專題10函數對稱問題一、單選題1．（2021·安徽省滁州中學高三月考（文））已知函數的圖象上有且僅有四個不同的點關于直線的對稱點在的圖象上,則實數的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉化為直線與在和上各有兩個交點，借助函數圖像與導數的幾何意義求出與的兩段圖像相切的斜率即可求出的取值范圍.【詳解】直線關于直線的對稱直線為，則直線與的函數圖像有個交點，當時，，當時，，當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，作出與直線的函數圖像，如圖所示：設直線與相切，切點為，則，解得，設直線與相切，切點為，則，解得，與的函數圖像有個交點，直線與在和上各有個交點，故選：A【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義，考查了數形結合思想，解題的關鍵是作出函數圖像，屬于中檔題.2．（2021·全國·高一課時練習）若直角坐標平面內的兩點P，Q滿足條件：①P，Q都在函數的圖象上；②P，Q關于原點對稱，則稱點對是函數的一個“友好點對”（注：點對與看作同一個“友好點對”）．已知函數，則此函數的“友好點對”有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】根據題意“友好點對”的定義，欲求的“友好點對”，只須作出函數的圖象關于原點對稱的圖象，以及函數的圖象，結合圖象交點的個數，即可求解.【詳解】由題意，當時，可得，則，則函數的圖象關于原點對稱的函數是，根據題意，作出函數的圖象及函數的圖象，如圖所示，根據圖象可得兩個函數的圖象共有兩個公共點，即函數的“友好點對”有2對.故選：C.3．（2021·福建·廈門一中高一競賽）若函數y＝f(x)圖象上存在不同的兩點A，B關于y軸對稱，則稱點對[A，B]是函數y＝f(x)的一對“黃金點對”（注：點對[A，B]與[B，A]可看作同一對“黃金點對”）已知函數，則此函數的“黃金點對”有（）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對【答案】C【分析】將關于y軸對稱得到y＝9－2x，x＞0，問題轉化為y＝9－2x，x＞0與、交點的個數問題，數形結合即可得到答案.【詳解】由題意關于y軸對稱的函數為y＝9－2x，x＞0，作出函數f(x)和y＝9－2x，x＞0的圖象，由圖象知當時，聯立y＝4x－x2和y＝9－2x，x＞0，得x2－6x＋9＝0，所以，當時，聯立和y＝9－2x，x＞0得，解得，（舍），故兩圖象有2個交點．所以函數f(x)的“黃金點對”有2對．故選：C4．（2021·內蒙古·赤峰二中三模（理））若直角坐標平面內A、B兩點滿足①點A、B都在函數的圖像上；②點A、B關于原點對稱，則點是函數的一個“姊妹點對”.點對與可看作是同一個“姊妹點對”，已知函數，則的“姊妹點對”有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】根據題意可知，“姊妹點對”滿足兩點：都在函數圖像上，且關于坐標原點對稱，作出函數的圖像關于原點對稱的圖像，再作出函數，由圖像可得結論【詳解】解：根據題意可知，“姊妹點對”滿足兩點：都在函數圖像上，且關于坐標原點對稱.可作出函數的圖像關于原點對稱的圖像，看它與函數交點個數即可.如圖所示：當x=1時，觀察圖象可得：它們有2個交點.故選：C.5．（2021·全國·高三專題練習（文））若M，N為函數圖象上的兩個不同的點，且M，N兩點關于原點對稱，則稱點對(M，N)為函數的一個“配合點對”(點對(M，N)與點對(N，M)為同一“配合點對”).現給定函數(e為自然對數的底數)，若函數的圖象上恰有兩個“配合點對”，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函數0)的圖象關于原點對稱的圖象所對應的函數，將問題轉化為函數與函數有兩個交點，即函數圖象與函數圖象有2個交點，然后求出的單調性，得出其大致圖像，數形結合可得答案.【詳解】函數0)的圖象關于原點對稱的圖象所對應的函數為的圖象上恰好有兩個“配合點對”等價于函數與函數有兩個交點，即方程有兩個不等式的正實數根，即有兩個不等式的正實數根，即轉化為函數圖象與函數圖象有2個交點.，，所以在上單調遞增，且所以當時，，單調遞減.當時，，單調遞增.且時，，時，所以如圖，函數圖象與函數圖象有令個交點.則，解得.故選：B.【點睛】本題考查：函數中的新定義問題和根據函數圖像交點求參數范圍，解答本題的關鍵是由題意將問題轉化為函數圖象與函數圖象有2個交點，然后求出的單調性，得出其大致圖像，數形結合可得答案，屬于中檔題.6．（2021·全國·高一專題練習）在直角坐標平面內的兩個不同點M，N滿足條件：①M，N都在函數的圖像上；②M，N關于原點對稱．則稱點對為函數的一對“友好點對”（注：點對與為同一“友好點對”）已知函數，此函數“友好點對”有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】根據題意，“友好點對”可知，要求解的“友好點對”，只需作出函數的圖象關于原點對稱的函數為，結合圖象的交點個數，即可求解.【詳解】由函數，當時，可得，則，則函數的圖象關于原點對稱的函數為，由題意知，作出函數的圖象及函數的圖象，如圖所示，由圖象及指數函數、冪函數的變化速度可得兩個函數圖象沒有交點，即函數的“友好點對”有：0個.故選：A.【點睛】方法點撥：把函數的“友好點對”，轉化為作出函數的圖象關于原點對稱的函數為與函數的圖象的交點個數，結合圖象的交點個數是解答的關鍵.7．（2021·江西·上高二中高二月考（文））若圖象上存在兩點，關于原點對稱，則點對稱為函數的“友情點對”（點對與視為同一個“友情點對”）若恰有兩個“友情點對”，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先轉化“友情點對”為把時的函數圖像沿著原點對稱對稱過去，和時函數圖像的交點，即的圖像和的交點，所以只要有兩解即可，求導畫圖即可得解.【詳解】根據題意，若要求“友情點對”，可把時的函數圖像關于原點對稱，研究對稱過去的圖像和時的圖像有兩交點即可，關于原點對稱的解析式為，考查的圖像和的交點，可得，，令，所以，，為減函數，，，為增函數，，其圖象為，故若要有兩解，只要即可，故選：A【點睛】本題考查了新定義問題，考查了轉化思想，考查了利用導數研究函數的圖像，同時考查了函數對稱問題，屬于較難題.本題關鍵點有：（1）正確理解“友情點對”；（2）正確的轉化，轉化為函數方程問題；（3）掌握利用導數研究單調性.8．（2021·湖南·高三月考）若直角坐標平面內，兩點滿足：①點，都在函數的圖象上；②點，關于原點對稱，則稱點是函數的一個“姊妹點對”點對與可看作是同一個“姊妹點對”．已知函數恰有兩個“姊妹點對”，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意轉化為函數與函數的圖象恰好有兩個交點，即方程在上有兩個不同的解，構造函數，利用導數，分類討論求得函數的單調性與最值，即可求解.【詳解】由題意知函數恰有兩個“姊妹點對”，等價于函數，與函數，的圖象恰好有兩個交點，所以方程，即在上有兩個不同的解，構造函數，則，當時，，函數區間上單調遞增，不符合題意；當時，令，解得，所以函數在區間上單調遞增，令，解得，所以函數在區間上單調遞減，所以，解得，又由，所以函數在上有且僅有一個零點，令，則，令，解得，所以函數在區間上單調遞增，令，解得，所以函數在區間上單調遞減，所以，所以，即，又由，所以函數在上有且僅有一個零點．綜上可得：，即實數的取值范圍是．故選：A.【點睛】對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．3、根據恒成立求解參數的取值時，一般涉及分類參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，通常要設出導數的零點，難度較大.9．（2021·浙江·高一期末）定義：若函數的圖像上有不同的兩點，且兩點關于原點對稱，則稱點對是函數的一對“鏡像”，點對與看作同一對“鏡像點對”，已知函數，則該函數的“鏡像點對”有（）對.A． B． C． D．【答案】C【分析】由新定義可知探究y軸左側部分圖像關于原點中心對稱的圖像與y軸右側部分圖像的交點個數即得結果.【詳解】由題意可知，函數的圖像上有不同的兩點，且兩點關于原點對稱，則稱點對是函數的一對“鏡像”，因為，由y軸左側部分圖像關于原點中心對稱的圖像，即，，作函數，和的圖象如下：由圖像可知兩圖象有三個公共點，即該函數有3對“鏡像點對”.故選：C.【點睛】本題解題關鍵是理解新定義，尋找對稱點對，探究y軸左側部分圖像關于原點中心對稱的圖像與y軸右側部分圖像的交點個數，通過數形結合，即突破難點.10．（2021·浙江·高三專題練習）若直角坐標系內A，B兩點滿足：（1）點A，B都在圖象上；（2）點A，B關于原點對稱，則稱點對是函數的一個“和諧點對”，與可看作一個“和諧點對”.已知函數則的“和諧點對”有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】問題轉化為關于原點對稱的函數與在交點的個數，先求出關于原點對稱的函數，利用導數方法求出在解的個數，即可得出結論.【詳解】設是關于原點對稱函數圖象上的點，則點P關于原點的對稱點為在上，，設，“和諧點對”的個數即為與在交點的個數，于是，化為，令，下面證明方程有兩解，由于，所以，解得，∴只要考慮即可，，在區間上單調遞增，而，，∴存在使得，當單調遞減，單調遞增，而，，，∴函數在區間，分別各有一個零點，即的“和諧點對”有2個.故選：B.【點睛】本題考查函數的新定義，等價轉化為函數圖象的交點，利用函數導數研究單調性，結合零點存在性定理是解題的關鍵，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于常考題.11．（2021·北京育英中學高三月考）若函數圖象上存在兩個點A，B關于原點對稱，則點對稱為函數的“友好點對”且點對與可看作同一個“友好點對”若函數其中e為自然對數的底數，恰好有兩個“友好點對”則實數m的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【分析】求出當時關于原點對稱的函數，條件轉化為當時，與的圖象恰好有兩個不同的交點，求函數的導數研究函數的單調性和最值，利用數形結合建立不等式關系進行求解即可．【詳解】解：當時，關于原點對稱的函數為，即，，設，，條件等價為當時，與的圖象恰好有兩個不同的交點，則，，當時，函數取得最大值，當時，，．由得，此時為增函數，由得，此時為減函數，即當時，函數取得極小值同時也是最小值，作出當時，與的圖象如圖：要使兩個圖象恰好有兩個不同的交點，則，即，即，即，故選C．【點睛】本題考查函數與方程的應用，以及分段函數的圖象，利用定義作出關于原點對稱的函數，利用數形結合建立不等式關系是解決本題的關鍵綜合性較強，考查學生的作圖能力．12．（2021·河北·張家口市第一中學高二期中）已知函數的圖象上有且僅有四個不同的點關于直線的對稱點在的圖象上，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可化為函數圖象與的圖象有且只有四個不同的交點，結合題意作圖求解即可．【詳解】解：函數的圖象上有且僅有四個不同的點關于直線的對稱點在的圖象上，而函數關于直線的對稱圖象為，的圖象與的圖象有且只有四個不同的交點，作函數的圖象與的圖象如下，易知直線恒過點，設直線與相切于點，，故，解得，，故；設直線與相切于點，，故，解得，；故，故，即；故選：【點睛】本題考查了函數的性質的判斷與應用，同時考查了學生的作圖能力及數形結合的思想應用，屬于難題．13．（2021·安徽省懷遠第一中學高二月考（理））已知函數(，e為自然對數的底數)與的圖象上存在關于直線對稱的點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意可將問題轉化為方程在上有解，分離參數可得，令，利用導數求出值域即可求解.【詳解】因為函數()與的圖象上存在關于直線對稱的點，則函數(，e為自然對數的底數)與函數的圖象有交點，即在上有解，即在上有解，令，（），，當時，，函數為減函數，當時，，函數為增函數，故時，函數取得最小值，當時，，當時，，故實數的取值范圍是.故選：A【點睛】本題考查了利用導數求函數的最值，考查了轉化與化歸的思想，考查了計算求解能力，屬于中檔題.14．（2021·陜西·永壽縣中學高二月考（理））已知函數與函數的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由、關于軸對稱，問題轉化為與在上有交點，構造，則在有解，利用導數研究單調性并求最值，即可求的取值范圍.【詳解】由題意，、關于軸對稱，∴與在上有交點，則在有解，令，則，，∴在上遞增，而，∴在上，遞減；在上，遞增；∴，故只需即可，得.故選：B【點睛】關鍵點點睛：由、關于軸對稱，將問題轉化為與在上有交點，再構造函數并利用導數求極值，進而求參數范圍.15．（2021·海南·農墾中學高三月考）已知函數若的圖象上存在關于y軸對稱的點，則實數m的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意得存在實數，使得即成立．求出函數的值域，使得即可求得結果．【詳解】解：由題意得，存在實數，使得成立，即存在實數，使得成立．設，則．所以當時，；當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，因此，，所以函數的值域為．于是當時，存在實數，使得成立，即函數的圖象上存在關于y軸對稱的點．故選：C．16．（2021·山西運城·高二期中（理））已知函數的圖象上存在關于直線對稱的不同兩點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意，函數的圖象上存在關于對稱的不同兩點，則存在，，且，使得，即，構造函數，，故問題轉化為存在，使得函數與有交點，然后通過研究函數的圖象與性質即可求出結果.【詳解】依題意，函數的圖象上存在關于對稱的不同兩點，則存在，，且，使得，則，因此，設，，故問題轉化為存在，使得函數與有交點，又在上恒成立，，∴函數在上單調遞增，故，因此，為使函數與有交點，只需.故選：B.【點睛】導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．17．（2021·全國·高三專題練習（文））已知函數的圖象上存在關于直線對稱的不同兩點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題中條件，得到存在，，且，使得，整理得，構造函數，，將題中條件轉化為存在，使得函數與有交點，利用導數的方法判定單調性，求出其值域，即可得出結果.【詳解】依題意，函數的圖象上存在關于對稱的不同兩點，則存在，，且，使得，則，因此，設，，故問題轉化為存在，使得函數與有交點，又在上恒成立，所以函數在上單調遞增，故，因此，為使函數與有交點，只需.故選：B.【點睛】思路點睛：已知函數有零點（方程有實根）求參數時，一般需要分離參數，再構造新的函數，利用導數的方法研究新函數的單調性、最值、值域等，即可求解.（有時也需要利用數形結合的方法求解）18．（2021·山東·棗莊市第三中學高三月考）已知函數與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得關于軸對稱的函數,則,整理可得在上有解,設,可轉化問題為與的圖象在上有交點,再利用導函數求得的范圍,進而求解.【詳解】由關于軸對稱的函數為,令,得,則方程在上有解,即方程在上有解,設,即可轉化為與的圖象在上有交點,,令，則在上恒成立，所以在上為增函數，∴，即在上恒成立，在上為增函數,當時,則,所以,故選:D【點睛】本題考查利用導函數判斷函數單調性,考查利用導函數處理函數的零點問題,考查轉化思想.19．（2021·四川·瀘州老窖天府中學高三月考）已知函數與函數的圖像上存在關于直線對稱的點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據對稱性可知一定在，將問題轉化為方程在上有解，令，利用導數可求得的值域，所求得的值域即為的取值范圍.【詳解】設上的點，則該點關于對稱的點為一定在上，，即在上有解，設，則，設，則，，當時，，在上單調遞增，當時，，則，在上單調遞減；當時，，則，在上單調遞增；當時，取極小值也是最小值，，又，，且，在上的值域為，若在上有解，則.故選：D.【點睛】方法點睛：本題解題關鍵是利用對稱關系將問題轉化為在上有解的問題；已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法為：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解20．（2021·江西省都昌縣第二中學高二月考（理））已知函數，為自然對數的底數）與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，得到方程，可得在區間上有解，構造函數，利用導數求出函數在區間上的值域，即可求得實數的取值范圍.【詳解】由題意可知方程在區間上有解，再轉化為方程在內有解，構造函數，，得，當時，，此時函數單調遞減；當時，，此時函數單調遞增.函數在處有最小值，又，，且，∴，所以，，故選：B.【點晴】本題考查了構造函數法求方程的解及參數范圍；關鍵是將已知轉化為方程在上有解，考查化歸與轉化思想的應用，屬于中等題.21．（2021·全國·高三專題練習（文））已知函數與的圖象上存在關于直線對稱的點，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】函數與關于對稱.題目轉化為曲線與有公共點，即方程有實數解.分離常數后利用構造函數法，結合導數求得的取值范圍，從而求得的最大值.【詳解】由題可知，曲線與有公共點，即方程有實數解，即有實數解，令，則，所以當時，；當時，，故時，取得極大值，也是最大值，所以，所以，即的最大值為.故選：C【點睛】求解含有參數的方程有解問題，可以考慮分離常數法，然后通過構造函數，結合導數求進行求解.22．（2021·浙江·杭州高級中學高一期中）已知函數與的圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據條件轉化為在時，有解即可，根據函數與方程之間的關系轉化為兩個函數圖象交點問題，可以數形結合進行求解即可．【詳解】解：與的圖象上存在關于軸對稱的點，等價為在時，有解即可，則，即，在上有解即可，設，，作出兩個函數的圖象如圖：當時，，當，將的圖象向右平移，此時一定與有交點，滿足條件，當時，則，得，綜上，即實數的取值范圍是故選：B．【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查函數與方程的應用，結合條件進行轉化為在時，有解即可，利用函數與方程之間的關系利用數形結合是解決本題的關鍵，考查了數形結合的思想以及分類討論的思想.二、多選題23．（2021·湖北·荊州中學模擬預測）若圖象上存在兩點A，B關于原點對稱，則點對稱為函數的“友情點對”(點對與視為同一個“友情點對”)若恰有兩個“友情點對”，則實數a的值可以是（）A．0 B． C． D．【答案】BD【分析】根據所給新定義，進行轉化，首先求出時關于原點對稱的函數為，即在上有兩解，構造函數，研究的圖像與性質，即可得解.【詳解】首先求出時關于原點對稱的函數為，若要恰有兩個“友情點對”，則有兩解，即在上有兩解，令，求導可得，，當，，為減函數，當，，為增函數，則，所以其圖像為：若要在上有兩解，則，故選：BD【點睛】本題考查了函數新定義，考查了利用導數研究函數，考查了函數方程思想，同時考查了轉化思想，有一定計算量，屬于中檔題.本題的關鍵有：（1）理解“友情點對”，并轉化為一側函數圖像關于原點對稱過去后和另一側函數圖像的交點；（2）把方程解得問題轉化為函數圖像交點問題.24．（2021·浙江·高一期末）已知函數（且）若此函數圖象上存在關于原點對稱的點，則實數m的取值可以是（）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據函數圖像上存在關于原點對稱的點，轉化為有解，利用參數分離法進行轉化求解即可.【詳解】若函數圖象上存在關于原點對稱的點，即有解，即，即，即，設，則，則在為增函數，設，則，則要使有解，則，即實數的取值范圍是；故選：CD.【點睛】關鍵點睛：本題主要考查函數與方程的應用，根據條件轉化為有解，利用參數分離法進行轉化是解決本題的關鍵.三、填空題25．（2021·廣東廣州·高一期末）已知函數，若的圖象上有且僅有2個不同的點關于直線的對稱點在直線，則實數的取值是________．【答案】2【分析】由題知，先求出直線關于直線對稱的直線的方程為，進而將問題轉化為圖象與函數的圖象有2個交點，進一步討論將問題轉化為，故令，進而轉化為直線與函數有2個交點，再結合的性質求解即可.【詳解】直線關于直線對稱的直線的方程為，對應的函數為，其圖象與函數的圖象有2個交點．對于一次函數，當時，，由知不符合題意．當時，令，可得，此時，令．當時，為增函數，，當時，為先增再減函數，．結合圖象，直線與函數有2個交點，因此，實數，即．故答案為：2【點睛】本題考查直線的對稱性問題，函數圖象的交點個數求參數問題，考查運算求解能力，數形結合思想，化歸轉化思想，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據已知條件，將問題轉換為圖象與函數的圖象有2個交點問題，進而進一步轉化為直線與函數有2個交點求解.26．（2021·河北·正定中學高二月考）已知函數的圖象上有且僅有兩個不同的點關于直線的對稱點在的圖象上，則實數的取值范圍是________．【答案】【分析】由題意可化為函數圖象與的圖象有且只有2個不同的交點，令，參變分類可得，令，利用導數研究函數的單調性與極值，即可作出函數圖象，數形結合求解即可．【詳解】解：直線關于直線對稱的直線的方程為，即，對應的函數為.所以，直線與函數的圖象有兩個交點.對于一次函數，當時，，且.則直線與函數的圖象交點的橫坐標不可能為.當時，令，可得，此時，令.當時，，當時，；當時，.此時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，函數的極小值為；當時，，當時，；當時，.此時，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，函數的極大值為.作出函數和函數的圖象如圖所示：由圖象可知，當或時，即當或時，直線與函數的圖象有兩個交點.因此，實數的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了函數的性質的判斷與應用，利用導數研究函數的性質，同時考查了學生的作圖能力及數形結合的思想應用，屬于中檔題．27．（2021·全國·高三開學考試）已知函數，，，若與的圖象上分別存在點?，使得?關于直線對稱，則實數的取值范圍是________.【答案】【分析】利用數學轉化思想，本題轉化為函數的圖像關于直線對稱的函數圖像與函數的圖像在上有交點．又可通過求的反函數來求得前面對稱圖像函數．有交點轉化為方程有解問題，再轉化為函數值域問題，從而本題得解．【詳解】與的圖象上分別存在點，，使得，關于直線對稱，函數的圖象關于直線對稱圖像與函數圖像有交點．函數圖像關于直線對稱圖像函數為的反函數．函數的反函數為，關于對稱的函數為．此圖像與函數的圖像在上有交點可轉化為關于的方程在上有解．可得．問題又可轉化為求函數的值域．得，函數在，上的遞減區間為，，遞增區間為，的最小值為（e），的最大值為，函數的值域為的取值范圍為故選：B28．（2021·內蒙古寧城·高三月考（理））若的圖像上存在兩點關于原點對稱，則點對稱為函數的“友情點對”（點對與視為同一個“友情點對”.）若，恰有兩個“友情點對”，則實數的取值范圍是___________.【答案】【分析】要求“友情對點”，可把的函數圖像關于原點對稱，即研究對稱過去的圖像和的圖像有兩個交點即可.【詳解】解：關于原點對稱的解析式為.的圖像與的交點個數即為方程根的個數，即.設，于是當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，函數取最小值.于是作出的圖像如圖所示.，即時與有兩個交點，原函數有兩對“友情對點”.故實數的取值范圍是故答案為：29．（2021·河北·石家莊二中高二月考）已知函數，，，若與的圖象上恰存在兩個關于直線對稱的點，則實數的取值范圍是______．【答案】【分析】求出函數關于直線的對稱函數，令與的圖象有兩個交點得出的范圍即可．【詳解】關于直線對稱的直線為，∴直線與在上有兩個交點，作出與的函數圖象，如圖所示：若直線經過點，則，解得，若直線與相切，設切點為，則，解得．與的圖象有兩個交點則，解得，故答案為：.30．（2021·福建·三明一中高二期中）已知函數與的圖象上存在兩對關于直線對稱的點，則實數a的取值范圍是________.【答案】【分析】若函數與的圖象上存在兩對關于直線對稱的點,則函數與函數的圖象在有兩個交點,

即有兩個解,

即有兩個解,令,對求導函數，得出導函數的正負，研究函數的單調性，最值，可求得實數a的取值范圍.【詳解】若函數與的圖象上存在兩對關于直線對稱的點,

則函數與函數的圖象在有兩個交點,

即有兩個解,

即有兩個解,

令,則

，令，則，，在上單調遞減，而，，即，時，，在單調遞增，在單調遞減，，又時，，時，，∴要使有兩個解,則需，故答案為：