湖南省婁底市湄水中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合M=，集合

(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.一個(gè)幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，側(cè)視圖為等腰三角形，俯視圖為正方形，則這個(gè)幾何體的體積等于（）A.

B.

C.

D.

參考答案：A略3.函數(shù)y=asinx﹣bcosx的一條對稱軸為x=，則直線l：ax﹣by+c=0的傾斜角為（）A．45° B．60° C．120° D．135°參考答案：D【考點(diǎn)】直線的傾斜角；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】函數(shù)f（x）=asinx﹣bcosx圖象的一條對稱軸方程是，推出f（+x）=f（﹣x）對任意x∈R恒成立，化簡函數(shù)的表達(dá)式，求出a，b的關(guān)系，然后求出直線的傾斜角，得到選項(xiàng)．【解答】解：f（x）=asinx﹣bcosx，∵對稱軸方程是x=，∴f（+x）=f（﹣x）對任意x∈R恒成立，asin（+x）﹣bcos（+x）=asin（﹣x）﹣bcos（﹣x），asin（+x）﹣asin（﹣x）=bcos（+x）﹣bcos（﹣x），用加法公式化簡：2acossinx=﹣2bsinsinx對任意x∈R恒成立，∴（a+b）sinx=0對任意x∈R恒成立，∴a+b=0，∴直線ax﹣by+c=0的斜率K==﹣1，∴直線ax﹣by+c=0的傾斜角為．故選D．4.如圖，圓內(nèi)的兩條弦AB，CD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,已知PA=PB=6，PC=，則CD=A.15 B.18 C.12 D.24參考答案：A5.已知語句p：函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)；語句q：函數(shù)y=f（x）是一次函數(shù)，則語句p是語句q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由一次函數(shù)的定義域?yàn)镽可知函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，函數(shù)y=f（x）不一定是一次函數(shù)．【解答】解：“函數(shù)y=f（x）是一次函數(shù)”?“函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)”，反之取f（x）=2x，（x＞0），f′（x）=2為常數(shù)函數(shù)，但是f（x）不是一次函數(shù)．6.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則A．27

B．81

C．243

D．729

參考答案：C7.已知全集為,集合,,則(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：D8.過雙曲線x2﹣=1的右支上一點(diǎn)P，分別向圓C1：（x+4）2+y2=4和圓C2：（x﹣4）2+y2=1作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則|PM|2﹣|PN|2的最小值為（）A．10 B．13 C．16 D．19參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線x2﹣=1的左右焦點(diǎn)為F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），連接PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，運(yùn)用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和取得最小值，計(jì)算即可得到所求值．【解答】解：圓C1：（x+4）2+y2=4的圓心為（﹣4，0），半徑為r1=2；圓C2：（x﹣4）2+y2=1的圓心為（4，0），半徑為r2=1，設(shè)雙曲線x2﹣=1的左右焦點(diǎn)為F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），連接PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2?2c﹣3=2?8﹣3=13．當(dāng)且僅當(dāng)P為右頂點(diǎn)時(shí)，取得等號，即最小值13．故選B．【點(diǎn)評】本題考查最值的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和圓的方程，考查三點(diǎn)共線的性質(zhì)，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．9.三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，則球O的表面積為（）A． B． C．3π D．12π參考答案：C【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)題意，三棱錐S﹣ABC擴(kuò)展為正方體，正方體的外接球的球心就是正方體體對角線的中點(diǎn)，求出正方體的對角線的長度，即可求解球的半徑，從而可求三棱錐S﹣ABC的外接球的表面積．【解答】解：三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱錐擴(kuò)展為正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的對角線的長度，∴球的半徑R==．球的表面積為：4πR2=4=3π．故選：C．10.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù)

B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù)

D．最小正周期為的偶函數(shù)

參考答案：B．試題分析：由，則原函數(shù)是最小正周期為的奇函數(shù)．考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列滿足：，，,則

．.參考答案：25試題分析：因?yàn)椋裕且詾槭醉?xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，，故答案為．

12.已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2），當(dāng)PM+PF取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．參考答案：（1，2）考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，由拋物線的定義把問題轉(zhuǎn)化為求PM+PD的最小值，同時(shí)可推斷出當(dāng)D，P，M三點(diǎn)共線時(shí)PM+PD最小，答案可得．解答：解：設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，由拋物線的定義可知PF=PD，∴要求PM+PF的最小值，即求PM+PD的最小值，只有當(dāng)D，P，M三點(diǎn)共線時(shí)PM+PD最小，且最小值為3﹣（﹣1）=4令y=2，可得x=1，∴當(dāng)PM+PF取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．故答案為：（1，2）．點(diǎn)評：本題考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、平面幾何中求距離和的最小值等知識(shí)，正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵．13.關(guān)于x，y的二元一次方程的增廣矩陣為．若Dx＝5，則實(shí)數(shù)m＝_____．參考答案：-2【分析】由題意，Dx5，即可求出m的值．【詳解】由題意，Dx5，∴m＝-2，故答案為-2．【點(diǎn)睛】本題考查x，y的二元一次方程的增廣矩陣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．

14.一個(gè)圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個(gè)部分．現(xiàn)要把其中一個(gè)部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中O為圓心，在半圓上），設(shè)，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．（1）求V關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；（2）求的值，使體積V最大；（3）問當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S是否也最大？請說明理由．參考答案：解：（1）梯形的面積=，．

…2分體積．

…3分（2）．令，得，或（舍）．

∵，∴．

…5分當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)．

…7分∴當(dāng)時(shí)，體積V最大．

…8分（3）木梁的側(cè)面積=，．=，．…10分設(shè)，．∵，∴當(dāng)，即時(shí)，最大．

…12分又由（2）知時(shí)，取得最大值，所以時(shí)，木梁的表面積S最大．

…13分綜上，當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S也最大． …14分略15.設(shè)，若僅有一個(gè)常數(shù)c使得對于任意的，都有滿足方程，這時(shí)，的取值的集合為

。參考答案：16.在△ABC中，，則角A的大小為____．參考答案：【分析】根據(jù)正弦定理化簡角的關(guān)系式，從而湊出的形式，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：，即則本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形問題，屬于基礎(chǔ)題.17.已知，且，則的最小值為_____．參考答案：12【分析】由題意得出，將代數(shù)式和代數(shù)式，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】由題，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)取等號，因此，的最小值為12.故答案為：12.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）＝ax﹣a+lnx．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，曲線y＝f（x）總在曲線y＝a（x2﹣1）的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;(2).試題分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；；（2）原命題等價(jià)于不等式在上恒成立，即，不等式恒成立，可化為恒成立，只需大于的最大值即可.試題解析：（1）由可得的定義域?yàn)椋遥簦瑒t，函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）原命題等價(jià)于不等式在上恒成立，即，不等式恒成立.∵當(dāng)時(shí)，，∴，即證當(dāng)時(shí)，大于的最大值.又∵當(dāng)時(shí)，，∴，綜上所述，.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).本題是利用方法①求得的范圍.19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：（1）由得，得……………5分（2）①

②①②得.……………12分20.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.（1）設(shè)、是不全為零的實(shí)數(shù)，試比較與的大小；（2）設(shè)為正數(shù)，且，求證：.參考答案：綜上，>。………6分21.如圖，橢圓的右頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)且斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰好為點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與重合），若，求直線的方程．參考答案：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，軸，得到點(diǎn)，所以，所以橢圓的方程是．（Ⅱ）因?yàn)椋裕O(shè)，則，有．由（Ⅰ）可知，設(shè)方程為，聯(lián)解方程得：．由韋達(dá)定理可得，將代入可得，即．所以．即直線的方程為．22.已知橢圓和圓：，過橢圓上一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)