第二章基本方程第1頁，課件共73頁，創作于2023年2月第一節：基本統計方法

一、平均任一變量A（t，s）為時間t和空間s的函數，N為資料點的數目。1．

平均的方法（1）

時間平均：

可以通過安裝在測竿或觀測塔之類某一定位平臺上的傳感器而得到（2）空間平均通過部署一系列包括線、面和體的氣象傳感器可得到空間平均。第2頁，課件共73頁，創作于2023年2月體積平均：雷達、光達和聲雷達之類的遙感就能掃描大氣層的體積，使選擇變量的體積平均成為可能。面積平均：小范圍內布署一系列裝有儀器的測竿或地面百葉箱儀器。線平均：沿途安裝傳感器。（3）總體平均：實驗室總希望得到總體平均遍歷狀態：在均勻、平穩的湍流中，時間平均、空間平均和總體平均相等。第3頁，課件共73頁，創作于2023年2月

2．

求平均規則設A、B為兩個變量，C為常數3．

雷諾平均第4頁，課件共73頁，創作于2023年2月二、方差、標準差和湍流強度1．

方差：有偏方差：邊界層中常用無偏方差：當N很大時，有偏方差和無偏方差相等。若湍流變量的湍流部分用表示，則代入有偏方差有：

總體方差第5頁，課件共73頁，創作于2023年2月

2．

標準差：方差的平方根3．

湍流強度其中

M為平均風速，

第6頁，課件共73頁，創作于2023年2月三、協方差和相關1.協方差它表示A，B兩個變量之間共同關系的程度，令A代表氣溫T，B代表垂直速度w，則炎熱的夏天陸地上，高于平均氣溫的空氣會上升（+T

，+w

），溫度低于平均氣溫的空氣會下沉（-T

，-w

），即（T

w

）乘積平均值為正，w和T總是同向變化的。2．

線性相關系數歸一化的協方差第7頁，課件共73頁，創作于2023年2月例題：在一根裝有風速表的支柱測量U和W風分速，每6秒測量一次1分鐘內的瞬時風速，得到的10對觀測結果如下：對各個風速分量求出平均、有偏方差和標準差及U和W之間的協方差和相關系數。U5654753546W0-110-212-11-1第8頁，課件共73頁，創作于2023年2月

W方向的平均風速為零，但W的湍流變化仍比U強。平均而言，U和W往往朝反向變化，且它們的相關系數接近于-1，這說明只有少數幾個觀測結果U和W同向變化，絕大多數是反向變化的。第9頁，課件共73頁，創作于2023年2月四.大氣湍流通量與輸送1.通量的定義通量：單位時間通過單位面積的流體某屬性量的輸送。我們很少直接測量熱量和動量之類的參數，而直接測量溫度或風速之類的參數。為方便，上述通量用被除以濕空氣密度

氣后的運動學形式重新定義。而這些運動通量可用直接測量的單位表示。一般通量運動學通量熱量通量：

QH

J/(m2s)

QH/Cp

Km/s動量通量：

kg(ms-1)/(m2s)/(m/s)

(m/s)把通量分成平均和湍流兩部分（1）與平均風速（平流）有關的通量：如垂直運動熱通量=（2）渦動通量：如垂直渦動熱通量=

第10頁，課件共73頁，創作于2023年2月湍流切應力—動量湍流的物理意義取一體元，

t時間內通過dxdy平面向上輸送的空氣體積為wdxdydt；單位體積輸送空氣中具有x方向動量為

u；則dt時間內通過dxdy面向上輸送的x方向的動量為

uwdxdydt；對

t取平均，得單位時間內在z方向輸送的x方向的動量為：單位時間，單位面積x方向的動量在z方向的輸送量為：湍流熱量通量（eddyheatflux）：湍流水汽通量（eddymoistureflux）：第11頁，課件共73頁，創作于2023年2月2.通量輸送—以熱通量為例分析熱夏近地面一個理想的小湍渦，在這種近地層中，平均位溫廓線通常是超絕熱的。圖a：平均運動渦動通量為正。圖b：平均運動渦動通量為負。說明：即使沒有質量凈輸送（=0），湍流也能產生象熱量那樣的凈輸送，在這種情況下湍流渦動向上輸送熱量，必然使遞減率更加絕熱。第12頁，課件共73頁，創作于2023年2月五、求和符號熱通量有3個分量，而動量通量有9個，要把每個分量都寫成獨立的預報方程是很麻煩的，為了簡便，我們常應用愛因斯坦求和符號。1．

定義和規則設m、n、q是可以各取1，2或3的整數變量指數（也叫自由指數）。Am代表一般的速度矢量，Xm代表一般的單位矢量（三個笛卡兒方向中一個方向上的單位長度矢量）。如：m=1，A1=uX1=x；q=3，A3=wX3=z。（1）

變量無自由指數=標量變量帶有1個自由指數=矢量變量帶有2個自由指數=張量第13頁，課件共73頁，創作于2023年2月（2）

單位矢量：（3）

克羅內克

（即使有兩個指數也是一個標量）單位矢量和克羅內克容易混淆，為了區別它們，我們必須記住：克羅內克是標量，而且總有兩個下標，而單位矢量是矢量，總有一個下標。（4）交變單位張量（即使有三個指數也是一個標量）第14頁，課件共73頁，創作于2023年2月2.

應用規則a.每當兩個相同的指數出現在同一項中時，它總是意味著重復指數取每一個值（1，2，3）后對該項求和。

b.

每當一個指數在某一項中出現不求和（自由）時，那么同指數在該方程所有項中都必須不求和。因此該方程就能有效地代表三個方程，用一個值就可以代替不求和指數的各個值。3．

例題（1）

展開（2）第15頁，課件共73頁，創作于2023年2月為了定量的描述和預報邊界層狀況，我們借助于描述大氣中氣體動力學和熱力學的流體力學方程。這些方程可直接應用于湍流，但我們很難得到各種尺度湍渦的初始資料和邊界條件資料，我們沒必要去預報所有湍流尺度的運動。為簡單起見，我們選擇某個截止湍渦大小，低于這一尺度，我們只考慮湍流的影響。在中尺度和天氣尺度模式中，這個截止尺度為10~100km，在一些大渦模擬模式的邊界層模式中，這個尺度為100km。

第二節湍流運動的控制方程第16頁，課件共73頁，創作于2023年2月方法學：1．確定應用于邊界層的基本控制方程2．把全導數展開為局地和平流兩部分3．把方程中的因變量展開成平均和湍流兩部分4.方程的雷諾平均得湍流中平均變量的方程5.引入連續性方程，把結果變成通量形式6．從步驟3方程中減去步驟5方程，得到偏離平均的湍流偏差方程。這是方差方程和協方差方程的基礎方程7．將基礎方程乘以2倍的湍流偏差量，運用乘積的微分原理，得到方差方程8．將湍流偏差方程乘以速度擾動后和速度擾動方程乘以湍流偏差量的方程合并成通量形式，得到湍流通量方程。第17頁，課件共73頁，創作于2023年2月一、基本控制方程邊界層運動特征

（1）必須考慮地球自轉的影響——引入科氏力（2）主要考慮大氣密度在鉛直方向的不均勻。（3）大氣運動的水平尺度大于垂直尺度，可視為淺層流體。（4）主要是湍流運動——運動方程中增加湍流項。

考慮到第2、3的特點，在運動方程中引入Boussinesq近似：（1）連續性方程中不考慮密度的個別變化，即近似做不可壓縮處理；（2）在與重力相聯系的垂直運動方程中，部分地考慮密度變化的影響，即存在阿基米德浮力與重力之差值——凈浮力；（3）在狀態方程或熱流量方程中需考慮密度變化的影響，而密度變化主要是由溫度脈動所引起的；（4）空氣的分子粘性系數和分子熱傳導系數可作常值處理。第18頁，課件共73頁，創作于2023年2月

基本假定:（1）

動力粘滯系數

為常數（2）

流體中的分子導溫系數是常數（3）大氣屬于淺層流體（4）描寫流體熱力狀態的特征量可以表示為：

p=p0(z)+pd(x,y,z,t)

=

0(z)+

d(x,y,z,t)T=T0(z)+Td(x,y,z,t)

偏差量遠小于基本量，并認為基本狀態是靜力平衡的，絕熱的，滿足理想氣體狀態方程。即：第19頁，課件共73頁，創作于2023年2月將代入左端第一式：大氣邊界層的垂直范圍小，該層內的密度變化不大，此項可忽略速度遠小于聲速時，此項很小，可略在邊界層內，可近似認為大氣是不可壓縮的：1.連續方程第20頁，課件共73頁，創作于2023年2月2．狀態方程將各個量寫成基本量與偏差量之和：求雷諾平均：并與上式相減得：除以（1）式可以證明氣壓擾動對密度的變化貢獻很小，

狀態方程中密度的偏差主要是由于溫度的偏差引起的，高于平均溫度的空氣就是小于平均密度的空氣。（1）第21頁，課件共73頁，創作于2023年2月3.

位溫方程由位溫的定義：

絕熱大氣中擾動溫度的鉛直梯度可以用位溫的鉛直梯度來近似。第22頁，課件共73頁，創作于2023年2月

4.

動量守恒（運動方程）

將各個量寫成平均和擾動之和，略去小項可使方程簡化。取包辛涅斯克近似：慣性（儲存）項中略去密度變化，但在浮力項中保留它的過程。實際應用：給定原始控制方程，每個

換成

，每個g換成

第23頁，課件共73頁，創作于2023年2月5.水汽守恒方程qＴ：空氣總比濕（單位濕空氣質量的含水量）

q：空氣中水汽分子擴散率ＳqＴ：方程中不含其它過程時的凈水體源、匯項．6.

熱量守恒方程

Ｌp：與E相變有關的潛熱Ｑj＊：凈輻射在第j方向上的分量

第24頁，課件共73頁，創作于2023年2月大氣邊界層運動的特點1.連續方程方程中不密度的擾動，仍認為大氣是不可壓縮的2.狀態方程中密度的偏差項主要由溫度偏差引起的3.運動方程中，由于溫度的擾動產生的密度擾動在重力作用的配合下，構成了阿基米德凈浮力，它主要存在于垂直分量的運動方程中。第25頁，課件共73頁，創作于2023年2月第26頁，課件共73頁，創作于2023年2月

二、平均流動方程和湍流運動方程１．連續方程：２．運動方程：將各個量寫成平均和擾動之和，運動方程中的非線性項發生變化：再求雷諾平均：其它項如

第27頁，課件共73頁，創作于2023年2月得平均方程：

運動方程與平均方程相減得湍流脈動預報方程：近地層厚度簡化方程：定常、水平均勻條件下，取x方向為地面風方向（v=0），當i=1時：

邊界層內的氣壓梯度力可以用地轉風來代替：增加項（2.2.1）第28頁，課件共73頁，創作于2023年2月

(2.2.1)可寫為：

上式說明在邊界層內，湍流鉛直通量隨高度是遞減的。將上式兩端除以地面摩擦速度的平方，并寫成差分形式有：

為地面風與地轉風的夾角。

f~1.2×10-4s-1

=20O～25O

hc=20～80m如果風大（即u*很大），hc可達一、二百米。第29頁，課件共73頁，創作于2023年2月4.熱量守恒方程3.水汽守恒方程注意：在各個守恒方程中，除質量守恒方程外都有分子擴散項或粘性項。大氣觀測結果指出：除地面以上最低的幾公分之外，分子擴散項總比其它項小幾個數量級，可以忽略。第30頁，課件共73頁，創作于2023年2月例題

（1）設湍流熱通量隨高度線性遞減其中a=0.3(Kms-1)和b=3×10-4(Ks-1)。如果初始位溫廓線是任意形狀，那么1小時后廓線的最終形狀是什么樣子？略去下沉、輻射和潛熱加熱并假設水平均勻。這個結果不是z的函數，所以探測時每個高度上的空氣以相同的速率增溫，對時間t積分得1小時后的增溫為1.08K。第31頁，課件共73頁，創作于2023年2月

（2）如果10m/s水平風速把干空氣平流到某一區域，該區水汽水平梯度為(5g水/kg氣)/100km，那么要保持定常狀態的比濕，邊界層湍流水汽通量的垂直梯度是多大？假設所有的水都是汽態，而且不存在水汽體源。務必說明你的補充假設。

忽略下沉和水平通量梯度的數據有：第32頁，課件共73頁，創作于2023年2月第三節湍流通量和方差預報方程上面介紹的各個量如溫度、速度等平均值預報方程中，均含有等協方差項。這一節我們推導方差和協方差方程，方差方程向我們提供湍流能量和湍流強度的信息，而協方差方程則是描述運動湍流通量的。一、方差方程1．

速度方差方程（運動方程）以2ui

乘以速度脈動方程：第33頁，課件共73頁，創作于2023年2月

利用乘積的微分規則做類似的變換，并對整個方程求雷諾平均：方程右端最后一項的雷諾平均為零；方程左端最后一項：將湍流連續方程乘以與這一項相加的通量形式耗散項：第34頁，課件共73頁，創作于2023年2月則IIIIII第2項為速度方差的分子擴散，它含有方差的曲率，從混合層10-6s-2到近地層10-2s-2，乘以

后，量級為10-11

10-7m2s-3；第3項，如穿過一個直徑為1cm的湍渦，其湍渦速度變化為0.1m/s，則穿過這個湍渦的瞬時切變為10s-1，對于更小的湍渦來講，這個切變就更大了。該值平方乘以

后，其值為10-6

10-2m2s-3之間，混合層典型值10-4

10-3m2s-3。定義粘滯耗散：第35頁，課件共73頁，創作于2023年2月氣壓擾動項：

右端最后一項為氣壓再分配項，由擾動的連續方程可知這一項為零，此項不能改變總方差（三個方差分量之和），但它能從含有大能量分量中提取能量分配到小能量分量中，使湍流趨于各向同性，所以此項也叫返回各向同性項。科氏力項：

第36頁，課件共73頁，創作于2023年2月科氏力不產生湍流動能，只能把能量從一個水平方向再分配到另一個水平方向，且這一項總比其它項小3個量級，即使這一項在方差和協方差方程中不為零，也往往被忽略不計。重新整理，簡化后的方差收支方程為：2.濕度方差方程從比濕擾動方程入手：兩邊乘以2q

，利用乘積的微分規則，并求雷諾平均得：第37頁，課件共73頁，創作于2023年2月類似速度方差方程的處理，將最后一項改寫，最后得：3.位溫方差方程二、協方差方程1．

湍流通量預報方程將u‘擾動方程兩邊乘以u‘k，并取雷諾平均得：

第38頁，課件共73頁，創作于2023年2月

將指數i和k的位置互換后，將兩個方程相加，合并相關項，寫成通量的形式，并求雷諾平均：

方程左端最后一項與連續方程合并寫成通量形式：

第39頁，課件共73頁，創作于2023年2月氣壓項：粘滯項：所以有：第40頁，課件共73頁，創作于2023年2月通量方程可寫為：各項的物理意義。第10項可簡寫為尺度理論認為：科氏力項6、氣壓擴散項7和分子擴散項9通常小于其它項，可略。第41頁，課件共73頁，創作于2023年2月2.水汽通量方程將濕度擾動方程乘u‘，求雷諾平均：將速度擾動方程乘q‘，求雷諾平均：略去科氏力項、氣壓擴散項和分子擴散項，并設

q=

后，將上面兩個方程相加：第42頁，課件共73頁，創作于2023年2月3.

熱通量方程第43頁，課件共73頁，創作于2023年2月三、熱通量、水汽通量及歸一化通量個例分析熱通量：從地面大的正值開始，逐漸減小，到混合層頂部附近變為負值。水汽通量：數值非常分散，一般講，地面是正值，這以為著水分是從地面蒸發進入空氣的，混合層頂部正下方也是正值，它是干空氣夾卷向下輸送進入混合層的。濕空氣向上運動和干空氣向下運動都是正水汽通量第44頁，課件共73頁，創作于2023年2月第45頁，課件共73頁，創作于2023年2月四、TKE收支方程從速度方差方程入手，求和在除以2，得到TKE方程

IIIIIIIVVVIVIII：儲存。圖3.1，每個周日循環中TKE都出現了顯著的增強和減弱。TKE從清晨的小值增大到午后的大值，到下午又減少。II：平流。下墊面平坦時，TKE往往沒有顯著的變化，可忽略此項。但對小尺度湍流講較為重要。一個比周圍陸地冷的水庫，陸地上空溫度高，湍流活躍，當平均風將陸地上空空氣吹向水庫兩岸時，就有明顯的TKE變化。III：浮力產生或消耗。圖3.2。第46頁，課件共73頁，創作于2023年2月圖3.1第47頁，課件共73頁，創作于2023年2月圖3.2第48頁，課件共73頁，創作于2023年2月浮力項的突出部分是虛位溫通量，該通量為正，在地面附近，是大的正值（熱泡效應）。在混合層底部2/3范圍內隨高度線性遞減。只要下墊面較暖，它總是與湍流大的產生率相對應。此項在自由對流的白天非常重要，它經常被用來歸一化其它各項，被用來除以尺度參數使無量綱后產生的方程我們稱為歸一化方程。浮力項只對TKE的垂直分量起作用，因而這個產生項是各向異性的。靜力穩定條件下，通過湍流中垂直運動的氣塊受浮力作用又被強迫返回初始高度，此時靜力穩定度往往會抑制或消耗TKE，這種條件存在于夜間大陸上空穩定邊界層中，地面比上覆空氣冷的其它時間。第49頁，課件共73頁，創作于2023年2月IV：機械（切變）產生項盡管前面是負號，但動量通量與平均風切變相反，所以結果是產生湍流。在地面以上的混合層中，風隨高度基本不變（零切變），對應零的湍流切變產生率。因為湍流切變產生的垂直范圍有限，所以它往往與近地層關系密切。最強的風切變總是與平均風速u、v分量隨高度變化有關，除雷暴外，w的切變在邊界層中很小，回顧脈動方差方程，切變產生對TKE的x、y分量最強。故切變產生項也是一種各向異性作用項（水平方向強）。根據浮力項和切變項的相對大小來劃分湍流的性質，當浮力項遠超過機械項時，自由對流尺度是有效的，反之，強迫對流尺度是有效的。陰天多風時多為強迫對流。大多數時間，浮力和切變對湍流都有貢獻，所以湍流既不處于自由對流狀態，也不處于強迫對流狀態。第50頁，課件共73頁，創作于2023年2月第51頁，課件共73頁，創作于2023年2月１.

強迫對流摩擦速度：特征溫度：表面層渦的溫度脈動

特征濕度：

2.自由對流速度尺度：

與熱泡中垂直速度脈動一致，對地面有強烈加熱作用的深混合層來說，這一量級為1~2m/s。

時間尺度：多數混合層中，大約為5~15分鐘。時間尺度大體上等于熱泡中的空氣在混合層底部和頂端循環一次的時間。第52頁，課件共73頁，創作于2023年2月溫度尺度：這個值大約為0.01~0.3K，它大體上表示出熱泡比周圍空氣暖多少。濕度尺度：這個值大約為0.01~0.5g水/kg氣，能大致估計出熱泡中過剩的水汽。V：湍流輸送局地尺度而言，既可以是產生項，也可以是損失項。但對整個混合層進行積分時，等于零。第53頁，課件共73頁，創作于2023年2月VI：氣壓相關項大氣層中測量靜壓脈動很困難，脈動量從近地層的0.005kPa到混合層的0.001kPa，即使十分靈敏的氣壓傳感器測量，也會受到與湍流和平均運動有關動壓擾動的干擾，故從實驗數據測出的之類的相關往往含有比信號更多的噪聲。我們只能通過討論TKE收支方程中其它項的余項中估算，這勢必產生收支方程中其余項累計誤差，而這一項可能很大，故值不確定。VII：耗散項推導方差方程時，定義粘滯耗散，湍渦尺度越小，量級越大。即小尺度湍渦越強，耗散越大。圖3.3:白天耗散率最大值在近地面，在混合層較為穩定，混合層以上，耗散率為零。圖3.4：夜間，耗散率隨高度迅速減小。第54頁，課件共73頁，創作于2023年2月圖3.3圖3.4第55頁，課件共73頁，創作于2023年2月例題：在1000m厚的混合層中，在高度z=300m處觀測到下列情況：此外，地面虛位溫通量是0.24Kms-1，如果忽略氣壓和湍流輸送，那么在z=300米處維持定常狀態要求多大的耗散率？歸一化TKE項的值是多少？假設橫坐標與平均風一致，水平均勻，并忽略下沉。此時的TKE方程為：代入各值得：

=5.23

10-3m2s-3第56頁，課件共73頁，創作于2023年2月已知下面的TKE方程：

IIIIIIIVVVIVII回答：1）哪一項永遠是損失項2）哪一項既不產生也不破壞TKE3）哪一項因分子效應所致4）在陰而有風的白天哪一產生項最大5）在陸上靜風有太陽時，哪一產生項最大6）哪一項傾向于使湍流更均勻7）哪一項使湍流傾向于非各項同性8）哪一項描述湍流的定常性第57頁，課件共73頁，創作于2023年2月第四節閉合技術

一、閉合問題1.湍流方程組中未知數的個數大于方程組的數量。2.解決方法：使用一個有限數目的方程組，然后用已知量來近似未知量。這種閉合近似或閉合假說是通過保留最高階的預報方程命名的。局部閉合：空間任一點的未知量是用同一點已知量的值和（或）梯度來參數化的。一般為2、3階閉合。非局部閉合：空間任一點的未知量是用空間許多點的已知量的值和（或）梯度來參數化的。它假設湍流是渦的相互疊加，每個渦都象平流過程那樣輸送著流體。基本是1階閉合。第58頁，課件共73頁，創作于2023年2月ACM1方案與ACM2方案垂直交換示意圖最早的跳躍矩陣模式ACM1是由Blackadar對流模式改進而來，認為向上的對流輸送是由浮力煙羽作用，從代表地面層的模式最底層直接傳遞到其它層，而向下是由于補償性下沉（compensatorysubsidence）作用逐層傳遞的（見圖1）。ACM1的主要不足之處是當垂直分辨率增加時局部向上擴散處理不夠完善，新的第二版ACM2模式在非局地輸送中增加了湍渦擴散，可以更好地模擬垂直廓線，特別是近地面處梯度逐漸增加的現象可以很好地模擬出來。WRF模式中的ABL參數化方案第59頁，課件共73頁，創作于2023年2月二、閉合方案（1）0階閉合0階閉合即沒有被保留的預報方程，甚至不保留平均量的預報方程。平均風、溫、濕度等平均量是作為時間和空間函數直接參數化的。這種方法在邊界層中應用很少，只有在湍流運動不占重要地位的某些大氣區域內，才采用0階閉合。有時在求某些問題的解析解時，也用0階閉合。（2）1階閉合保留平均量的預報方程，二階矩量如等用已知量參數化。設任一變量

，類似分子傳導現象有：

K：m2/s，K理論或梯度輸送理論。僅適用于小渦輸送，在大尺度湍渦中往往失敗。第60頁，課件共73頁，創作于2023年2月典型的湍流交換系數有三種：動量交換系數Km，熱量交換系數KH和水汽交換系數KE。三者量級相同，中性時，KH=KE=1.35Km。例題：閉合方程組

用梯度輸送理論閉合方程組。應用Ｋ理論時，為了方便常假設Ｋ＝常數，這是個不真實的假設。雷諾應力類似分子應力，而把分子粘滯系數轉換成相應的渦動粘滯系數Ｋm，由于產生混合時，湍流影響比粘滯性大得多，所以Ｋm

，Ｋm：0.2~200m2/s，典型值為1~10m2/s，而

：1.5

10-5m2/s的量級上；第61頁，課件共73頁，創作于2023年2月

另一個顯著的區別是：

是流體的函數，由流體的化學成分及狀態（溫、壓等）確定，而Ｋm隨湍流而變，是流動的函數，所以為了準確應用Ｋ理論，需把Ｋ作為穩定度的函數來進行參數化。

（3）

階閉合考慮理想的干環境，水平均勻，沒有下沉情況，預報方程有：平均變量方程、溫度方程和ＴＫＥ方程。第62頁，課件共73頁，創作于2023年2月未知量：二階矩量三階矩量