行線的性質可得，根據EF經過點O且垂直平分BD可得，利用ASA可證明△DOA≌△BOC，可得OA=OC，即可證明四邊形ABCD為平行四邊形；（2）利用ASA可證明≌，可得OE=OF，根據對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形即可得結論．【題目詳解】（1）∵AD//BC，經過點O，且垂直平分，∴，，在和中，∴≌，∴OA=OC，∴四邊形為平行四邊形．（2）由（1）知，，∴在和中，∴≌，∴，∵垂直平分，∴，，∴四邊形為菱形．【題目點撥】本題考查平行四邊形的判定及菱形的判定，有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；熟練掌握判定定理是解題關鍵．25、A地到C地之間高鐵線路的長為592km．【分析】過點B作BD⊥AC于點D，利用銳角三角函數的定義求出AD及CD的長，進而可得出結論．【題目詳解】過點B作BD⊥AC于點D，∵B地位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB?sin67°＝520×0.92＝478.4km，BD＝AB?cos67°＝520×0.38＝197.6km．∵C地位于B地南偏東30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD?tan30°＝197.6×≈113.9km，∴AC＝AD+CD＝478.4+113.9≈592（km）．答：A地到C地之間高