2020-2021學年北京市海淀區高二（下）期中數學試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項.

1.（4分）在等差數列｛〃〃｝中，若m=2,々2=4,則4=（）

A.6B.8C.16D.32

2.（4分）下列求導運算中錯誤的是（）

A.（3V）'=3xln3B.（Alli.）'=JTnx

%Tx2

C.（l+」）'=1+^^D.（sinx^cosjc）'=cos2x

Y2

xx

3（4分）已知加，小p,q為正整數，在等差數列｛。〃｝中，“m+〃>p+q”是“切〃+。〃>劭+的”

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（4分）已知x=2是函數/（%）=/-3"+2的極小值點，那么函數八%）的極大值為（）

A.-2B.6C.17D.18

5.（4分）如果等比數列｛〃〃｝的前〃項和S〃=2〃+i+o,則常數。=（）

A.-1B.1C--2D.2

6.（4分）用數學歸納法證明，正工―!_…?+'A^(n€N*)時，由幾=人到拉=

n+1n+2n+3n+n24

Hl時，不等式左邊應添加的項是（）

A.備B.-1__L

2k+lk+1

D.―1------

02k+「2k+2

2k+l2k+2

xlnx,x>0

7.（4分）已知函數f（x）=<x40，則函數y=f(x)的圖象大致是()

8.（4分）數列｛〃〃｝,｛歷｝用圖象表示如下，記數列｛〃疝〃｝的前〃項和為S〃，則（）

??

*

??

—7：--------1-------------1----------?--------------1----------r1----------?

O.511〃O5.11〃

???.?????

A.Si>S%Sio<5iiB.S4>S5,5IO<513

C.S1VS4,Sio>SnD.S4Vs5,SIO>S13

9.（4分）做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其容積為27n且用料最省，則水桶底面圓的半

徑為（）

A.1B.3C.5D.7

10.（4分）已知“〃｝是遞增數列，且物，0,則關于數列｛初卜對任意的正整數p,q,下列

結論不可能成立的（）

A.Xpq=pXq+qXpB.Xp+q=pXq+qXp

C.Xpq=Xp+Xq_1D.Xp+q=2xpXq

二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）

11.（4分）已知f（x）=ln（3x-1）,則，（1）=.

12.（4分）已知3個等差數列｛斯｝，｛尻｝,｛c“,其中數列｛Cn｝的前〃項和記為S〃，已知斯

?bn=Sn,寫出一組符合條件的｛斯｝與｛為｝的通項公式.

13.（4分）已知數列｛〃”｝的前n項和Sn,且滿足an+Sn=1,則—SL+—S2+S_A+…+一S2

ala2a3a9

14.（4分）若直線/與曲線C滿足下列兩個條件：（力直線/在點尸（xo,州）處與曲線C

相切；（萬）曲線C在點P附近位于直線/的兩側，則稱直線/在點P處''切過”曲線C.下

列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）

①直線/：y=0在點P（0,0）處“切過”曲線C：y=x3.

②直線/：y=x-1在點P（1,0）處“切過”曲線C：y=lnx.

③直線/：y=-入+rr在點P（K,0）處“切過"曲線C：y=sior.

④直線/：y=x+l在點P（0,1）處“切過”曲線Cy=".

15.（4分）已知數列｛”,｝滿足a=1,42,&5N*,[斯]表示不超過%的最大整數（如[1.6]

1k

=1）,記加=[〃”],數列｛仇｝的前〃項和為7k

①若數列｛即｝是公差為1的等差數列，則74=:

②若數列｛m｝是公比為Z+1的等比數列，則T"=.

四、解答題（每道題10分，共40分）

16.（10分）已知｛祈｝是等差數列，其前"項和為S”已知。5=5,55=15.

（1）求數列｛板｝的通項公式；

（2）設劭=log2尻,求數列｛為｝的前"項和".

17.（10分）問題提出：新型冠狀病毒是--種人傳人，不易被人們直覺發現，危及人們生命

的嚴重病毒.我們把與新型冠狀病毒患者有過密切接觸的人群稱為密切關聯者.己知每

位密切關聯者通過核酸檢測被確診為陽性后的概率為p（0<p<l）.一旦被確診為陽性后

即將其隔離.某位患者在隔離之前，每天有％位密切關聯者與之接觸，其中被感染的人

數為X（OWXWk）.該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，在這14天內患者無任何癥

狀，則為病毒傳播的最佳時間.設每位患者在不知自己患病的情況下的第二天又與々位

密切關聯者接觸并繼續傳染其他人.小明想通過數學建模分析從某一名患者攜帶新型冠

狀病毒的第1天開始算起，第〃天新增患者數&（〃》2）,同時他想研究戴口罩是否能夠

切實減少病毒傳染.

一、模型假設：L潛伏期病毒未被發現，持續傳播

2.每位患者每天接觸的人數均為k

3.假設每位患者每天接觸的密切關聯者被感染人數為定值X=kp

二、模型求解：

①根據題意，最初患者自己被感染，即第1天人數為1,

第2天被感染人數增至為：1+1?切=1+切：

第3天被感染人數增至為.

于是可以得出，第"天新增加人數&=,

小明根據自己的生活經驗取上=10,p=l.

2

①E8的值為；

②經大量臨床數據驗證佩戴口罩后被感染患病的概率p'滿足關系式p'=ln(1+p)-

空,當p'取得最大值時，計算p'所對應的芯6'和2=』所對應的E6值，然后根據計

32

算結果說明佩戴口罩的必要性.

(參考數據：［"2*0.7,加5-1.6,-1七0.3,2^0.7,66=46656.計算結果保

33

留整數)

三、模型檢驗與評價：通過與新聞中的數據對比，小明計算出的被感染人數遠高于實際

的感染人數，你認為原因是什么？.

18.(10分)已知函數/(x)—In(1+x)-mx.

(I)當m=1時，求函數/(x)的單調遞減區間；

(II)求函數/(X)的極值；

(III)若函數/(x)在區間［0,e2-1］上恰有兩個零點，求成的取值范圍.

19.(10分)設〃為給定的大于2的正整數，集合S={1,2,…，〃},已知數列A”：Xi,%2,…，

X”滿足條件：

①當時，xi&S；

②當iWiV/W〃時，xi^xj.

如果對于產小有芍，則稱(xi,xj)為數列4的一個逆序對.記數列4的所

有逆序對的個數為T(AQ.

(1)若7(A4)=1,寫出所有可能的數列A4;

(2)若T(A”)=2,求數列4的個數；

(3)對于滿足條件的一切數列A”，求所有7(4,)的算術平均值.

一、選擇題（共三道小題，每題6分，18分）

20.（6分）若函數/（x）的導函數的圖象關于y軸對稱，則/（x）的解析式可能為（）

A.f（x）=3cosxB.f（x）=/+/+1

C.f（x）=sin2xD.f（x）=，+x

21.（6分）若對一切正實數x恒成立，則實數a的取值范圍是（）

A.（-8,J-]B.（-8,1]C.（-8,2]D.（-8,e]

e

22.（6分）將一條均勻柔軟的鏈條兩端固定，在重力的作用下它所呈現的形狀叫懸鏈線，

例如懸索橋等.建立適當的直角坐標系，可以寫出懸鏈線的函數解析式為八x）=“cosh三,

a

其中〃為懸鏈線系數，coshA?稱為雙曲余弦函數，其函數表達式為coshx=e'+e—,相

2

X-X

應地雙曲正弦函數的函數表達式為sinlu=e-e.若直線x=m與雙曲余弦函數。

2

和雙曲正弦函數C2分別相交于點A,B,曲線C1在點A處的切線與曲線C2在點B處的

切線相交于點P，則（）

A.y=sinhrcoslir是偶函數

B.cosh（x+y）=coshxcoshy-sinhxsinhy

C.13Pl隨m的增大而減小

D.△%8的面積隨機的增大而減小

二、填空題（共三道小題，每題6分，18分）

23.（6分）某堆雪在融化過程中，其體積V（單位：m3）與融化時間f（單位：h）近似滿

足函數關系：V（r）=H（10-Ar）3（”為常數），其圖象如圖所示.記此堆雪從融化

10

開始到結束的平均融化速度為氤加/力）.那么“，12,a%中，瞬時融化速度等于）/，）

的時刻是圖中的

24.(6分)法國數學家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數論》中提出一個定理：如果

函數y=/(x)滿足如下條件：

(1)在閉區間［〃，切上是連續不斷的；

(2)在區間(a,b)上都有導數.

則在區間(a,b)上至少存在一個數亭使得/(b)-f(?)=f⑴(b-a),其中J稱

為拉格朗日中值.則g(x)=炭在區間［0,1］上的拉格朗日中值E=.

25.(6分)如圖，已知拋物線y2=x及兩點4(0,yi)和A2(0,”)，其中戶過

Ai,A2分別作y軸的垂線，交拋物線于31,比兩點，直線8IB2與)，軸交于點A3(0,*),

此時就稱41,A2確定了A3.依此類推，可由42,43確定A*….記A)(0,y”)，n=l,

2,3,

給出下列三個結論：

①數列｛?｝是遞減數列；

②對V〃6N*,yn>0；

③若yi=4,”=3,則丫5上.

其中，所有正確結論的序號是.

三、解答題(共14分)

26.(14分)已知函數fG)=/〃x+4or2-(〃+1)x,(tzGR).

2

(1)當。=1時，判斷函數y=f(x)的單調性；

(2)若關于x的方程/G)=加有兩個不同實根M,X2,求實數。的取值范圍，并

2

證明x]*x2>e2.

2020-2021學年北京市海淀區高二（下）期中數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項.

1.(4分)在等差數列｛〃”｝中，若m=2,42=4,則.4=()

A.6B.8C.16D.32

【解答】解：?.?在等差數列｛%｝中,“1=2,42=4,

??d=~ci2~〃]=4~2=2,

???。4=〃1+3d=2+6—8.

故選：B.

2.(4分)下列求導運算中錯誤的是()

A.(3D'=yin3B.(近)'l-lnx

Xx2

C.(x+-l)'=1+工D.(sinxecosx)'=cos2x

2

xx

lnxslTnx(x*),i

【解答】解：(3與，=3xln37zT=1-'

X

(sinx^cosx)7=(~*sin2x)7=cos25r

故選：C.

3.（4分）已知/n,p,4為正整數,在等差數列｛板｝中，“加+/t>p+q”是“即+〃”>即+劭”

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：根據題意，在等差數列｛〃〃｝中，若公差d=0,有m+n>p+q,但即+〃〃=即+劭，

則+〃>p+q"不是"am+a〃>ap+aq”的充分條件，

反之，在等差數列｛斯｝中,若公差dVl,有41+07=2）4,〃2+。4=2〃3，

有。1+〃7<。2+。4,但1+7>2+4,

則“m+〃>p+q”不是“am+an>ap+aq”的必要條件，

故"m+n>p+q"不是“〃加+〃〃>即+劭”的既不充分也不必要條件，

故選：D.

4.（4分）已知x=2是函數/（x）=/-3ax+2的極小值點，那么函數/（%）的極大值為（)

A.-2B.6C.17D.18

【解答】解：函數/(尤)=/-3ox+2的導數/G)=3/-3a,

由題意得，/(2)=0,即12-3。=0,4=4.

f(x)=丁-12X+2,f(x)=37-12=3(x-2)(x+2),

f(x)>0,得x>2或x<-2；/(x)<0,得-2<xV2,

故x=2取極小值，x=-2取極大值，且為-8+24+2=18.

故選：D.

5.(4分)如果等比數列｛“〃｝的前〃項和S“=2"+i+a,則常數。=()

A.-1B.1C.-2D.2

【解答】解：???等比數列｛“”｝的前〃項和S,=2"+i+”，

2,

a1=S1=2+a=4+a

a2=S2-S\=23+a-22-a=4,

a3=^3~^2=2^+a-2p—8

Vai,a2,“3成等比數列，

;.42=(4+“)X8,

解得常數。=-2.

故選：C.

6.（4分）用數學歸納法證明N*）時，由〃=/到”=

n+1n+2n+3

k+\時，不等式左邊應添加的項是（）

A.-J_B.3-

2k+l2k+lk+1

C.-J-U-D.-J5-

2k+l2k+22k+l2k+2

【解答］解：當"=%時，左邊的代數式為」+…二_

k+1k+2k+3k+k

當Z+l時，左邊的代數式為-^―H一一-----J一-

k+1+1k+1+2k+l+kk+l+(k+i)

故用〃=k+l時左邊的代數式減去〃=/時左邊的代數式的結果為:

-----1----+1_----1---_--1------------1--

k+l+kk+l+(k+i)k+12k+l2k+2

故選：D.

xlnx,x>0

7.（4分）已知函數/G）=\x,則函數y=/（x）的圖象大致是（）

.一

I

xlnx,x>0

【解答】解：根據題意，函數f（x）=<工><0t

x

e，

在區間（0,1）上，/（x）=xlnx,x>0而歷/V0,有f(x)<0,排除C,

在區間（1,+8）上，f（%）=xlnx,x>0而有f(x)>0,排除B￡),

故選：A.

8.（4分）數列｛〃〃｝,｛加｝用圖象表示如下，記數列｛。疝〃｝的前〃項和為則（)

??

??

~o.511〃~o5.F〃

???

A.51>54,5io<SilB.S4>S5,5IO<S13

C.Si<S4,Sio>SiiD.S4<Ss,Sio>Si3

【解答】解：由數列｛a”｝,｛尻｝圖象可知，當"W4時，an<0,當”25時,an>0；

當“W10時，bn<0,當“211時,bn>0,

.?.當“W4時,a,,bn>0,A51<54,排除A選項；

45加<0,；.S4>S5,排除。選項；

aii&n>0,.*.Sio<Sn,排除C選項：

HW"W13時,anbn>0,/.5IO<S13,B選項正確.

故選：B.

9.（4分）做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其容積為27n且用料最省，則水桶底面圓的半

徑為（）

A.1B.3C.5D.7

【解答】解：設圓柱的高為/?,半徑為r,則由圓柱的體積公式可得，皿2/7=27n，

二仁絲,

r2

S全面積=Tir^+lTtrh—nr2+2irr??殳工=ur1+/兀,+/''兀一》

產rrr

3；府江近=27n,

Vrr

當且僅當加2=空匕即廠=3時取等號，

r

當半徑為3時，S最小即用料最省，

故選：B.

10.（4分）已知｛X"｝是遞增數列，且初，0,則關于數列｛初｝,對任意的正整數p,q,下列

結論不可能成立的（）

A.Xpq=pXq+qXpB.Xp+q=pXq+qXp

C.Xpq=Xp+Xq-1D.X］汁q=ZXpXq

【解答】解：A.?：Xpq=pxq+qxp,,??二￡1二三122_,取物=〃/〃〃，則數列｛物｝滿足條件，

pqqP

，選項A可能成立；

B..:xp+q=pxq+qxp,令p=q=l，則X2=2XI；令p=2,q=l,則X3=2XI+X2=4XI；令p

=<7=2,則％4=4X2=8JII；令p=3,q=l,則X4=3XI+X3=7XI,/.8xi=7xi,即xi=O,

.??初=0,與｛物｝是遞增數列矛盾，，選項B不可能成立；

C.,**Xpq—Xp^Xq~1,?,*Xpq_1=（.Xp~1）+（.Xq~1）,取=,則數列｛??｝輛足條

件，，選項C可能成立；

n

D.*.*Xp+q=IXpXqf2Xp+（7=（2%〃）?（2必），取x=——，則數列｛不〃｝）兩足條件，，選項。

n2

可能成立.

故選：B.

二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）

11.（4分）已知/（X）=In（3x7）,則/（1）=_A_.

~2~

【解答】解：,.了（x）=/〃（3x7）,

則/（1）=./-=§,

3-12

故答案為：3

2

12.（4分）已知3個等差數列｛曲｝,｛加夕｛Cn｝,其中數列｛Cn｝的前〃項和記為際,已知所

?bn=Sn,寫出一組符合條件的2八與1為1的通項公式a”=〃，E=空1（答案不唯一）.

2

【解答】解：取。"=",尻=生1,Cn=〃，

2

n

則an,bn=用口+1-）.,Sn—\+2+*+n=Q1+l-!_.

22

故答案為：的=〃，治=二秘（答案不唯一）.

2

13.（4分）已知數列｛〃〃｝的前n項和Sn,且滿足an+Sn=1,貝|J二SL+—S2+^S3+…+、S>=

ala2a3a9

1013.

【解答】解：由題意，當〃=1時，ai+Si=2m=l,解得m=」,

2

當〃22時，由=1,

可得(In-1+S/z-1=1,

兩式相減，可得4〃-4/?一1+。〃=0,

整理，得1,

2

數列｛〃”｝是以上為首項，工為公比的等比數歹(I，

22

(A)",〃€N*,

222

3一旦

ala2a3a9

=(21-1)+(22-1)+(23-1)+?+(29-1)

=(2,+22+23+?+29)-9

-2-210-9

1-2

=1013.

故答案為：1013.

14.(4分)若直線/與曲線C滿足下列兩個條件：(力直線/在點P(xo,yo)處與曲線C

相切：(〃?)曲線C在點P附近位于直線/的兩側，則稱直線/在點P處“切過”曲線C下

列命題正確的是①③(寫出所有正確命題的編號)

①直線/：y=0在點P(0,0)處“切過”曲線C：y=?.

②直線/：y=x-1在點P(1,0)處“切過”曲線C：y=lnx.

③直線/：y—-x+Tt在點P(n,0)處“切過"曲線C：y=sinx.

④直線/：y=x+l在點P(0,1)處“切過”曲線C：

【解答】解：①，由＞=/,得＜=37,則y'k=o=O,直線y=0是過點P(0,0)的

曲線C的切線，

又當x＞0時)，＞0,當xVO時yVO,滿足曲線C在尸(0,0)附近位于直線y=0兩側，

故命題①正確；

②由y=/〃x,得y'貝!ly'k=i=l,曲線在尸(1,0)處的切線為y=x-1,

x

由g(x)—x-1-Inx,得g'(x)=1-工，當x€(0,1)時，g'(x)<0,當(1,

X

+°°)時，

g'(x)>0.則g(x)在(0,+8)上有極小值也是最小值，為g(1)=0.

即y=x-1恒在y^lnx的上方，不滿足曲線C在點P附近位于直線/的兩側，故命題②

錯誤，

③由y=sinx,得>'=cosx,則y'卜=底=-1,直線y=-X+TT是過點P(0,0)的曲線

的切線，

又在(--,0)時x<sinx,xG(0,―)時x>sinx,滿足曲線C在P(0,0)附近

22

位于直線y=-x+u兩側，故命題③正確；

④函數y=，的導數/(x)=y=/,則/(0)=1,則切線方程為y=x+l,

設g(x)—ex-(x+1),則g'(x)=F-1,當x>0,g'(x)>0.函數g(x)遞增，

當x<0時，g'(x)<0,函數g(x)遞減，

則當x=0時，函數取得極小值同時也是最小值g(0)=1-1=0,

貝i」g(x)>g(0)=0,即，>x+l,則曲線不在切線的兩側，故④錯誤.

故答案為：①③

15.(4分)已知數列｛麗｝滿足a,=X122,任N*,[而表示不超過所的最大整數(如[1.6]

1k

=1),記加=[。〃],數列｛加｝的前幾項和為

①若數列｛板｝是公差為1的等差數列，則74=6；

②若數列｛麗｝是公比為k+1的等比數列，則也=±|(1+會"-泌-1].

k2

【解答】解：①\?數列｛的｝滿足a]，-2,在N*,

1k

[的]表示不超過an的最大整數bn=[an],數列｛%｝的前n項和為T,,.

數列｛前｝是公差為1的等差數列，

an4+(n-l)X1=/7+T--1)

nkk

bn=[cin]=72-1,

:.3i=。1+萬2+加+/%=0+1+2+3=6.

②,?,數列｛斯｝是公比為4+1的等比數列,

a\=—,攵22,

k

sn1

.\an=—*Ck+\)

k

=A>(F'!+r12+r2?父3+…+「kT?攵+「nT),且加=[〃”,

kbn-lbn-lbn-l^n-l

，數歹U｛尻｝的前〃項和為：

7”=0+1+(A+2)+(d+3-3)+???+(代一2+1?依-3+「2.^-4+.?+k-l)

Ln-1un-lun-l

=(1+2+3+…+…)+(A+c爭+資?“+喙產+(F+c：F+C滬+…+產)+???

+日2

=n(n-1)+-3&+「4F+???+「n02

2vn

=C2+,3攵+C&F+…+C*?2

=」-(「2斤+「3女4k4+?.?+「附)

,2%四％

K

=-L[(1+/)n-nk-1].

k2

故答案為：①6,@-L[(1+Dn-nk-1].

k2

四、解答題(每道題10分，共40分)

16.(10分)已知｛劭｝是等差數列,其前〃項和為S,”已知“5=5,55=15.

(1)求數列｛“”｝的通項公式；

(2)設a”=k>g2加,求數列｛為｝的前〃項和￡.

【解答】解：(I)設數列｛“〃｝的首項為G,公差為d,

71+4d=5(=1

則由。5=5,S5=I5,得I，解得4a1.

5a1+10d=15j=i

an=\+(n-1)Xl=n；

(2)由4〃=log2加，得b=2、=27

.??7)i=bi+力2+???+b〃=2+22+23+…+2*2(]-：人:2"]_2,

1-2

17.(10分)問題提出：新型冠狀病毒是一種人傳人，不易被人們直覺發現，危及人們生命

的嚴重病毒.我們把與新型冠狀病毒患者有過密切接觸的人群稱為密切關聯者.已知每

位密切關聯者通過核酸檢測被確診為陽性后的概率為〃(OVpVl).一旦被確診為陽性后

即將其隔離.某位患者在隔離之前，每天有k位密切關聯者與之接觸，其中被感染的人

數為X（OWXWk）.該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，在這14天內患者無任何癥

狀，則為病毒傳播的最佳時間.設每位患者在不知自己患病的情況下的第二天又與“位

密切關聯者接觸并繼續傳染其他人.小明想通過數學建模分析從某一名患者攜帶新型冠

狀病毒的第1天開始算起，第〃天新增患者數日（〃22）,同時他想研究戴口罩是否能夠

切實減少病毒傳染.

一、模型假設：1.潛伏期病毒未被發現，持續傳播

2.每位患者每天接觸的人數均為大

3.假設每位患者每天接觸的密切關聯者被感染人數為定值X=kp

二、模型求解：

①根據題意，最初患者自己被感染，即第1天人數為1，

第2天被感染人數增至為：1+1?切=1+新；

第3天被感染人數增至為（1+如）2.

于是可以得出，第n天新增加人數&=切（1+如）”一2,

小明根據自己的生活經驗取k=10,p=工.

2

①改的值為233280；

②經大量臨床數據驗證佩戴口罩后被感染患病的概率p'滿足關系式p'=/〃（1+p）-

2P.當p'取得最大值時，計算”所對應的瓦'和/，=』所對應的比值，然后根據計

32

算結果說明佩戴口罩的必要性.

（參考數據：歷2仁0.7,3pl.1,上5仁1.6,A^0.3,220.7,66=46656.計算結果保

33

留整數）

三、模型檢驗與評價：通過與新聞中的數據對比，小明計算出的被感染人數遠高于實際

的感染人數，你認為原因是什么？實際上有更多的防疫措施；病人體內病毒的傳染性

可能會降低；實際接觸人數可能較少.

【解答】解：①根據題意，最初患者自己被感染，即第1天人數為1,

第2天被感染人數增至為：l+l”p=l+kp；

第3天被感染人數增至為：（1+切）+（1+切）kp=（1+kp）2.

第1天被感染的人數增至為：（1+3）”一2,第〃天被感染的人數增至為：（1+切）”一1,

于是根據題意中均值定義，可以得出，第〃天新增加人數:

n2

En=(1+S)”I-(\+kp)'=kp(1+S)'「2

取人=10,P=A,得E8=10x*^(l+iox/)6=5X66=233280；

②根據題意p'=/(p)—In(1+p)--,

3?D

12=l-2p

?'?f'(P)=

1+p33(1+p)

當且僅當pe(0,1)時，f(p)>0,此時p'=于(p)單調遞增,

2

當［工，1)時，f(p)W0,即—f(/?)單調遞減,

2

于是p'—f(p)maxWp(A)—ln3-ln2-A=?0.1,

23

此時，p——<p'=0.1,

2

.,.Eh—IQX-^-(1+1QX-^-)6-2=:5X64=6480(人)，

E6'=10X需(i+］ox4)6-2=24=16(人)，

...讖口罩情況下患者與密切接觸的關聯者被感染的人數為16人,

而不戴口罩的情況下，患者與密切接觸的關聯者被感染的人數為6480人,

即瓦遠遠大于E6‘，.?.赧口罩是非常必要的.

原因：實際上有更多的防疫措施；病人體內病毒的傳染性可能會降低；實際接觸人數可

能較少.

故答案為：(l+kp)2,kp(1+kp)n'2,233280,實際上有更多的防疫措施；病人體內病

毒的傳染性可能會降低；實際接觸人數可能較少.

18.(10分)已知函數/(x)—In(1+x)-mx.

(I)當m=l時，求函數/(x)的單調遞減區間；

(II)求函數/(X)的極值；

(III)若函數『(X)在區間［0,e2-1］上恰有兩個零點，求機的取值范圍.

【解答】(/)解：依題意，函數/(x)的定義域為(-1,+8),

當，"=1時，/(x)=/"(1+x)-x,-fz(x)=----1…(2分)

1+x

由1(X)<0得二即二^<0，解得x>0或X<-1,

1+x1+x

又-1,：.x>0,.V(x)的單調遞減區間為(0,+8).…(4

分)

(〃)求導數可得f，(x)=」--IT，(X>-1)

1+x

(1)mWO時，f(x)20恒成立，.../(x)在(-1,+8)上單調遞增，無極值.…(6

分)

(2)%>0時，由于工所以-x)在(-1,工一1］上單調遞增，在4W)

mmm

上單調遞減，

從而f(x)極大值=f《-lhm-lninT，…(9分)

(///)由(〃)問顯然可知，

當“W0時，/(%)在區間［0,e2-1］上為增函數，.?.在區間［0,/-1］不可能恰有兩個零

點.…(10分)

當"i>0時，由(〃)問知/(x)極大值=f(-1-1),

m

又/(0)=0,六。為/(x)的一個零點.…(11分)

f(e2-lXd

.?.若/(X)在［0,-1］恰有兩個零點，只需，

2

0<--l<e-l

m

2-m(e2-l)<0

即呈Ml，

?,?一—<10<1…(13分)

e~1

19.(10分)設n為給定的大于2的正整數，集合S={1,2,…，〃},已知數列An：x\,X2,…,

滿足條件:

①當IWiW”時,xieS；

②當時，xi^xj.

如果對于iWf/W”，有為>不，貝IJ稱(%,■,為)為數列4的一個逆序對.記數列4的所

有逆序對的個數為T(An).

(1)若7(4)=1,寫出所有可能的數列A4；

(2)若7(4)=2,求數列A〃的個數;

(3)對于滿足條件的一切數列4”，求所有7(4,)的算術平均值.

【解答】解:(1)4可以是：1243,1324,2134,共3個.

(2)依題意，數列4是1,2,…，"的排列.記加為滿足T(A”)=2的數列4的個

數.

設7(43)=2,考慮數列4的個數，此時A”只能為312,即此時只有一個滿足題意的

數列；

設T(A4)=2,考慮數列4的個數，此時4只能為3124、1423,即此時只有兩個滿足

題意的數列；

設T(加)=2,考慮數列4的個數，此時A”只能為31245、14235>12534,即此時只

有三個滿足題意的數列；

故T(A”)=2,考慮數列4的個數，此時4只能為〃-2個，即此時只有〃-2個滿足

題意的數列；

(3)1,2,,,,,〃的任意一個排列A"：XI,X2,,,?(Xn>都存在唯一的倒序排列2"：Xn>

Xn-l,,,,,XI,并且A”和A)不同.因為數對(xi,Xj)與(xj,Xi)中恰有一個逆序對(其

中iWivjW"),并且A”中數對(Xi,Xj)共有n(]D個,

所以4和A't,中的逆序對總數為n(n-l)個,

2

即T(A/+T(A'n)=n早),故7(4)，7⑶),7(川,)的算術平均值為跡產

可將1,2,n的所有排列兩兩配對，每一對｛4,A”｝均滿足：7(4”)，T(A'?)的

算術平均值為n(n-l).

4

故所有T(A”)的算術平均值為n(n-l)

4

一、選擇題(共三道小題，每題6分，18分)

20.(6分)若函數f(x)的導函數的圖象關于y軸對稱，則f(x)的解析式可能為()

A.f(x)=3cosxB.f(x)=/+7+1

C.f(x)=sin2xD.f(x)=ex+x

【解答】解：???函數f(x)的導函數的圖象關于y軸對稱，

.V(x)的導函數為偶函數，

A./(x)=-3siar為奇函數，.?.該選項錯誤：

B.f(x)=37+2x為非奇非偶函數，...該選項錯誤；

C.f(x)=2cos2x為偶函數，，該選項正確；

D.f(x)="+1為非奇非偶函數，.?.該選項錯誤.

故選：C.

21.(6分)若加r+a對一切正實數x恒成立，則實數a的取值范圍是()

A.(-co,-1]B.(=，1]C.(…，2]D.(-8,0

e

【解答】解：設/(幻=^a-lnx-a(JI>0),則/(x)20對一切正實數x恒成立，即

f(X)min20,

由(xbe'-a]，令h(x)=e'-a'，則h'(x)=e'恒成立，

XX/

所以/l(X)在(0,+8)上為增函數，

當工-0時，h(x)f-8,當犬一+8時，h(x)-*+°°,

則在(0,+8)上，存在xo使得〃(xo)=0,

當OVxVxo時，h(x)V0,當x>xo時，h(x)>0,

故函數/(x)在(0,xo)上單調遞減，在(xo,+8)上單調遞增，

所以函數/(x)在X=M)處取得最小值為/(刈)=eX°-a-lnxg-a^O,

因為即xo-。=-

x0

所以‘■+乂。-4-殘》0恒成立，即2a<XQ-^-^9

x0x0

又X」->小.工=2,當且僅當xo=-L，即xo=l時取等號，

uxov°xoxo

故2aW2,所以aWl.

故選：B.

22.(6分)將一條均勻柔軟的鏈條兩端固定，在重力的作用下它所呈現的形狀叫懸鏈線，

例如懸索橋等.建立適當的直角坐標系，可以寫出懸鏈線的函數解析式為/(x)=acosh三,

a

其中。為懸鏈線系數，coshx稱為雙曲余弦函數，其函數表達式為8