2024高考新課標全國1卷理科數學試題及答案啟用前

2024年一般高等學校招生全國統一考試

理科數學

本試卷5頁，23小題，滿分150分。考試用時120分鐘。

留意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。

用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需要改動，用橡皮擦潔凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3．非選擇題必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4．考生必需保證答題卡的干凈。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1．已知集合A={x|xU

D．AB=?I

2．如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是

A．1

4B．π8C．

12

D．

π4

3．設有下面四個命題

1p：若復數z滿意1

z

∈R，則z∈R；

2p：若復數z滿意2z∈R，則z∈R；

3p：若復數12,zz滿意12zz∈R，則12zz=；4p：若復數z∈R，則z∈R.

其中的真命題為A．13,pp

B．14,pp

C．23,pp

D．24,pp

4．記nS為等差數列{}na的前n項和．若4524aa+=，648S=，則{}na的公差為

A．1

B．2

C．4

D．8

5．函數()fx在(,)-∞+∞單調遞減，且為奇函數．若(11)f=-，則滿意21()1xf--≤≤的x的取值范圍是A．-

B．-

C．

D．

6．6

2

1(1)(1)xx

+

+綻開式中2x的系數為A．15

B．20

C．30

D．35

7．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為

A．10

B．12

C．14

D．16

8．右面程序框圖是為了求出滿意3n?2n>1000的最小偶數n，那么在和

兩個空白框

中，可以分別填入

A．A>1000和n=n+1

B．A>1000和n=n+2

C．A≤1000和n=n+1

D．A≤1000和n=n+2

9．已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+

2π

3

)，則下面結論正確的是A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移π6

個單位長度，得到曲線C2

B．把

C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移π

12

個單位長度，得到曲線C2

C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移π6

個單位長度，得到曲線C2

D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移π12

個單位長度，得到曲線C2

10．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交

于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A．16

B．14

C．12

D．10

11．設xyz為正數，且235xyz==，則

A．2x100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是A．440

B．330

C．220

D．110

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=.

14．設x，y滿意約束條件21

210xyxyxy+≤??

+≥-??-≤?

，則32zxy=-的最小值為.

15．已知雙曲線C：22

221xyab

-=（a>0，b>0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑做圓A，

圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點。若∠MAN=60°，則C的離心率為________。16．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。

D、

E、

F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______。

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，

每個試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）

△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為2

3sinaA

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.18.（12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP∠=∠=o.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，90APD∠=o

，求二面角A-PB-C的余弦值.19．（12分）

為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．依據長期生產閱歷，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸聽從正態分布2

(,)Nμσ．

（1）假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(3,3)

μσμσ-+

之外的零件數，求(1)PX≥及X的數學期望；

（2）一天內抽檢零件中，假如消失了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能消失了特別狀況，需對當天的生產過程進行檢查．

（ⅰ）試說明上述監控生產過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.96

9.96

10.019.92

9.98

10.0410.26

9.91

10.1310.029.22

10.0410.05

9.95

經計算得16119.9716iixx===∑

，0.212s==≈，其中ix為抽取的第i個零件的尺寸，1,2,,16i=???．

用樣本平均數x作為μ的估量值?μ

，用樣本標準差s作為σ的估量值?σ，利用估量值推斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的學科網數據，用剩下的數據估量μ和σ（精確到0.01）．

附：若隨機變量Z聽從正態分布2

(,)Nμσ，則(33)0.9974PZμσμσ-b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1

，P4（1

，

C上.（1）求C的方程；

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.21.（12分）

已知函數)fx=（ae2x

+(a﹣2)ex﹣x.

（1）爭論()fx的單調性；

（2）若()fx有兩個零點，求a的取值范圍.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計分。

22．（10分）

在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為3cos,sin,xyθθ=??=?

（θ為參數），直線l的參數方

程為

4,

1,xattyt=+??

=-?

（為參數）.（1）若a=?1，求C與l的交點坐標；

（2）若C上的點到la.23．（10分）

已知函數f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）當a=1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含，求a的取值范圍.

2024年新課標1理數答案

1.A

2.B

3.B

4.C

5.D

6.C

7.B

8.D

9.D10.A11.D12.A

13.14.5-

15.

16.

17.解：（1）由題設得21sin23sinaacBA=，即1sin23sina

cBA=.

由正弦定理得

1sinsinsin23sinA

CBA=

.故2

sinsin3

BC=.

（2）由題設及（1）得1coscossinsin,2BCBC-=-，即1cos()2

BC+=-.所以2π3BC+=

，故π3

A=.由題設得2

1sin23sinabcAA

=，即8bc=.

由余弦定理得229bcbc+-=，即2

()39bcbc+-=，得bc+=.

故ABC△的周長為318.解：（1）由已知90BAPCDP∠=∠=?，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.（2）在平面PAD內做PFAD⊥，垂足為F，

由（1）可知，AB⊥平面PAD，故ABPF⊥，可得PF⊥平面ABCD.

以F為坐標原點，FAuuur

的方向為x軸正方向，||ABuuur為單位長，建立如圖所示的空間直角坐

標系Fxyz-.

由（1）及已知可得A，P，B，(C.

所以(,1,)22PC=--uuur，CB=uuur，)22

PA=-uuur，(0,1,0)AB=uuur.

設(,,)xyz=n是平面PCB的法向量，則

PCCB??=??

?=??uuuruuurnn

，即00xy?+=??=，

可取(0,1,=-n.

設(,,)xyz=m是平面PAB的法向量，則

00

PAAB??=???=??uuuruuurmm

，即022

0xzy-=?

??=?

，可取(1,0,1)=n.

則cos,||||3

?=

=-

nmnmnm，所以二面角APBC--

的余弦值為19.（1）抽取的一個零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之內的概率為0.9974，從而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率為0.0026，故~(16,0.0026)XB.因此

(1)1(0)10.99740.0408PXPX≥=-==-=.

X的數學期望為160.00260.0416EX=?=.

（2）（i）假如生產狀態正常，一個零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天內抽取的16個零件中，消失尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，發生的概率很小.因此一旦發生這種狀況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程學科&網可能消失了特別狀況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監控生產過程的方法是合理的.

（ii）由9.97,0.212xs=≈，得μ的估量值為?9.97μ

=，σ的估量值為?0.212σ=，由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在????(3,3)μ

σμσ-+之外，因此需對當天的生產過程進行檢查.

剔除????(3,3)μσμσ-+之外的數據9.22，剩下數據的平均數為

1

(169.979.22)10.0215

?-=，因此μ的估量值為10.02.

16

2221

160.212169.971591.134i

ix

==?+?≈∑，剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的數據9.22，剩下數據的樣本方差為

221

(1591.1349.221510.02)0.00815

--?≈，因此σ

0.09≈.20.（12分）解：

（1）由于3P，4P兩點關于y軸對稱，故由題設知C經過3P，4P兩點.又由

2222

1113

4abab

+>+知，C不經過點P1，所以點P2在C上.因此2

221

11314ba

b?=????+=??，解得2

241ab?=??=??.

故C的方程為2

214

xy+=.

（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，

假如l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知0t≠，且||2t.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=2841

km

k-+，x1x2=224441mk-+.

而121212

11

yykkxx--+=+

1212

11kxmkxmxx+-+-=

+

121212

2(1)()

kxxmxxxx+-+=

.

由題設121kk+=-，故1212(21)(1)()0kxxmxx++-+=.

即222448(21)(1)04141mkm

kmkk--+?+-?=++.

解得1

2

mk+=-.

當且僅當1m>-時，0?>，欲使l：12myxm+=-+，即1

1(2)2

myx++=--，所以l過定點（2，1-）

21.解：（1）()fx的定義域為(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x

xxxfxae

aeaee'=+--=-+，

（ⅰ）若0a≤，則()0fx'，則由()0fx'=得lnxa=-.

當(,ln)xa∈-∞-時，()0fx'，所以()fx在

(,ln)a-∞-單調遞減，在(ln,)a-+∞單調遞增.

（2）（ⅰ）若0a≤，由（1）知，()fx至多有一個零點.

（ⅱ）若0a>，由（1）知，當lnxa=-時，()fx取得最小值，最小值為

1

(ln)1lnfaaa

-=-

+.①當1a=時，由于(ln)0fa-=，故()fx只有一個零點；②當(1,)a∈+∞時，由于1

1ln0aa

-+>，即