毛細管口氣泡的曲率半徑和附加壓力變化謝治輝【摘要】通過直接繪制氣泡形成過程中彎曲表面關鍵狀態的形狀示意圖，得到了曲率半徑隨時間變化的關系曲線.利用該曲線有助于加深學生對最大泡壓法測表面張力實驗中曲率半徑和附加壓力變化的理解，同時該曲線也可用于解析一些與附加壓力有關的習題.【期刊名稱】《大學化學》【年（卷），期】2018（033）010【總頁數】4頁（P110-113）【關鍵詞】毛細管;曲率半徑;附加壓力;表面張力【作者】謝治輝【作者單位】西華師范大學化學化工學院，四川南充637002【正文語種】中文【中圖分類】G64;O64表面張力是本科物理化學課程表面物理化學一章中的一個非常重要的概念［1,2］。由于表面張力的作用，彎曲表面下的液體與平面不同，前者將受到一種附加的壓力，即附加壓力。附加壓力與曲率半徑的關系是物理化學課程明確要求熟悉掌握的知識點［3,4］。然而，學生在應用附加壓力相關知識的時候，常疑問重重，或面對問題無從下手。例如，最大（氣）泡壓（力）法測定溶液的表面張力是物理化學實驗中的典型實驗［5］。該實驗需要在氣泡曲率半徑剛好等于毛細管半徑的時候讀數。因為此時氣泡的曲率半徑最小，附加壓力值最大［6］。實際上，從毛細管內液柱下降到形成氣泡，進而氣泡破裂或從管口脫離的過程中，曲率半徑經歷了先增加后降低，再增加的過程。多數實驗教材雖然講到了曲率半徑經歷了后半部分的降低和增加的過程，部分參考書還給出了示意圖，但是并不完善［7-9］。目前還沒有參考書目或文獻詳述液柱從下降至形成氣泡進而脫離毛細管口的整個過程中彎曲面的曲率半徑及對應的附加壓力的變化。多數學生實驗過程中雖然記住了需要在壓力差值最大時讀數，但并不知道真正的原因；或者即使知道此時曲率半徑對應最小值也即等于毛細管半徑，但對于曲率半徑經歷的變化則無從談起。另一個例子便是在倒U型毛細管的兩側端口處各有一大一小的肥皂泡，問若U型管內接通后，兩肥皂泡大小有何變化？有部分學生即使看了答案后仍然感到疑惑。為了使上述問題簡單清楚，本文將以示意圖的形式給出毛細管內液柱從下降至氣泡從毛細管口脫離的整個過程中彎曲面的形狀和對應曲率半徑的變化規律，并結合Young-Laplace公式討論附加壓力值的變化。相信根據示意圖，學生可以更為輕松地理解和解答上述例子中的有關表面張力和附加壓力的問題。圖1所示為在毛細管上端持續緩慢施加外壓，從而在毛細管端口形成氣泡的過程中彎曲面的變化示意圖。圖中橫線MN為空氣與液體的界面。為了便于理解，圖中以虛線的形式給出不同時間點彎曲面所對應的球體的完整截面。設毛細管可被液體潤濕，毛細管端口剛好與液面相切。由于毛細管效應，液體在毛細管內上升至某高度并形成彎月凹面。設此時彎月面呈半球狀，則彎曲面的曲率半徑R就等于毛細管半徑r（圖1t0）。平衡后，在毛細管的上端施加外壓使液柱下降，在彎曲面最下側剛好與液面相切前，彎曲面形狀維持不變，曲率半徑也不改變，見圖1t1。隨后，彎曲凹面將變形，曲率半徑增加（圖1t2），并進而被壓縮為平面（圖1t3）,此時曲率半徑增至無限大。隨后，端口液面繼續向下壓出，形成具有較大曲率半徑的凸面(圖1t4)，但相對于t3時刻，此時的曲率半徑已經明顯下降。進一步，當凸出部分剛好形成一個半球時，曲率半徑R減小到再次與毛細管半徑r相等(圖1t5)。最后，曲率半徑將再次逐漸增加直至最大值(圖1t6)；此后，氣泡立即發生破裂或從毛細管口脫離逸出。將圖1各時間點對應彎曲面的曲率半徑R對時間t作圖可得圖2。由圖2并結合圖1可知，在t0到t1期間，毛細管內液柱下降并不引起彎曲面曲率半徑的改變，期間彎曲面的曲率半徑R始終等于毛細管半徑r，隨后曲率半徑逐漸增加至無窮大，即形成平面(t3)。隨著時間增加，曲率半徑再次下降至最低值并等于毛細管半徑(t5)，然后曲率半徑再次隨氣泡增大而增加至最大值(t6)，越過此點，氣泡發生破裂或逸出。因而，實際上，曲率半徑R經歷了由不變到逐漸增加至無窮大，然后再降至最低值，最后再升至極大值的變化過程。根據圖2可知，當曲率半徑最小時，對應的曲率半徑值即為毛細管的半徑。根據Young-Laplace公式，當曲率半徑最小時，附加壓力最大。因此，若使用已知表面張力的液體并測得其最大附加壓力值，即可得到毛細管的半徑。然后，在相同的條件下，測量未知液體的最大附加壓力值，并將上述得到的毛細管半徑代入Young-Laplace公式，即可計算得到未知液體的表面張力。問題：在一個倒U型毛細管兩端各有一大一小肥皂泡，中間有一旋塞。擰開旋塞使兩氣泡相通，問兩泡的大小將發生如何變化？到何時達到平衡？答案：接通后小泡變小、大泡變大，即小氣泡的附加壓力ps大于大氣泡的附加壓力，當達平衡時兩氣泡的曲率半徑相等［10］。該問題和答案選自參考文獻［10］。針對此題，多數學生在思考或看了參考答案后都能明白平衡時兩氣泡的曲率半徑應該相等。因為根據Young-Laplace公式，加之夕卜壓相同，則要使大小泡的附加壓力相同，曲率半徑必相等。但很多學生的疑問是:既然小泡越來越小，大泡越來越大，也即小泡的曲率半徑和大泡的曲率半徑分別逐漸減小和逐漸增大，則對應小泡的附加壓力越來越大，大泡的附加壓力越來越小。那大泡和小泡的曲率半徑和附加壓力又是如何能夠相等的呢？若能結合圖1和圖2,則能形象而準確地解答上述疑問。設外壓為p0，小泡的附加壓力為pA，小泡曲率半徑為RA，小泡內部壓力為pA,in，大泡的附加壓力為pB，大泡曲率半徑為RB，大泡內部壓力為pB,in。由于肥皂泡有里外2層，則附加壓力ps=2x2y/R=4y/R，式中Y為表面張力。因而，pA,in=p0+4y/RA,pB,in=p0+4y/RB。由于RA<RB,則開始時pA,in>pB,in，即開始時小泡內部的壓力大于大泡內部的壓力，因而氣體將由小泡一側流向大泡一側，導致小泡變小、大泡變大。設開始時小泡位于圖2中的tA，大泡位于tB，則在大泡變大的過程中對應曲率半徑RB將沿tB右側曲線移動，而小泡在變小的過程中曲率半徑將沿tA左側曲線移動（相當于圖1中的彎曲面形狀由右側向左側變化）。相應地，大泡的附加壓力因曲率半徑增加而減小，小泡的附加壓力因曲率半徑減小而增大，因而大泡內部壓力將減小，小泡內部壓力將增加。當移至t5處時，小泡的曲率半徑降至最低值，具有最大的附加壓力。此時左右氣泡內部出現最大壓力差，小泡一側氣體進一步壓縮至大泡一側，導致大泡進一步變大，小泡進一步變小。但是，一定注意，此時雖然大泡一側的曲率半徑仍在進一步增加，但小泡一側的曲率半徑不是繼續降低而是按照圖2中t5至t3的方向沿曲線由小至大迅速增加，直到大小泡的曲率半徑相等，均為re,見圖2左側te。圖2中右側te代表平衡時大泡的位置。此時，大小泡的附加壓力相等，內部壓力也相等。可見，在達到平衡前的整個過程中，雖然大泡一直在增加，小泡一直在減少，但小泡的曲率半徑經歷了先減小后增加的過程。通過對毛細管口氣泡形成過程中的臨界狀態繪制示意圖，并獲得曲率半徑隨時間的變化關系曲線，可以清楚形象地反映氣泡形成過程中彎曲表面所經歷的形狀以及曲率半徑的變化。結合Young-Laplace公式可以很直觀地得到氣泡形成過程中對應附加壓力的變化規律，并能針對一些實際問題做出準確詳細的解析。筆者在教學實踐中發現，通過本文所述的方法，學生能夠輕松理解最大泡壓法測定表面張力實驗中有關附加壓力的變化規律，也能夠比較詳細準確回答本文實例2所述習題。【相關文獻】[1] 尹振興，孑L輝,王海川，章俊,廖直友,李媛.大學化學,2016,31(9),77.劉引烽，房嫄，趙凱凱,李琛駿,楊小瑞，周海堤,王宇翔,朱逸莉,徐華根.大學化學,2014,29(5),84.傅獻彩，沈文霞，姚天揚,侯文華.物理化學.第5版.北京:高等教育出版社,2006.天津大學物理化學教研室.物理化學.第5版.北京:高等教育出版社,2009.甘泉，杜源，雷航，閻曉琦.大學化學,2016,31(11),97.楊