3.1.3空間向量的數量積運算1.掌握空間向量的夾角與長度的概念.2.掌握空間向量的數量積的定義、性質、運算律及計算方法.(重點)3.能用向量的數量積解決立體幾何問題.(難點)重點：掌握空間向量的數量積的定義、性質、運算律及計算方法；難點：能用向量的數量積解決立體幾何問題閱讀課本內容，自主完成下列內容。知識點一空間向量的夾角1.夾角的定義已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉.2.夾角的范圍空間任意兩個向量的夾角θ的取值范圍是[0，π].特別地，當θ＝0時，兩向量同向共線；當θ＝________時，兩向量反向共線，所以若a∥b，則〈a，b〉＝0或π；當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，兩向量________，記作________.（1）已知是等邊三角形，則〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＝；在正方體ABCD-A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(A′C′,\s\up7(→))的夾角為.知識點二空間向量的數量積及其性質a，b，則________叫做a，b的數量積，記作________.規定：零向量與任何向量的數量積為________，即0·a＝________.2.空間向量數量積滿足下列運算律：(1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交換律：a·b＝b·a；(3)分配律：a·(b＋c)＝________.數量積對結合律一般不成立，因為(a·b)·c是一個與c共線的向量，而(a·c)·b是一個與b共線的向量，兩者一般不同．3.空間向量數量積的性質：兩個向量數量積的性質若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0若a與b同向，則a·b＝|a|·|b|；若反向，則a·b＝－|a|·|b|.特別地：a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).若θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)|a·b|≤|a|·|b|(1)兩向量的數量積是一個數量，而不是向量，符號由夾角決定；(2)a?b中間的“·”在向量的運算中不能省略，也不能寫成(3)在運用數量積公式解題時，一定要注意兩向量夾角的范圍是[0,π]．下列式子中正確的是()A.|a|a＝a2 B.(a·b)2＝a2b2C.a(a·b)＝b·a2 D.|a·b|≤|a||b|知識點三向量的投影1、平面向量的投影概念：如圖a,b是兩個非零向量，AB=a，CD=b，a與我們稱這種變換為向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b2、平面投影向量的定義:我們可以在平面內任取一點O，作OM=a，ON=b.過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，OM原則：共起點原則：共起點問題：類似的，在空間，向量a向向量b的投影由什么意義？向量a向直線l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？1、向量在向量上的投影向量如圖=1\*GB3①，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到一個平面內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，，向量稱為向量在向量上的投影向量。類似的，可以將向量向直線投影（如圖=2\*GB3②）。2、向量在平面上的投影如圖=3\*GB3③，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到向量，向量稱為向量在平面上的投影向量。這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角。已知|a|＝4，e為單位向量，它們的夾角為eq\f(2π,3)，則向量a在向量e上的投影向量是____________；向量e在向量a上的投影向量是____________．考點一空間向量數量積的運算例1已知向量,,,,則的值為().A.7 B. C.28 D.11 【對點演練】已知a、b是異面直線,且,,分別為直線,上的單位向量,且,,,則實數的值為()A. B.6 C.3 D. 例2如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，求值：(1)eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))；(2)eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))；(3)eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→)).【對點演練】1.棱長為的正四面體中,則等于()A. B. C. D. 2.如圖所示,已知正方體的棱長為1,則()A. B. C. D. 3.（2022·廣東·廣州市玉巖中學高二期中）正四面體棱長為，為中點，則（

）A． B． C． D．4.（2023廣東揭陽高二期末）在空間四邊形中，等于（）A．B．0C．1D．不確定5.（2023福州銅盤中學高二期末）如圖所示，平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求的值是（）A．B．1C．D．6.如圖，在平行六面體中，E，F分別為棱，CD的中點，記，，，滿足，，，.（1）用，，表示；（2）計算.7.（2022·山東·莘縣第一中學高二期中）已知直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側棱長為3，若M、N分別為，BC的中點，則______．8.（2023春·江蘇常州·高二江蘇省溧陽中學校考階段練習）在棱長為1的正方體中，為棱上任意一點，則=_______.考點二利用空間向量的數量積求距離（模）例3（1）（2023高二課時練習）已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（）A．B．C．D．4【對點演練1】已知、為空間中的兩個非零向量,模長均為,它們的夾角為,那么()A. B. C. D. 【對點演練2】已知,,是兩兩垂直的單位向量,則()A. B. C. D. 例4（2022山東青島第六十七中學高二期中）四棱柱的底面ABCD是邊長為1的菱形，側棱長為2，且，則線段的長度是（

）A． B． C．3 D．【對點演練1】（2022·江西·景德鎮一中高二期中）如圖，在棱長為的正四面體中，點、分別在線段、上，且，，則等于（

）A． B． C． D．【對點演練2】平行六面體中，，，則的長為（）A．10B．C．D．【對點演練3】二面角的平面角為60°，A，B是棱l上的兩點，AC，BD分別在半平面α，β內，，且AB=AC=1，BD=2，則CD的長為（）A．B．C．D．2【對點演練4】在二面角的棱上有兩點,直線分別在這個二面角的兩個半平面內且都垂直于,若,則此二面角的大小為()A. B. C. D. 考點三利用空間向量的數量積角度例4已知空間向量,且,則兩向量的夾角的大小為()A. B. C. D. 【對點演練1】已知空間向量,,,,且與垂直,則與的夾角為()A. B. C. D. 【對點演練2】（2022·山東·東營市第一中學高二期中）已知、都是空間向量，且，則（

）A． B． C． D．例5（2022·北京·人大附中高二期中）如圖，在棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，則直線AM和CN夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【對點演練1】如圖,長方體中,,,,,分別是,,的中點,則異面直線與所成角的余弦值是()A. B. C. D. 【對點演練2】（2022·北京大興·高二期中）如圖，四面體的所有棱長都相等，，，則（

）A． B． C． D．【對點演練3】（2022·遼寧鞍山·高二期中）如圖，已知正四面體ABCD中，，，則異面直線DE和BF所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．考點四求投影向量例6（2023安徽合肥高二校考）已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．2、已知為標準正交基底，，則在方向上的投影數量為（）A．1B．－1C．D．－3、在棱長為的正方體中，向量在向量方向上的投影向量的模是______．考點五垂直問題例7在空間，已知，為單位向量，且，若，，，則實數k的值為（

）A．－6B．6C．3D．－3【對點演練】已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．2.（2023高二課時訓練）已知：如圖，OB是平面α的斜線，O為斜足，，A為垂足，，且．求證：．3、如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，且，，．(1)求線段的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)若為的中點，證明：．考點六范圍與最值問題例8．（2022·福建·福州三中高二期中）已知MN是正方體內切球的一條直徑，點P在正方體表面上運動，正方體的棱長是，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例9已知空間向量，則使向量與的夾角為鈍角的實數的取值范圍是____________．【對點演練】1、（2022·福建省福州格致中學高二階段練習）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為圓的直徑，為圓上的點，則的最大值為（

）A．4 B． C．5 D．2.（2023·陜西西安·校考模擬預測）已知點P在棱長為2的正方體的表面上運動，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9一、單選題1．（2023春·高一課時練習）已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．42．（2022·廣東·廣州市玉巖中學高二期中）正四面體棱長為，為中點，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建寧德·高二校聯考期中）已知單位向量，，中，，，則（

）A． B．5 C．6 D．4．（2023·全國·高三對口高考）在三棱錐中，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．不確定5．（2023春·高二課時練習）四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高三專題練習）已知正四面體的棱長為1，且，則（

）A． B． C． D．7.在長方體中,下列計算結果一定不等于0的是()A. B. C. D. 8.（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考期中）如圖，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．二、多選題9、（2023春·高二課時練習）正方體的棱長為1，體對角線與，相交于點，則（

）A． B． C． D．10.（2023春·安徽池州·高二池州市第一中學校聯考階段練習）已知平行六面體如圖所示，其中，，，線段AC，BD交于點O，點E是線段上靠近的三等分點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．11．（2023春·山東菏澤·高二統考期末）如圖，在平行六面體中，與交于點，且，，.則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．12、（2023秋·廣東陽江·高二統考期末）（多選）如圖，平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長均為，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（）A．B．C．向量與的夾角是.D．異面直線與所成的角的余弦值為.三、填空題13、（2023春·高二課時練習）已知，為空間單位向量，，則在方向上投影的模為______