2021-2022學年上海市虹口區復興高級中學高三（上）期中數學

試卷

一、填空題（本大題共12小題，1-6題每題4分，7-12題每題5分，滿分54分）

1.（4分）已知集合4=｛鄧）＜》＜2｝,B=｛X|&二三＜0｝，則集合AUB=.

X-1

2.（4分）在華十馬6的二項展開式中，/項的系數等于.

3.（4分）已知向量a=（sin。，1）,三二（1,cos8），其中0＜0＜2n,若a-Lb，則9—.

4.（4分）若zi=l+i,zi=a-2Z,其中i為虛數單位，且則實數。=.

5.（4分）已知一個圓錐的側面展開圖恰好是一個半圓，任取圓錐的兩條母線m4則0

6所成角的最大值為.

6.（4分）無窮等比數列｛〃"｝的前”項和為S”，若“1=2,且S2020+2S202l=3S2022,則無窮

等比數列｛。〃｝的各項和為.

7.（5分）設函數f（x）=sin（2x小），若對于任意的X1E[玲，-y]-在區間[a,p]

上總存在唯一確定的X2,使得.f（xi）=0,則|a-01的最小值為.

8.（5分）某動漫公司推出漫畫角色盲盒周邊售賣，每個盲盒中等可能的放入該公司的3款

經典動漫角色玩偶中的一個.小明購買了4個盲盒，則他能集齊3個不同動漫角色的概

率是.

22

9.（5分）己知尸1、尸2是橢圓號-+^-=1的左、右焦點，點P是橢圓上任意一點，以PQ

為直徑作圓N,直線ON與圓N交于點。（點。不在橢圓內部），則函?幣彳=.

10.（5分）已知函數/（x）=/-a|x|+―-—+。有且只有一個零點，若方程/（x）=%無解,

x2+l

則實數k的取值范圍為

11.(5分)已知數列｛〃〃｝滿足m=l,若數列｛氏｝滿足尻｛四H-皿1Wk(〃EN*),

且。〃+方=2〃(〃WN*),則數列｛〃〃｝的通項公式斯=.

12.(5分)設函數/G)的定義域是(0,1),滿足：

(1)對任意的(0,1),/(x)>0；

f(xi)f(I-X1)

(2)對任意的xi,X2G(0,1),都有--------1—<2；

f(x2)f(l-X2)飛

(3)f(1)=2-

則函數目6)=乂￡鼠)+工的最小值為-

x

二、選擇題(本大題共4小題，每題5分，滿分20分)

13.(5分)已知等比數列｛詞的公比為4(q#0),S”是｛板｝的前“項和.則“數列｛珈｝單

調遞減"是S2>S4”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

14.(5分)下列四個命題中真命題是()

A.同垂直于一直線的兩條直線互相平行

B.底面各邊相等，側面都是矩形的四棱柱是正四棱柱

C.過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條

D.過球面上任意兩點的大圓有且只有一個

15.(5分)已知a,b，c和d為空間中的4個單位向量，且a+b+c=0>則Ia-dl+lb-dl+lc-dl

不可能等于()

A.3B.2A/3C.4D.3&

16.(5分)函數/Xx)的定義域為力，若f(x)存在反函數，且/(x)的反函數就是它本

身，則稱f(x)為自反函數.有下列四個命題：

①函數f(X)—是自反函數；

x+1

②若/(x)為自反函數，則對任意的在。，成立f(f(x))=x；

③若函數f(x)=?F(a<x(b)為自反函數，則〃-”的最大值為1；

④若/(x)是定義在R上的自反函數，則方程/(x)=x有解.

其中正確命題的序號為()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

三、解答題(本大題共5小題，滿分76分)解答下列各題要有必要的解題步驟，并請在規

定處答題，否則不得分。

17.(14分)在四棱錐P-ABCD中，底面為梯形，AB//CD,ZBAP=ZCDP=90°,PA

=PD=AB=2,PALPD,四棱錐P-A8CQ的體積為4.

(1)求證：AB_L平面PAD-,

(2)求PC與平面ABC。所成角.

18.(14分)已知函數/(x)=x,g(x)=/-"優+4,/MGR.

(1)當〃?=4時，解不等式g(x)(x)-2|.

(2)若對任意的2],存在X26[l,2],使得g(xi)=/(x2),求實數m的取值范

圍.

19.(14分)2021年10月13日第18號臺風“圓規”在海南某地登陸，最大風力達到12

級.路邊一棵參天大樹在樹干某點B處被臺風折斷且形成120。角，樹尖C著地處與樹

根A相距10米，樹根與樹尖著地處恰好在路的兩側，設/CAB=9(A,B,C三點所在

平面與地面垂直，樹干粗度忽略不計).

(1)若。=45°,求折斷前樹的高度(結果保留一位小數)；

(2)問一輛寬2米，高2.5米的救援車能否從此處通過？并說明理

20.(16分)已知橢圓C：七三=1的左、右焦點分別為四、尸2,點AQ/石，0)在橢圓

abz

上，且AF；?AF；=3,點。，。是橢圓上關于坐標原點。對稱的兩點.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若點P在第一象限，軸于點N,直線QN交橢圓于點M(不同于。點)，試

求/MPQ的值；

(3)已知點R在橢圓上，直線PR與圓/+丁=2相切，連接QR,問：期J-是否為定

'IQRI

值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.

21.(18分)已知數列｛〃”｝滿足m=0,_an\=n>且工_(n€N*),

(1)求“4的所有可能取值；

(2)若數列｛"2"｝單調遞增，求數列｛。2"｝的通項公式；

(3)對于給定的正整數%,求S&=m+〃2+“+〃&的最大值.

2021-2022學年上海市虹口區復興高級中學高三（上）期中數學

試卷

參考答案與試題解析

一、填空題（本大題共12小題，1-6題每題4分，7-12題每題5分，滿分54分）

1.（4分）已知集合4={川0<》<2},B={X|昔40}，則集合AU8={疝）<xW3）

【分析】先解分式不等式求出8,再利用并集運算求解.

【解答】解：：B={x|三"<0}={川1<啟3},A={x|0<x<2},

x-1

，AU8={x[0<xW3},

故答案為：{x|0〈xW3}.

【點評】此題考查了并集及其運算，分式不等式的解法，屬于基礎題.

2.（4分）在華」）6的二項展開式中，/項的系數等于_噂_.

【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x的幕指數等于2,求得，?的值，即可求

得展開式的/項的系數.

【解答】解：二項式（?1d）6展開式的通項公式為7k|=量（_1）6-r（_l）r=

然G尸G,

令6-2廠=2,解得r=2,故弓△）6二項展開式中，含/項的系數等于"/）

故答案為：生.

16

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項

的系數，屬于基礎題.

3.(4分)已知向量2=(sin。，1),1=(1,cos8)，其中O<0<2n,若a-Lb，則。=

3兀而7兀

4—4一

【分析】根據題意，由數量積的計算公式可得a，b=sin0+cos0=0,變形可得tan8=-1,

結合。的取值范圍，即可確定。的值.

【解答】解：根據題意，向量a=（sine,b=(l,cos8)，

若a-Lb，則有a*b=sin0+cos0=O,變形可得tanO=-1,

又0V0<2m所以。="或3L；

44

故答案為：”或3L.

44

【點評】本題考查向量垂直的判斷方法，涉及向量數量積的計算公式，屬于基礎題.

4.(4分)若zi=l+i,z2=。-2i,其中i為虛數單位，且則實數〃=-2.

【分析】求出z[?布=(1+力(。+2力=。+切+2計2%=(〃-2)+(。+2)"由

能求出實數〃.

【解答】解：zi=l+i,z2=a-2i,其中i為虛數單位，且Lzt1dL7pFJR八

7.丁=(1+j)(a+2i)=a+ai+2i+2i1—(a-2)+(a+2)i,

Z1z2

."+2=0,解得實數a=-2.

故答案為：-2.

【點評】本題考查實數值的求法，考查復數的運算法則等基礎知識，考查運算求解能力,

是基礎題.

5.(4分)已知一個圓錐的側面展開圖恰好是一個半圓，任取圓錐的兩條母線。，b,則m

6所成角的最大值為60°.

【分析】設圓錐的底面半徑為r,母線長為/,求出r與/的關系，確定兩條母線a,6為

軸截面的兩條母線時;。，〃所成角的最大，即可得到答案.

【解答】解：設圓錐的底面半徑為r,母線長為/,

因為一個圓錐的側面展開圖恰好是一個半圓，

則2nr=itZ,解得l=2r,

當兩條母線”，力為軸截面的兩條母線時，“，人所成角的最大，最大值為60。.

故答案為：60°.

【點評】本題考查了圓錐的側面展開圖的理解與應用，解題的關鍵是掌握圓錐側面展開

圖的弧長等于底面周長，半徑等于圓錐的母線長，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.

6.(4分)無窮等比數列｛a”｝的前“項和為S"，若m=2,且S2020+25202I=3S2022,則無窮

等比數列｛如｝的各項和為_旦_.

—2―

【分析】先求出等比數列｛〃”｝的公比，然后利用無窮等比數列的和可計算出結果.

【解答】解：設等比數列｛麗｝的公比為夕,

因為S2020+252021=352022，

所以S2022~52020=2(S2021-S2022),

即。2()21+〃2022=-242022,

所以3。2022=-<7202b

所以4=-工，

3

a(l-q11)2X[l-(f)n]

所以無窮等比數列｛a,,｝的各項和為S"=1"=------———=

當“f+8時，Sn~*—,

2

故無窮等比數列｛z｝的各項和為3,

2

故答案為：3.

2

【點評】本題考查了等比數列求和公式，極限思想，屬于中檔題.

7.(5分)設函數f(x)=sin(2xT)，若對于任意的X[E[玲，--]，在區間口，p]

上總存在唯一確定的X2,使得/(xi)(r)=0,則|a-01的最小值為_?L_.

-3―

【分析】根據題意，設集合A為所有-/(xi)構成的集合，集合B是所以構成的

集合，則AUB,求出，|a-尚的最小值.

【解答】解：若對于任意的X]E[今，子]，在區間口，閨上總存在唯一確定的也，

f(XI)+f(X2)=0,得-/(XI)=f(%2),

設集合A為所有，/*(如)構成的集合，集合B是所有/(★)構成的集合，則AGB,

對于任意的—],2x+—fr_2L且L],-/(x)e[-1,1]=A,

因為-/(x)單調遞減，根據題意，要使|a-61=0-a最小，只需A=3即可，

所以-Ksin(2x個標)《奪得2x+母E[一去+kJT,看+kTT],(k€z)，

故，|a-目的最小值為工([工_(])]=工.

2L612〃3

故答案為：2L.

3

【點評】考查三角函數圖象和性質，三角函數恒成立和能成立問題，綜合性高，難度較

大.

8.（5分）某動漫公司推出漫畫角色盲盒周邊售賣，每個盲盒中等可能的放入該公司的3款

經典動漫角色玩偶中的一個.小明購買了4個盲盒，則他能集齊3個不同動漫角色的概

率是A.

-9-

【分析】小明購買了4個盲盒，基本事件總數”=34=81,他能集齊3個不同動漫角色包

含的基本事件個數m=c2A3=36,由此能求出他能集齊3個不同動漫角色的概率.

L4n3

【解答】解：某動漫公司推出漫畫角色盲盒周邊售賣，每個盲盒中等可能的放入該公司

的3款經典動漫角色玩偶中的一個.

小明購買了4個盲盒，

基本事件總數“=34=81,

他能集齊3個不同動漫角色包含的基本事件個數m=c2A3=36,

.?.他能集齊3個不同動漫角色的概率p=a=36=4

n819

故答案為：A.

9

【點評】本題考查概率的運算，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能

力等數學核心素養，是基礎題.

22

9.（5分）已知為、尸2是橢圓,寫=1的左、右焦點，點P是橢圓上任意一點，以PF1

為直徑作圓N,直線ON與圓N交于點。（點Q不在橢圓內部），則西?瓦=3.

【分析】根據中位線定理及橢圓的定義，表示出|。。|,利用極化恒等式即可求得西■?幣7

的值.

【解答】解：連接PF2,由題意可知|PF2|=2|。',\NQ\=l.\PFi\,

2

所以|OQ|=|OM+|NQ尸」(\PF2\+\PFI\)=AX4=2,

22

由極化恒等式可知QF；QFj=■國尸2『=4-1=3,

所以西?西=3,

(極化恒等式：a?b=(a+b)2-(a-b)2)

4

故答案為：3.

【點評】本題考查橢圓的定義與性質，中位線定理及向量的數量積運算，考查向量的極

化恒等式的應用，針對于極化恒等式，需要學生會推導及會使用，在做題中能起到事半

功倍的效果，屬于中檔題.

10.(5分)已知函數/(尤)=/-4|川+——+“有且只有一個零點，若方程f(x)=上無解,

x2+l

則實數%的取值范圍為(-8,0).

【分析】先判斷出函數/(x)為偶函數，結合題意得到/(0)=0,得到a的值，從而求

出/(x),再判斷函數/(X)的單調性，確定f(x)的取值范圍，即可得到k的范圍.

【解答】解：函數/(x)=7-a|x|+_^+”的定義域為R,

x2+l

又—(-x)—X1-a|x|+—-—+a—f(%),

x2+l

所以/(x)為偶函數，

又函數f(x)=/-a\x\+---+a有且只有一個零點，

x2+l

所以/(0)=0,

解得67=-1,

故f(X)=/+|川+―---1,

x2+l

所以/（x）=/+1+—-—+\x\-2,

x2+l

因為y=/+l+—_在［0,+°°）上為單調遞增函數，且丁=國-2在［0,+8）上為單調

遞增函數，

所以函數f（x）在［0,+8）上為單調遞增函數，

又/（x）為偶函數，

所以/（x）（0）=0,

因為方程/（X）=%無解，

所以％<0,

故實數k的取值范圍為（-8,0）.

故答案為：（-8,0）.

【點評】本題考查了函數與方程的綜合應用，函數性質的綜合應用，考查了函數單調性

與奇偶性的判斷與應用，函數零點定義的理解與應用，考查了邏輯推理能力，屬于中檔

題.

11.（5分）己知數列｛“”｝滿足。1=1,若數列｛為｝滿足數=/nor｛ai+i-aRlW/（?GN*）?

且即+辦=2"（〃€N*）,則數列｛詞的通項公式如=上

【分析】根據已知條件分別求m,。2,成，…,由歸納即可得｛珈｝的通項公式.

【解答】解：因為a"+d=2"（尤N*）,

由。1=1,可得加=。2-41=21-1=1,

所以02=01+1=1+1=2,

因為（72+&2=22=4,

可得b2—2=a3-42,

所以“3=4,

因為i?3=23-?3=8-4=4=44-43,

可得“4=8,

***,

所以an—bn=2"

故答案為：2"I.

【點評】本題考查了數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

12.（5分）設函數/G）的定義域是（0,1）,滿足:

(1)對任意的xe(0,1),f(x)>0；

,,.,...f(x1)f(1-X1)

(2)對任意的XI,X2e(0,1),都有,1、———!—<2；

f(x2)f(l-X2廣

⑶f(y)=2-

則函數晨x)=xf(x)+工的最小值為

X

【分析】由條件(1)(2)進行推導可得了(X)關于直線》=工對稱，借由對稱軸推出f

2

(X)為常數函數，代入g(x)基本不等式求最值運算.

【解答】解：由題意，令Xl=l-X2,

fX

ET依f(1-Xi)-r2-^f(X)

則不等式法2等價于y十次至2產2,

由(1)對任意(0,1),f(x)>0,

f(1-X2)f(x2)If(1-X2)~f(X2)

=2,

f(X2)f(l-x2)f(x2)f(1-X2)

所以;⑸)=2,

f(X2)f(1-X2)

f(1_)f(x)

當且僅當__?x_=_:，即f(X2)=/(l-X2)時等號成立,

f(X2)f(l-X2)

所以y(x)關于直線》=工對稱，

2

所以，(XI)=f(1-XI),f(X2)=f(1-X2),

則不等式空4卷2等價于蓄器4-

f(x2JfU-x2)f(x2)fkx2)

所以"I興41，

fix?)

因為對任意(0,1),f(x)>0,

所以f(XI)0(X2)>

所以,/1(XI)-f(X2)恒成立，

故/(x)為常數函數，

因為/(工)=2,

所以f(x)=2,

所以g(x)=xf(x)+A=2X+A,

XX

因為xW(0,1),

所以2%+1》班二]=2料(當且僅當x=坐時等號成立)，

所以g(x)的最小值為2我.

故答案為：2近.

【點評】本題考查了抽象函數的性質，基本不等式求最值，屬于難題.

二、選擇題(本大題共4小題，每題5分，滿分20分)

13.(5分)已知等比數列｛曲的公比為q(</#()),是｛如｝的前“項和.則“數列｛麗｝單

調遞減”是S2>S4”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】由等比數列的通項公式和數列的單調性的定義，結合充分必要條件的定義可得

結論.

【解答】解：由S2>S4,可得a\+a\q>a\+a\q+a\c^+a\<f',

即為ai(1-/)>0,ax(]+?)<0>

若ai>0,則-l<g<l,且q#0,又q<-1,可得q€0；

若ai<0,則g>l或4<-l,又q>-I,可得q>l,

綜上可得，數列｛z｝單調遞減；

但“數列｛即｝單調遞減“推不到>〃3,S2>S4”,

所以“數列｛%｝單調遞減”是“0>。3,S2>S4”的必要不充分條件，

故選：B.

【點評】本題考查等比數列的通項公式的運用，以及數列的單調性的判斷和充分必要條

件的定義，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題.

14.(5分)下列四個命題中真命題是()

A.同垂直于一直線的兩條直線互相平行

B.底面各邊相等，側面都是矩形的四棱柱是正四棱柱

C.過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條

D.過球面上任意兩點的大圓有且只有一個

【分析】A,同垂直于一直線的兩條直線的位置關系不定；

B,底面各邊相等，側面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；

C,兩條異面直線的公垂線是唯-一的，所以過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線有

且只有一條；

D,過球面上任意兩點的大圓有無數個；

【解答】解：對于A,同垂直于一直線的兩條直線不一定互相平行，故錯；

對于8,底面各邊相等，側面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故錯;

對于C,兩條異面直線的公垂線是唯一的，所以過空間任一點與兩條異面直線都垂直的

直線有且只有一條，正確；

對于O,過球面上任意兩點的大圓有無數個，故錯；

故選：C.

【點評】本題考查了命題真假的判定，屬于基礎題.

15.（5分）已知a，b，c和d為空間中的4個單位向量，且a+b+c—0＞則Ia-d+lb-d+lc-d

不可能等于（）

A.3B.2A/3C.4D.3&

【分析】首先由三個向量和為0向量得到三向量共面且兩兩成120度，再分情況考慮三,

不難得解.

【解答】解：設向量之，fe,c,3分別對應向量水，而，灰，而，

由；+E+W="可知三個向量兩兩夾角為120°,

如圖，當。與A重合時，所求值為2、后；

當。與M重合時，所求值為4；

當OO_L平面4BC時，所求值為3圾.

故選：A.

【點評】此題考查了向量的幾何意義，分類討論，數形結合等，難度適中.

16.(5分)函數f(x)的定義域為。，若/(x)存在反函數，且/(%)的反函數就是它本

身，則稱f(x)為自反函數.有下列四個命題：

①函數是自反函數；

②若/(x)為自反函數，則對任意的在。，成立/(/(x))=x；

③若函數￡&)=五丁(3<*41))為自反函數，則的最大值為1；

④若是定義在R上的自反函數，則方程/(x)=x有解.

其中正確命題的序號為()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【分析】由反函數跟自反函數定義逐一進行判斷.

【解答】解：①，因為/Xx)=-上，

x+1

定義域為Wx#-1},

設尸——,

x+1

所以y(x+1)=-x,

解得x=--匕，

y+l

所以f(x)的反函數為y=-(xW-1),

x+1

即/(x)反函數為它本身，滿足自反函數定義,

故①正確，排除C；

對于③，要使/(X)，有意義,

則1-』》0,

即-IWxWl,

因為/（X）為[m切上的自反函數，

所以[a,b]Q[-1,0]或[a,i]￡[0,1],

所以則b-a的最大值為1,③正確，排除8；

對于④，因為互為反函數的兩個函數圖象關于直線y=x對稱，

而/（X）為定義在R上的自反函數，

故/（x）圖象關于y=x對稱且與y=x有交點，

所以方程/（x）=x有解，故④正確；

故選：D.

【點評】本題考查了反函數的求法，屬于基礎題.

三、解答題（本大題共5小題，滿分76分）解答下列各題要有必要的解題步驟，并請在規

定處答題，否則不得分。

17.（14分）在四棱錐P-ABCD中，底面為梯形，AB//CD,ZBAP=ZCDP=9Q°,PA

=PD=AB=2,PALPD,四棱錐P-ABCQ的體積為4.

（I）求證：AB_L平面PAD-,

（2）求PC與平面ABC￡＞所成角.

【分析】（1）證明CO_LOP.AB1DP,然后證明AB_L平面%D

（2）作AQ的中點E,連結PE,CE,說明PE為四棱錐P-ABC。的高，NPCE為PC

與平面ABC。所成角.通過四棱錐P-ABC。的體積，求解得CQ=4.在Rt^PEC中，

求解PC與平面ABCD所成角.

【解答】（1）證明：VZBAP=ZCDP=90°,：.AB1,AP,CDLDP.

又ABMCD、：.ABLDP.'：APQDP=P,AP,DPcffiPAD,

."8J_平面PAD.

（2）解：作A￡）的中點E,連結PE,CE,

?：PA=PD,PA±PD,：.PE±AD,AD=2后，PE=yAD=V2-

由(1)AB_L平面RW,故AB_LPE,

又ABnAZ)=A,AB,ADu面ABC。，

所以PE_L平面A8CD,即PE為四棱錐P-ABC。的高，NPCE為PC與平面ABCQ所

成角.

四棱錐P-ABCD的體積為

4=1S梯形ABQ)?PE?鮑羅??AD'PE=y?272?歷

得C￡>=4.

在RtAPDC中，PC=VPD2+DC2=V22+42=2V5,

在RtZ\PEC中，sinNPCE等條率，ZPCE=arcsirX^-

1v5iu

【點評】本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面所成角的求法，直線與平面垂直的

判斷定理的應用.考查空間想象能力以及計算能力.

18.(14分)已知函數/(x)=x,g(x)=/-，〃x+4,weR.

(1)當機=4時，解不等式g(JC)>\f(x)-2|.

(2)若對任意的x?l,2],存在％241,2],使得g(xi)—f(X2),求實數，〃的取值范

圍.

【分析】(1)當帆=4時，不等式g(x)>[/(x)-2|可化為仇-2|>1,解之即可；

(2)可求得當x€[l,2]Hj,f(x)e[l,2],依題意，1Wx2m+4W2恒成立=(x+"^)

xmax

WmW(x3)，利用對勾函數的性質分別求得(x+2)與(x+冬)，即可求得

XminXmaxxmin

實數機的取值范圍.

【解答】解：(1)當機=4時，不等式g(x)>[/(x)-2|可化為：|X-2|2>|X-2|,

aPk-2|>i,

解得x>3或xVl,

故不等式g(x)>|/'(x)-2]的解集為{x|x>3或x<l}.

(2)'：f(x)=x,

.,.當x€[l,2]時，f(x)6[1,2]；

又g(x)=/-〃?x+4,,2],

對于任意的2],總存在也(1,2],使得g(xi)=/(x2)成立，

，g(x)的值域是/(x)的值域的子集，

即當x€[l,2]時，1W/-m+4W2恒成立=@閆)，

YV

maxAmin

又當爛口，2]時，由對勾函數的性質可得y=x+212我，3J,y=x+312?,4],

XX

.,.3W/nW2

即，〃的取值范圍為[3,2V31.

【點評】本題考查函數恒成立問題與絕對值不等式的解法，考查化歸與轉化、函數與方

程等數學思想，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于中檔題.

19.(14分)2021年10月13日第18號臺風“圓規”在海南某地登陸，最大風力達到12

級.路邊一棵參天大樹在樹干某點B處被臺風折斷且形成120°角，樹尖C著地處與樹

根A相距10米，樹根與樹尖著地處恰好在路的兩側，設NC43=e(A,B,。三點所在

平面與地面垂直，樹干粗度忽略不計).

(1)若8=45°,求折斷前樹的高度(結果保留一位小數)；

(2)問一輛寬2米，高2.5米的救援車能否從此處通過？并說明理

可；

(2)設△48C的內接矩形。EFG的邊OE在AC上且。E=2,設。G=EF=/b由/C4B

=0,構建函數〃=*sin8sin(60°一8),再結合。范圍求得〃范圍，然后與救援車

sin60

高比較即可得到答案.

【解答】解：(1)在△ABC中，NCBA=120°,NCAB=45°,

所以/8C4-15°,

由正弦定理，得一^―=~^―=一

sinl5sin45sinl20

所以AB+8C=——"——(sinl50+sin45°)=曳@§逅心11.2,

sinl20°3

答：折斷前樹的高度11.2米；

(2)如圖,

設adBC的內接矩形DEFG的邊DE在AC上且DE=2,設DG=EF=h,

因為NC4B=3ZCBA=120°,所以NBC4=60°-0,

所以AD+CE+DE=——+------h-------+2=10,

tan?tan(600-0)

所以.cosB+COS(60°-8)]=8,

sin6sin(600-0)

h—8sin8sin(600-8)-16(次

sin20l-cos28)

sin60°V344

因為g(0,；),所以28T■€(看，

所以sin(20+21)e(A,1],所以左(0,

62

由于曳3<2.5,

3

所以高2.5米的救援車不能從此處通過.

【點評】本題考查了解三角形的應用，正弦定理，三角函數值域的求法，屬于中檔題.

22

20.(16分)已知橢圓C：2_+2_=i的左、右焦點分別為四、F2,點AG/a，0)在橢圓

bz

上，且有?麗=3,點P，Q是橢圓上關于坐標原點。對稱的兩點?

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若點P在第一象限，軸于點N,直線QN交橢圓于點M(不同于。點)，試

求NMPQ的值；

(3)已知點R在橢圓上，直線PR與圓/+丫2=2相切，連接QR,問：回_是否為定

iQRl

值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.

【分析】第一問要弄清楚4點就是橢圓的右頂點，第二問要設而不解，計算較繁瑣，通

過計算找出兩直線PM和PQ是垂直關系，第三問要分直線PR的斜率是否存在兩種情況

進行討論.

【解答】解：(1).；點A(簧，0)在橢圓上.

又：AF[=(-c-a,0),AF2=(C-V6?

=6

,,AFj*AF2-°=3。

.*.C2=3,h2=3.

22

橢圓C的標準方程：/

63

(2).設P(xo,yo)(xo>O>yo>O),M(xi,yi)則Q(-xo,-yo),N(xo,0).

因為M、N、。三點共線，所以＞1=也-,所以門=了0鼠1-0)①.

1

X「XQ2X02X()

22

X。yp__

6+3=1

,兩式相減得也？xl+-x-0-----

聯立，②

22X[-X02(yi+y°)

工江=1

63

將①代入②中的右邊的分母中，化簡可得：±1二①=-2

xl-x0Vo

所以KPM=一竺，又因為KPQ=^~,

y。xo

所以KPM*KPQ=-1,所以PMVPQ,

所以NMPQ=JL.

2

(3).①當直線PR的斜率不存在時，依題意可得直線PR的方程為x=&或x=

若直線PR：x=M，則直線PQ：y=x,可得尸(④，-亞)，Q(-我，-我)，R(&，

'加).

則|PR|=2F，|QR|=2后，所以他j-口.

IRQI

其他情況由對稱性同理可得㈣-=1.

IRQI

②當直線PR的斜率存在時，設直線PR的方程為y=kx+m,

因為直線與圓。相切，所以圓心0到直線PR的距離為了回一=如,即依|=丹2（1+卜2）-

Vk2+1

設尸（xi,yi）,R（X2,”），則Q（-xi,-yi）.

y=kx+m

聯立<22,消去y,得（1+2F）7+4協tx+2m2-6=0,△>0.

同y3

1n

則xi+%2=—曲m,XIX2=2二$.

l+2k2l+2k2

2VWl+k2T6k24+3=

所以|PR|

l+2k2

2VWl+k2Wl+4k2

l+2k2

因為IQR尸國百百丁.

1

又因為yi+y2=k（XI+X2）+2,“=k-"V）+2m=―空弓.

l+2k2l+2k2

所以\QR\=J"4km.）2+（2m）2=之回也+火

Vl+2k2l+2k2l+2k2

2&V1+1^71+4k2二

l+2k2

即旭4

IQRI

綜上所述，M

IQR

【點評】本題考查了橢圓的定義標準方程、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的

根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

21.（18分）已知數列｛〃”｝滿足m=0,_an\=n>且L.（門￡N*>

（1）求44的所有可能取值；

（2）若數列｛"2”｝單調遞增，求數歹1|｛。2"｝的通