曲線擬合算法研究及分析作者姓名郭騰騰專業信息與計算科學指導教師姓名田霞專業技術職務副教授作者姓名郭騰騰專業信息與計算科學指導教師姓名田霞專業技術職務副教授目錄摘要………………1第一章曲線擬合算法的簡介………………2什么是曲線擬合算法………………2曲線擬合的大體思想………………2曲線擬合的概念……………………2

可化為線性擬合的非線性擬合……3第二章曲線擬合算法的研究………………4

曲線擬合的國內外研究現狀………4曲線擬合的目的及意義…………4曲線擬合的國內外研究現狀……5曲線擬合研究設計內容…………5

曲線擬合的最小二乘法……………6最小二乘法的大體原理和多項式擬合…………6一般最小二乘擬合………………11最小二乘擬合多項式的存在唯一性……………13多項式擬合中克服正規方程組的病態…………14第三章曲線擬合算法的評價……………16參考文獻…………18致謝………………19附錄………………20摘要判斷最佳擬合那個數據的曲線的一個方式是通過找到誤差的平均值分析絕對誤差。平均誤差越小方程擬合的越好。分析這條曲線的另一個辦法是找到均方誤差。咱們用均方誤差代替平均誤差。一樣，均方誤差越小，方程擬合的越好。平均誤差和均方誤差之間最主要的不同是均方誤差考慮那些遠離預測值的數據值。換句話說，遠離預測值的數據對均方誤差的影響要比平均誤差更大。這是因為當一個兩位數取平方時，若是他們沒有被平方，他們的差會變大。統計學家們一般在分析頂用均方誤差，所以咱們也用均方誤差。在這里，通過對曲線擬合算法的進一步研究，咱們對這一算法有了更深刻地熟悉，并運用最小二乘法的原理，用列主元消去法編程實現了用改良的平方根法求正規方程組。關鍵詞：曲線擬合最小二乘法列主元消去法平方根法ABSTRACTOnewaytojudgehowwellthecurvefitsthedataistoanalyzetheabsoluteerrorbyfindingthemeanoftheerror.Thesmallerthemeanerror,thebetterthefitofequation.Anotherwaytoanalyzethecurveistofindthemeansquareerror.Insteadoffindingthemeanoftheerror,wefindthemeanofsquaringtheerror.Again,thesmallerthemeansquareerror,thebetterthefitofequation.Themaindifferencebetweenmeanerrorandmeansquareerroristhatthemeansquareerrortakescaremoreofanaccountfordatavaluesthatarefartherawayfromthepredictionvalues.Inotherwords,datathatfallsfarfromitspredictorhasalargereffectonthemeansquareerrorthanthemeanerror.Becausetwonumbers'differencesbecomegreaterwhentwonumbersaresquared.GenerallyStatisticiansusethesquaremeanerrorinanalyses,sowewilltoo.Here,Wehaveabettercomprehensionforthealgorithmbytakingdeeplyresearch，andtaketheLeastsquaremethodandColumnprincipleeliminationmethodtosolvethenormalequationsbyusingimprovedSquareRootMethod.Keywords:Curvefitting;Leastsquaremethod;Columnprincipleeliminationmethod;SquareRootMethod第一章曲線擬合算法的簡介什么是曲線擬合算法1.1.1曲線擬合的大體思想曲線擬合用持續曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點組所表示的坐標之間的函數關系的一種數據處置方式。用解析表達式逼近離散數據的一種方式。在科學實驗或社會活動中，通過實驗或觀測取得量x與y的一組數據對(x,y),i1,2,??????m，其中各x是彼此不同的。人們希望用一類與數據的背景材iii料規律相適應的解析表達式，y=f(x,c)來反映量x與y之間的依賴關系，即在必然意義下“最佳”地逼近或擬合已知數據。f(x,c)常稱作擬合模型,式中c=(c1,c2,…cn)是一些待定參數。當c在f中線性出現時，稱為線性模型，不然稱為非線性模型。有許多衡量擬合優度的標準，最常常利用的一種做法是選擇參數c使得擬合模型與實際觀測值在各點的殘差(或離差)ek=yk—f(xk,c)的加權平方和達到最小，現在所求曲線稱作在加權最小二乘意義下對數據的擬合曲線。有許多求解擬合曲線的成功方式，對于線性模型一般通過成立和求解方程組來肯定參數，從而求得擬合曲線。至于非線性模型，則要借助求解非線性方程組或用最優化方式求得所需參數才能取得擬合曲線，有時稱之為非線性最小二乘擬合。實際工作中，變量間未必都有線性關系，如服藥后血藥濃度與時刻的關系；疾病療效與療程長短的關系；毒物劑量與致死率的關系等常呈曲線關系。對于某些非線性的資料能夠通過簡單的變量變換使之直線化，如此就可以夠按最小二乘法原理求出變換后變量的直線方程，在實際工作中常利用此直線方程繪制資料的標準工作曲線，同時按照需要可將此直線方程還原為曲線方程，實現對資料的曲線擬合。在實際問題中，如何由測量的數據設計和肯定“最切近”的擬合曲線？關鍵在于選擇適當的擬合曲線類型，有時按照專業知識和工作經驗即可肯定擬合曲線類型；在對擬合曲線一無所知的情形下，不妨先繪制數據的粗略圖形，或許從中觀測出擬合曲線的類型；更一般地，對數據進行多種曲線類型的擬合，并計算均方誤差，用數學實驗的方式找出在最小二乘法意義下的誤差最小的擬合函數。判斷最佳擬合那個數據的曲線的一個方式是通過找到誤差的平均值，分析絕對誤差。平均誤差越小方程擬合的越好。分析這條曲線的另一個辦法是找到均方誤差。咱們用均方誤差代替找平均誤差。一樣，均方誤差越小，方程擬合的越好。平均誤差和均方誤差之間最主要的不同是均方誤差考慮那些遠離預測值的數據值。換句話說，遠離預測值的數據對均方誤差的影響要比平均誤差更大。這是因為當一個兩位數取平方時，若是他們沒有被平方，他們的差會變大。1.1.2曲線擬合的概念曲線擬合(curvefitting)是指選擇適當的曲線類型來擬合觀測數據，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關系。曲線擬合的方式很多。實際工作中，變量間未必都有線性關系，如服藥后血藥濃度與時刻的關系；疾病療效與療程長短的關系；毒物劑量與致死率的關系等常呈曲線關系。對于某些非線性的資料能夠通過簡單的變量變換使之直線化，如此就可以夠按最小二乘法原理求出變換后變量的直線方程，在實際工作中常利用此直線方程繪制資料的標準工作曲線，同時按照需要可將此直線方程還原為曲線方程，實現對資料的曲線擬合。在實際問題中，如何由測量的數據設計和肯定“最切近”的擬合曲線？關鍵在于選擇適當的擬合曲線類型，有時按照專業知識和工作經驗即可肯定擬合曲線類型；在對擬合曲線一無所知的情形下，不妨先繪制數據的粗略圖形，或許從中觀測出擬合曲線的類型；更一般地，對數據進行多種曲線類型的擬合，并計算均方誤差，用數學實驗的方式找出在最小二乘法意義下的誤差最小的擬合函數。曲線擬合用持續曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點組所表示的坐標之間的函數關系的一種數據處置方式。用解析表達式逼近離散數據的一種方式。在科學實驗或社會活動中，通過實驗或觀測取得量x與y的一組數據對(xi,yi)(i=1，2,…m),其中各xi是彼此不同的。人們希望用一類與數據的背景材料規律相適應的解析表達式，y=f(x,c)來反映量x與y之間的依賴關系，即在必然意義下“最佳”地逼近或擬合已知數據°f(x,c)常稱作擬合模型，式中c=(c1,c2,...cn)是一些待定參數。當c在f中線性出現時，稱為線性模型，不然稱為非線性模型。有許多衡量擬合優度的標準，最常常利用的一種做法是選擇參數c使得擬合模型與實際觀測值在各點的殘差(或離差)ek=yk—f(xk,c)的加權平方和達到最小，現在所求曲線稱作在加權最小二乘意義下對數據的擬合曲線。有許多求解擬合曲線的成功方式，對于線性模型一般通過成立和求解方程組來肯定參數，從而求得擬合曲線。至于非線性模型，則要借助求解非線性方程組或用最優化方式求得所需參數才能取得擬合曲線，有時稱之為非線性最小二乘擬合?？苫癁榫€性擬合的非線性擬合有些非線性擬合曲線能夠通過適當的變量替換轉化為線性曲線，從而用線性擬合進行處置。對于一個實際的曲線擬合問題，一般先按觀測值在直角坐標平面上描出散點圖，看一看散點同哪類曲線圖形接近，然后選用相接近的曲線擬合方程。再通過適當的變量替換轉化為線性擬合問題，按線性擬合解出后再還原為原變量所表示的曲線擬合方程。表1-1列舉了幾類經適當變換化為線性擬合求解的曲線擬合方程及變換關系。表1-1曲線擬合方程及變換方式曲線擬合方程變換關系變換后線性擬合方程y=axby二Iny,x二Inxy=a曲線擬合方程變換關系變換后線性擬合方程y=axby二Iny,x二Inxy=a+bx(a=Ina)y=ax+cxy=—ax+b—1—1y=,x=yxy=a+bx1y=—ax+b-1

y=-yy=b+axy=ax2+bx+c-1

y=-yy=ax2+bx+cyy=ax2+bx+cy=ax2+bx+c數據接近于直線，故宜采用線性函數y=a+bx擬合；數據散布接近于拋物線，可采用二次多項式y=a+ax+ax2擬合；數據散布特點是開始曲線上升較快隨后012仕逐漸變慢，宜采用雙曲線型函數y=^^或指數型函數y=ae-x；數據散布特ax+b點是曲線開始下降快，隨后逐漸變慢，宜采用y=^^或y=1或y=ae-bxax+ba+bx2等函數擬合。第二章曲線擬合算法的研究曲線擬合的國內外研究現狀2.1.1曲線擬合的目的及意義實際工作中，變量間未必都有線性關系，如服藥后血藥濃度與時刻的關系；疾病療效與療程長短的關系；毒物劑量與致死率的關系等常呈曲線關系。曲線擬合(curvefitting)是指選擇適當的曲線類型來擬合觀測數據，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關系。曲線擬合的方式很多。對于某些非線性的資料能夠通過簡單的變量變換使之直線化，如此就可以夠按最小二乘法原理求出變換后變量的直線方程，在實際工作中常利用此直線方程繪制資料的標準工作曲線，同時按照需要可將此直線方程還原為曲線方程，實現對資料的曲線擬合。在實際問題中，如何由測量的數據設計和肯定“最切近”的擬合曲線？關鍵在于選擇適當的擬合曲線類型，有時按照專業知識和工作經驗即可肯定擬合曲線類型；在對擬合曲線一無所知的情形下，不妨先繪制數據的粗略圖形，或許從中觀測出擬合曲線的類型；更一般地，對數據進行多種曲線類型的擬合，并計算均方誤差，用數學實驗的方式找出在最小二乘法意義下的誤差最小的擬合函數。總之曲線擬合在實際問題中應用超級普遍。曲線擬合的國內外研究現狀曲線擬合的最小二乘法在應用科學中具有重要作用，它是離散點的最佳平方逼近，由哈爾條件可證明解的存在唯一性，而采用離散點正交多項式可避免解法方程時出現的病態問題，為用多項式做最小二乘模型提供了可行的算法。對于利用曲線擬合算法來預報轉子位置，從而更準確地控制各相繞組開通與關斷的新方式，位置檢測環節是開關磁阻電動機(SRM)驅動系統的重要組成部份，檢測到的位置信號既是繞組開通與關斷的依據，也為轉速閉環控制提供了轉速信息?；诜峭娤嗉庸膭蠲}沖判斷SRM轉子位置的方式［1］，成立了最高鼓勵脈沖頻率的數學模型，分析了其對位置檢測精度的影響，提出了利用曲線擬合的最小二乘算法來預報轉子位置以提高控制精度的新方式，從而提高了無位置傳感器SRM驅動系統的運行性能［2］。此刻國內外許多科學家都致力于曲線擬合算法的研究，例如，有人發明提出了一種反問題的運算機曲線擬合方式，該方式包括步驟：將實際測試數據和缺省模型的理論曲線畫在運算機顯示屏幕的同一圖形顯示區內；判斷缺省模型是不是合理，若是缺省的理論模型與實測數據的曲線形態一致，則以為缺省模型合理，不然從頭選擇缺省模型；選擇模型參數；判斷選擇參數對理論曲線形狀的影響，通過可視化操作改變理論曲線的形態，使之與實際曲線的形態一致；判斷曲線位置是不是一致，若不一致則移動實際曲線位置；計算反問題的解。2.1.3曲線擬合研究設計內容曲線擬合是用持續曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點組所表示的坐標之間的函數關系，用解析表達式逼近離散數據的一種方式。在科學實驗或社會活動中，通過實驗或觀測取得量x與y的一組數據對(xi,yi)(i=l,2,...m),其中各xi是彼此不同的。人們希望用一類與數據的背景材料規律相適應的解析表達式y=f(x,c)來反映量x與y之間的依賴關系，即在必然意義下“最佳”地逼近或擬合已知數據。f(x,c)常稱作擬合模型，式中c=(c1,c2,...cn)是一些待定參數。當c在f中線性出現時，稱為線性模型，不然稱為非線性模型。有許多衡量擬合優度的標準，最常常利用的一種做法是選擇參數c使得擬合模型與實際觀測值在各點的殘差(或離差)ek=yk—f(xk,c)的加權平方和達到最小，現在所求曲線稱作在加權最小二乘意義下對數據的擬合曲線。對于線性模型一般通過成立和求解方程組來肯定參數，從而求得擬合曲線。至于非線性模型，則要借助求解非線性方程組或用最優化方式求得所需參數才能取得擬合曲線，有時稱之為非線性最小二乘擬合。本課題擬總結有關類型的曲線的擬合的各類方式，并對其給出綜合評價，提出新的一種曲線擬合算法或對已有的算法進行改良優化，目標是比起已有的算法，收斂速度更快，更節省時刻。曲線擬合的最小二乘法2.2.1最小二乘法的大體原理和多項式擬合1.最小二乘法的大體原理最小二乘法是一種數學優化技術，它通過最小化誤差的平方和找到一組數據的最佳函數匹配。最小二乘法是用最簡的方式求得一些絕對不可知的真值，而令誤差平方之和為最小。它通常常利用于曲線擬合。很多其他的優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘形式表達。比如從最簡單的一次函數y=kx+b講起。已知坐標軸上有些點,,,,(3,,(4,6),,，求通過這些點的圖象的一次函數關系式。固然這條直線不可能通過每一個點，咱們只要做到5個點到這條直線的距離的平方和最小即可,這這就需要用到最小二乘法的思想?然后就用線性擬合來求。從整體上考慮近似函數p(x)同所給數據點(x,y)(i=0,1,…,m)誤差iir-p(x)一y(i=0,1,…,m)TOC\o"1-5"\h\ziii的大小，常常利用的方式有以下三種：一是誤差r二p(x)-y(i=0,1，…,m)絕對值iii的最大值max|r，即誤差向量r=(r,r,r)t的*一范數；二是誤差絕對值的和i01m0<i<m區|r，即誤差向量r的1一范數；三是誤差平方和遲r2的算術平方根，即誤差iii=0i=0向量r的2—范數；前兩種方式簡單、自然，但不便于微分運算，后一種方式相當于考慮2―范數的平方，因此在曲線擬合中常采用誤差平方和區r2來氣宇誤ii=0差r(i=0，1，…，m)的整體大小。i數據擬合的具體作法是：對給定數據(x,y)(i=0,1,…，m)，在取定的函數ii類①中，求p(x)w①，使誤差r=p(x)-y(i=0,1,…,m)的平方和最小，即iii

遲r2二遲[p(x)—y]=miniiii=0i=0從幾何意義上講，就是尋求與給定點(x,y)(i=0丄…,m)的距離平方和為最ii小的曲線y=p(x)(圖2-1)。函數p(x)稱為擬合函數或最小二乘解，求擬合函數p(x)的方式稱為曲線擬合的最小二乘法。在曲線擬合中，函數類①可有不同的選取方式.圖2-1圖2-12.多項式擬合假設給定數據點(x,y)(i=0,1,…,m),①為所有次數不超過n(n<m)的多項ii式組成的函數類，現求一p(x)=工axkw①，使得nkk=0(2-1)I=遲[p(x)—y]二遲(工axk—y)=min(2-1)niikiii=0i=0k=0當擬合函數為多項式時，稱為多項式擬合，知足式(2-1)的p(x)稱為最小二乘n擬合多項式。特別地，當n=1時，稱為線性擬合或直線擬合。顯然I=遲(工axk—y)kiii=ok=o為a,a,…a的多元函數，因此上述問題即為求I=I(a,a,…a)的極值問題。01n01n由多元函數求極值的必要條件，得(2-2)(2-3)—二2遲(工axk—y)xj二0,j=0,1,...,n沁k/ii(2-2)(2-3)/i=0k=0TOC\o"1-5"\h\z工(區xj+k)a=遲xjy,j=0,1,...,n

ikzik=0i=0i=0(2-3)是關于a,a,…a的線性方程組，用矩陣表示為01n(2-4)(2-4)(2-4)(2-4)m+1區xm+1區xi...￡區x厶x2￡0…厶xii=0：ii=0：i=0:遲xn區xn+1...遲:ii=0ii=0i=0ii「a1書y10a.1厶xyii:i=0：an」遲xnyiiLi=o」Xni式(2-3)或式(2-4)稱為正規方程組或法方程組。能夠證明，方程組(2-4)的系數矩陣是一個對稱正定矩陣，故存在唯一解。從式(2-4)中解出a(k=0,l,…，n),從而可得多項式k(2-5)p(x)=工axk(2-5)TOC\o"1-5"\h\znkk=0能夠證明，式(2-5)中的p(x)知足式(2-1)，即p(x)為所求的擬合多項式。nn咱們把區［p(x)-y1稱為最小二乘擬合多項式p(x)的平方誤差，記作niini=02=Xtp(x)-y]2niii=0由式(2-2)可得(2-6)i=0H2=區yi2-^q(區xik(2-6)i=0多項式擬合的一般方式可歸納為以下幾步:(1)k=0i=多項式擬合的一般方式可歸納為以下幾步:(1)由已知數據畫出函數粗略的圖形一一散點圖，肯定擬合多項式的次數n；列表計算區xj(j=0,1,…,2n)和區xjy(j=0,1,…,2n)；iiii=0i=0寫出正規方程組，求出a,a，…,a；01n寫出擬合多項式p(x)=￡axk。nkk=0在實際應用中，n<m或n<m；當n=m時所得的擬合多項式就是拉格朗日或牛頓插值多項式⑶。例1測得銅導線在溫度T(°C)時的電阻R(0)如表2-1，求電阻R與溫度Tii的近似函數關系。表2-1i012345T(C)iR(⑵i表2-3810表2-3810解畫出散點圖（圖2-2），可見測得的數據接近一條直線，故取n=1,擬合函數為列表如下表2-2正規方程組為「a「565.5_0=a1-1丄20029.4457245.3245.39325.83解方程組得a=70.572,a=0.92101故得R與T的擬合直線為R二70.572+0.921T利用上述關系式，能夠預測不同溫度時銅導線的電阻值。例如，由R=0得T=,即預測溫度T=-242.5°C時，銅導線無電阻。圖2-2例2已知實驗數據如下表i01234567xi13456789yi1054211234試用最小二乘法求它的二次擬合多項式。解設擬合曲線方程為y=a+ax+ax2012列表如下表2-4Ixiyix2ix3ix4ixyiix2yii0110111101013592781154524416642561664352251256251050461362161296636571493432401749682645124096161287938172965612724381041001000100004040053323813017253171471025得正規方程組_952381］「a_0523813017a=1381301725317a1-2」「32_1471025解得a=13.4597,a=—3.6053,a=0.2676012故擬合多項式為y二13.4597—3.6053+0.2676x22.2.2—般最小二乘擬合多項式擬合形式比較規范，方式也比較簡單，但在實際應用中，針對所討論問題的特點，擬合函數可能為其他類型，如指數函數、有理函數、三角函數等，這就是一般最小二乘擬合問題。1.線性最小二乘擬合設9(x),9(x),??q(x)為n+1個線性無關(與向量的線性無關概念類似)的TOC\o"1-5"\h\z01n持續函數，①為9(x),9(x),???9(x)所張成的n+1維線性空間，即由其所有線性01n組合￡a9(x),agR(k=0,1,…,n)組成的集合，記作kkkk=0①二span^9(x),9(x),…,9(x)}01n任取p(x)g①，則p(x)=￡a9(x)，它是關于a,a，…,a的線性函數。kk01nk=0對已知數據點(x,y)(i=0,1，…,m)，在①中求一p(x)，使得iiI=￡[p(x)—yj=￡工a9(xI=￡[p(x)—yj=￡工a9(x)-ykkiiLk=02=min(2-7)iii=0i=0這就是一般線性最小二乘擬合問題⑷。同多項式擬合完全類似，上述問題歸結為多元函數的極值問題。由多元函數求極值的必要條件，可得刃=2區(工a9(x)-y)9(x)=0,j=0,1,...,nljlQak'klji=0k=0(x)p(x)ajiki=另9(x)y,j=0,1,…,njiii=0(2-8)它是關于

法方程組,

記a,a，…,a的線性方程組，即為一般線性最小二乘擬合的正規方程組或01n系數矩陣為對稱矩陣。9=(9(x),9(x),^9(x))t,k=0,1,…,nkk0k1kma=(a,a，…，a)T,y=(y,y，…，y)T01n01m式(2-8)(9,9)=￡9(x)9(x),j,k=0,1,…,njkjikii=0(9,y)=￡9(x)y,j=0,1,…,njjLLi=0可用矩陣表示為(2-9)(2-9)(2-9)(2-9)~(q,q)(q,q)…(q,q)a「(q,y)—00010n00(q,q)(q,q)…(q,q)a(q,y)1.0i.11n=(q,q)Ln0(q,q)n1…(q,q)nnan」(q,y)n式(2-9)也可表示為(2-10)GtGq=GT(2-10)若是G的列向量組線性無關，即R(G)=n+1，則正規方程組(2-9)或(2-10)存在唯一解a=a,a，…,a，從而p(x)=￡a申(x)為知足式(2-7)的最小二乘擬01nkkk=0合函數。顯然，式(2-9)或式(2-10)的解a=a,a，…,a是超定方程組Ga=y01n的最小二乘解。特別地，當取申=xk(k=0,1，…n)時，即為多項式擬合，所以多項式擬合是k一般最小線性二乘擬合的特殊情形。例3已知一組數據如下表，在①二span{1,ex,e-x}中求其擬合函數。表2-502xiyi解設擬合函數為p(x)=a+aex+ae-x012即q(x)=1,*(x)=ex,q(x)=e-x

012代入式(2-10)得120.904842.202542.202542.407150.74082,y=2.615920.670322.830960.606653.054480.548813.288761111.1051711.22140G=11.3498611.4918211.6487211.82212所以「79.639095.29005-「18.3998「GtG=9.6390913.799276.9999,GTy=26.157185.290056.99994.1562713.456872222kk=0解正規方程組GTGa=GTy得a二1.98614,a二1.01700,a=—1.00304

012故所求擬合曲線為y=1.98614+1.01700ex—1.00304e-x2.2.3最小二乘擬合多項式的存在唯一性定理1設節點x,x,…,x互異，則方程組(2-10)的解存在唯一。01n證由克萊姆法則，只需證明方程組(2-10)的系數矩陣非奇異即可。用反證法，設方程組(2-10)的系數矩陣奇異，則其所對應的齊次方程組i=0：iii=i=0：iii=0：VV厶(xn厶(xn+1ii1-i=0i=0XxniX0厶xn+1ii=0：a0a.1—王1X0厶xyiii=0：Xx2nii=0」an」XxnyiiLi=0」(2-11)有非零解。式(2-11)可寫為(2-12)y(Xxj+k)a=0,j=0,1,…,n(2-12)ikk—0i—0將式(2-12)中第j個方程乘以a.(j=0丄…，n),然后將新取得的n+1個方程左jjikj=0k=0i=0右兩頭別離相加,得Xa[X(Xxj+kjikj=0k=0i=0因為jj=0其中aaxjj=0其中aaxj+kkjii=0j=0k=0axjji丿i=0、j=0丿厶axkkik=0丿上［p(x)『nii=0p(x)=yaxknkk=0所以p(x)—0(i=0,1,…,m)nip(x)是次數不超過n的多項式，它有m+1>n個相異零點，由代數大體定理，n必需有a—a—…a—0，與齊次方程組有非零解的假設矛盾。因此正規方程組01n(2-10)必有唯一解。定理2設a,a，…,a是正規方程組(2-10)的解，則p(x)=Xaxk是知01nnk

足式（2-7）的最小二乘擬合多項式。證只需證明，對任意一組數b,b，…,b組成的多項式Q（x）二工bxk，恒TOC\o"1-5"\h\z01nnkk=0

有區［Q(x)-y］2'區［p(x)-y］2niiniii=0i=0即可。區［Q(x)-y］2—遲［p(x)-y］2niiniii=0i=0=瓦［Q(x)-p(x)］2+2瓦［Qnininininiii=0i=0>0+2瓦工［(b—a)xj］?［^^axk—y］=2^^{(b—a正［(工jjikiijjkiiii=0j=0k=0j=0i=0k=0因為a,(k=0,l,…，n)是正規方程組(2-10)的解，所以知足式(2-8)，因此有k區［Q(x)-y］2-區［pniiniii=0i=0故p(x)為最小二乘擬合多項式［5］。n2.2.4多項式擬合中克服正規方程組的病態在多項式擬合中，當擬合多項式的次數較高時，其正規方程組往往是病態的。而且正規方程組系數矩陣的階數越高，病態越嚴峻；擬合節點散布的區間［x,x］偏離原點越遠，病態越嚴峻；0mx（i=0,1，…，m）的數量級相差越大，病態越嚴峻。i為了克服以上缺點，一般采用以下辦法：盡可能少作高次擬合多項式，而作不同的分段低次擬合；不利用原始節點作擬合，將節點散布區間作平移，使新的節點齊關于原點對i稱，可大大降低正規方程組的條件數，從而減低病態程度。平移公式為：(2-13)(2-14),i=0,1，…,(2-13)(2-14)③對平移后的節點x（i=0,1，…，m）,再作緊縮或擴張處置:ix+=px,i=0,1，…,mii其中pp二,(r是擬合次數)(2-15)pp二,(r是擬合次數)(2-15)2r/(x)2r"'i=0通過如此調整能夠使x+的數量級不太大也不過小，特別對于等距節點ix=x+ih(i=0,1,…,m)，作式(2-14)和式(2-15)兩項變換后，其正規方程組i0的系數矩陣設為A,則對1?4次多項式擬合，條件數都不太大，都能夠取得滿意的結果。變換后的條件數上限表如下：表2-6擬合次數1234cond2(A)=1<<<435④在實際應用中還能夠利用正交多項式求擬合多項式。一種方式是構造離散正交多項式；另一種方式是利用切比雪夫節點求出函數值后再利用正交多項式。這兩種方式都使正規方程組的系數矩陣為對角矩陣，從而避免了正規方程組的病態性⑹。例4m=19,xo=328,h=1,x1=x°+ih,i=0,1,???，19,即節點散布在[328,347],作二次多項式擬合時，直接用x構造正規方程組系數矩陣A，計算可得i0cond(A)=2.25x101620嚴峻病態，擬合結果完全不能用。作平移變換TOC\o"1-5"\h\z-328+347.0119x=x-,i=0,1,?T9ii2用x構造正規方程組系數矩陣A，計算可得1cond(A)=4.483868x101621比cond(A)降低了13個數量級，病態顯著改善，擬合效果較好。0取緊縮因子沁0.1498丈(x)41i=0作緊縮變換x+=px,i=0,1,…,19。用x+構造正規方程組系數矩陣A，計算可iii2得cond(A)=6.839，又比cond(A)降低了3個數量級，是良態的方程組，2221擬合效果十分理想。如有必要，在取得的擬合多項式p(x+)中利用原來節點所n對應的變量X,可寫為小/、//x+x、、Q(x)=p(p-(x-om))nn2仍為一個關于X的n次多項式，正是咱們要求的擬合多項式。第三章曲線擬合算法的評價曲線擬合用持續曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點組所表示的坐標之間的函數關系的一種數據處置方式。用解析表達式逼近離散數據的一種方式。在科學實驗或社會活動中，通過實驗或觀測取得量x與y的一組數據對(比，yi)(i=l,2,…m),其中各xi是彼此不同的。人們希望用一類與數據的背景材料規律相適應的解析表達式，y=f(x,c)來反映量x與y之間的依賴關系，即在必然意義下“最佳”地逼近或擬合已知數據。f(x，c)常稱作擬合模型，式中c=(C],c2，...cn)是一些待定參數。當c在f中線性出現時，稱為線性模型，不然稱為非線性模型。有許多衡量擬合優度的標準，最常常利用的一種做法是選擇參數c使得擬合模型與實際觀測值在各點的殘差(或離差)ek=yk—f(xk，c)的加權平方和達到最小，現在所求曲線稱作在加權最小二乘意義下對數據的擬合曲線。有許多求解擬合曲線的成功方式，對于線性模型一般通過成立和求解方程組來肯定參數，從而求得擬合曲線。至于非線性模型，則要借助求解非線性方程組或用最優化方式求得所需參數才能取得擬合曲線，有時稱之為非線性最小二乘擬合。實際工作中，變量間未必都有線性關系，如服藥后血藥濃度與時刻的關系；疾病療效與療程長短的關系；毒物劑量與致死率的關系等常呈曲線關系。對于某些非線性的資料能夠通過簡單的變量變換使之直線化，如此就可以夠按最小二乘法原理求出變換后變量的直線方程，在實際工作中常利用此直線方程繪制資料的標準工作曲線，同時按照需要可將此直線方程還原為曲線方程，實現對資料的曲線擬合。在實際問題中，如何由測量的數據設計和肯定“最切近”的擬合曲線？關鍵在于選擇適當的擬合曲線類型，有時按照專業知識和工作經驗即可肯定擬合曲線類型；在對擬合曲線一無所知的情形下，不妨先繪制數據的粗略圖形，或許從中觀測出擬合曲線的類型；更一般地，對數據進行多種曲線類型的擬合，并計算均方誤差，用數學實驗的方式找出在最小二乘法意義下的誤差最小的擬合函數。對于解AX=