2022-2023學年廣西南寧市高一下學期期末考試數學試題一、單選題1．已知a為實數，若復數為純虛數，則（

）A．i B． C．1 D．【答案】B【分析】由給定復數為純虛數求出，再利用復數的乘方運算及除法運算求解作答.【詳解】因為復數為純虛數，則，解得，所以.故選：B2．我國古代數學名著《九章算術》有一抽樣問題：“今有北鄉若干人，西鄉三百人，南鄉兩百人，凡三鄉，發役六十人，而北鄉需遺十，問北鄉人數幾何？“其意思為：“今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，這三面要征調60人，而北面共征調10人（用分層抽樣的方法），則北面共有（

）人．”A．200 B．100 C．400 D．300【答案】B【分析】根據分層抽樣的定義結合題意列方程求解即可【詳解】設北面共有人，則由題意可得，解得，所以北面共有100人，故選：B3．一個斜邊長為2的等腰直角三角形繞斜邊旋轉一周，所形成的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知，所形成的幾何體是由底面半徑為1，高為1的兩個圓錐拼接而成，則其表面積是兩個圓錐的側面積之和【詳解】由題意可知，所形成的幾何體是由底面半徑為1，高為1的兩個圓錐拼接而成，所以所形成的幾何體的表面積為，故選：D4．設，是互不重合的平面，，，是互不重合的直線，下列命題中正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，，，則C．若，，，則 D．若，，，，則【答案】B【分析】對于A，可能相交，也可能平行，可判斷A;根據面面垂直的性質定理可判斷B;對于C，判斷m,n可能平行也可能異面，即可判斷正誤，對于D，根據線面垂直的的判定定理可判斷.【詳解】對于A，，，，則可能相交，也可能平行，故A錯誤‘對于B,若，，，，根據面面垂直的性質定理可知，故B正確；對于C,若，，，則m,n可能平行也可能異面，故C錯誤；對于D，若，，，，由于不能確定m,n是否相交，故不能確定，故D錯誤，故選:B5．已知某人射擊每次擊中目標的概率都是0.6，現采用隨機模擬的方法估計其3次射擊至少2次擊中目標的概率．先由計算器產生0到9之間的整數值的隨機數，指定0，1，2，3，4，5表示擊中目標，6，7，8，9表示未擊中目標；因為射擊3次，所以每3個隨機數為一組，代表3次射擊的結果．經隨機模擬產生了以下20組隨機數：169

966

151

525

271

937

592

408

569

683471

257

333

027

554

488

730

863

537

039據此估計的值為（

）A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75【答案】B【分析】由20組隨機數中找出至少2次擊中目標的包含的隨機數的組數，即可求概率的值.【詳解】20組隨機數中至少2次擊中目標的包含的隨機數為：151

525

271

592

408

471

257

333

027

554

730

537

039一個有組，所以其3次射擊至少2次擊中目標的概率，故選：B.6．設，，，則下列結論正確的是A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：因為，，，又函數在上是增函數，所以，，故選D.【解析】1、兩角和的正弦公式；2、正弦函數的單調性.7．已知正四面體ABCD，M為BC中點，N為AD中點，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運算性質，結合空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】設該正面體的棱長為，因為M為BC中點，N為AD中點，所以，因為M為BC中點，N為AD中點，所以有，，根據異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，故選：B8．已知函數，若在上無零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先結合二倍角公式和輔助角公式將函數進行化簡，得，由于在上無零點，因此，且，，在的條件下，解不等式可得解.【詳解】，由，得，因為在上無零點，所以，得，因為，所以，因為，，所以解得，因為，所以解得，因為，所以或，當時，，當時，，所以的取值范圍是，故選：B【點睛】關鍵點點睛：此題考查三角函數的綜合問題，考查三角恒等變換公式的應用，考查函數與方程，解題的關鍵是將函數在上無零點，利用正弦函數的性質轉化為關于的不等式組，從而可求得結果，考查數學轉化思想和計算能力，屬于較難題.二、多選題9．為普及疫情知識，某校不定期地共組織了10次全員性的防控知識問答競賽，下面是甲、乙兩個班級10次成績Y（單位：分）的折線圖：根據折線圖（）A．甲班的成績分數呈上升趨勢B．甲班乙班的成績分數平均值均為7C．甲班成績分數的方差大于乙班成績分數的方差D．從第7次到第10次甲班成績分數增量大于乙班成績分數增量【答案】ABCD【分析】由頻率分布折線圖,判斷甲班的成績分數呈.上升趨勢，計算甲、乙兩班成績平均值，估計它們的方差大小，判斷成績分數增量情況.【詳解】對于A，由頻率分布折線圖知，甲班的成績分數呈上升趨勢，A正確；對于B，計算甲班成績平均值為，計算乙班成績平均值為，所以甲班乙班的成績分數平均值均為7，故B正確；對于C，根據甲班成績數據比乙班成績數據波動性更大些，所以甲班方差比乙班方差大些，故C正確；對于D，由頻率分布折線圖知，從第7次到第10次甲班成績分數增量大于乙班成績分數增量，故D正確.故選:ABCD.10．關于函數，下列說法正確的是（

）A．若是函數的零點，則是的整數倍B．函數的圖象關于點對稱C．函數的圖象與函數的圖象相同D．函數的圖象可由的圖象先向上平移個單位長度，再向左平移個單位長度得到【答案】BC【分析】首先由三角恒等變換化簡函數解析式，作出圖象，數形結合判斷A錯誤；由正弦函數的對稱性可判斷函數的對稱性；利用三角函數誘導公式可判斷C選項；根據三角函數圖象變換規則可判斷D選項.【詳解】，畫出函數的圖象，如圖所示：的圖象與軸相鄰的兩個交點的距離不相等，且不為，故A錯；因為，所以函數的圖象關于對稱，則函數的圖象關于點對稱，故B正確；函數，故C正確；函數的圖象可由先向上平移個單位，再向左平移個單位長度得到，故D錯誤.故選：BC【點睛】本題考查三角恒等變換、正弦型函數的對稱性、三角函數誘導公式及三角函數圖象變換規則，屬于中檔題.11．已知向量，，，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．存在，使得C．向量是與共線的單位向量 D．在上的投影向量為【答案】BCD【分析】根據向量關系依次計算判斷即可.【詳解】對A，若，則，則，故A錯誤；對B，要使，則，則，因為，所以，故存在，使得，故B正確；對C，因為，所以，又，所以向量是與共線的單位向量，故C正確；對D，因為為單位向量，則在上的投影向量為，故D正確.故選：BCD.12．如圖，正方體的棱長為2，E是棱的中點，F是側面上的動點，且滿足平面，則下列結論中正確的是（

）A．平面截正方體所得截面面積為B．點F的軌跡長度為C．存在點F，使得D．平面與平面所成二面角的正弦值為【答案】AC【分析】取CD中點G，連接BG、EG，計算截面的面積后判斷A的正誤，取中點M，中點N，則點F的運動軌跡為線段MN，故可判斷B的正誤，取MN的中點F，則可判斷，故可判斷C的正誤，而即為平面與平面所成二面角，計算其正弦值后可判斷D的正誤.【詳解】取CD中點G，連接BG、EG，則等腰梯形為截面，而，，故梯形面積為，A正確；取中點M，中點N，連接，則，故四邊形為平行四邊形，則得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，∴點F的運動軌跡為線段MN，其長度為，B錯誤；取MN的中點F，則，∴，∵，∴，C正確；因為平面平面且，，∴即為平面與平面所成二面角，，D錯誤．故選：AC.三、填空題13．設平面向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為．【答案】【分析】根據已知條件，運用向量的投影公式，即可求解．【詳解】在方向上的投影向量．故答案為：14．基尼系數是國際上用來綜合衡量居民內部收入分配差異狀況的一個重要指標，它的一種簡便易行的計算方法是根據中位數對平均數的占比來估計基尼系數（換算表如下表所示）.假設某地從事自媒體的人員僅有4人，年收入分別為5萬元，10萬元，30萬元，55萬元，則這4人的年收入的基尼系數為.中位數占比一基尼系數換算表：中位數占比0％20％40％50％60％70％80％90％95％100％基尼系數【答案】【分析】首先計算平均數和中位數，從而得到中位數對平均數的占比為，再根據換算表即可得到答案.【詳解】4個人年收入的中位數為萬元，4個人年收入的平均數為萬元，則中位數對平均數的占比為，基尼系數為.故答案為：15．在中，，，，則的面積為．【答案】/【分析】由已知和內角和定理得到與的關系式及的范圍，利用二倍角的余弦可得的值，根據正弦定理求出，利用誘導公式可得，根據面積公式求出即可．【詳解】由，和，得，所以．故，即，可得，．又由正弦定理，得，可得，由，，，．故答案為：16．已知正方形中，，E是邊的中點，現以為折痕將折起，當三棱錐的體積最大時，該三棱錐外接球的表面積為．【答案】//【分析】由是邊的中點，可得為定值，當平面平面時，高最大值，此時體積最大，求得三角形外接圓的半徑，即可求得球的表面積．【詳解】由題意，當平面平面時，三棱錐的高有最大值，此時體積最大．是直角三角形，取斜邊的中點，則為直角三角形的外心，設等腰三角形的外心為，連接，則平面，則，即為三棱錐的外接球的球心，在中，，，則，得，外接球半徑，三棱錐外接球的表面積為．故答案為：四、解答題17．某課外活動小組有三項不同的任務需要完成，已知每項任務均只分配給組員甲和組員乙中的一人，且每項任務的分配相互獨立，根據兩人的學習經歷和個人能力知，這三項任務分配給組員甲的概率分別為，，.（1）求組員甲至少分配到一項任務的概率；（2）設甲、乙兩人分配到的任務數分別為項和項，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求甲一項任務都沒有被分配的概率，利用對立事件的概率求法求組員甲至少分配到一項任務的概率.（2）由題意知，或，，可得三項任務可分配情況：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，再應用獨立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求概率即可.【詳解】（1）記事件為甲一項任務都沒有被分配，則，∴組員甲至少分配到一項任務的概率為；（2）滿足，即，或，，∴三項任務的具體分配對象依次為：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，故所求概率.18．在中，角、、的對邊分別為、、，．(1)求；(2)若，且，求的周長．在①的面積為，②這兩個條件中任選一個，補充在上面空白處，并完成解答．【答案】(1)(2)條件選擇見解析，的周長為【分析】（1）利用余弦定理、切化弦以及正弦定理化簡可得出的值，結合角的取值范圍可求得角的值；（2）選①，利用三角形的面積公式可求得，結合余弦定理可求得的值，即可得出的周長；選②，求出、的值，利用正弦定理可求得、的值，即可得出的周長.【詳解】（1）解：由余弦定理可得，則，同理可得，因為，即，由題意，且，所以，，所以，，因為，則，所以，，故.（2）解：若選①：，可得，由余弦定理可得，所以，，解得，因此，的周長為；若選②：因為，則為銳角，則，由正弦定理可得，所以，，，由正弦定理可得，得，因此，的周長為.19．某校為了提高學生安全意識，利用自習課時間開展“防溺水”安全知識競賽（滿分150分），加強對學生的安全教育，通過知識競賽的形式，不僅幫助同學們發現自己對“防溺水”知識認知的不足之處，還教會了同學們溺水自救的方法，提高了應急脫險能力．現抽取了甲組20名同學的成績記錄如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙組20名同學的成績，將成績分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五組，并畫出了其頻率分布直方圖．(1)根據以上記錄數據求甲組20名同學成績的中位數和第80百分位數；(2)估計乙組20名同學成績的平均分（同組中的每個數據用該組區間的中點值代表替）；(3)現從甲乙兩組同學的不低于140分的成績中任意取出2個人的成績，求取出的2個人的成績不在同一組的概率．【答案】(1)中位數是，第80百分位數為(2)(3)【分析】（1）利用中位數與第百分位數的定義即可求解；（2）利用在頻率分布直方圖中，平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和即可求解；（3）利用列舉法寫出基本事件的個數，結合古典概型的計算公式即可求解.【詳解】（1）由題意可知，甲組20名同學成績的中位數是，∵，∴甲組20名同學成績的第80百分位數為．所以甲組20名同學成績的中位數為119,甲組20名同學成績的第80百分位數為133.（2）由頻率分布直方圖可知：乙組20名同學成績的平均數分為：．（3）甲組20名同學的成績不低于140（分）的有2個，記作、；乙組20名同學的成績不低于140（分）的有個，記作、、．記事件為“取出的2個成績不是同一組”，任意選出2個成績的所有樣本點為：，，，，，，，，，，共10個，其中兩個成績不是同一組的樣本點是：，，，，，，共6個，∴．所以取出的2個人的成績不在同一組的概率為.20．如圖所示，正四棱錐中，O為底面正方形的中心，已知側面與底面所成的二面角的大小為60°，E是PB的中點．

(1)請在棱AB與BC上各找一點M和N，使平面∥平面，作出圖形并說明理由；(2)求異面直線與所成角的正切值．【答案】(1)作圖、理由見解析(2)【分析】（1）取,的中點,，連接,，可得平面，再利用面面平行的判定定理證明即可；（2）連接,，可得為異面直線與所成的角或其補角，計算即可；【詳解】（1）分別取,的中點,，連接,，

則平面平面，證明：在中，,分別為，的中點，所以，同理，，又平面，平面，所以平面，同理平面又平面，所以平面平面，（2）連接,，取中點為，連接,由于,由于底面，底面,，又因為，，，平面，所以平面,平面,故,故為側面與底面所成的二面角的平面角，故60°，不妨設底面正方形的邊長為，則，,

因為，所以為異面直線與所成的角或其補角，因為，，，,平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以，則異面直線與所成角的正切值為；21．為了美化環境，某公園欲將一塊空地規劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形．擬修建兩條小路AC，BD（路的寬度忽略不計），設∠BAD＝，(，)．（1）當cos＝時，求小路AC的長度；（2）當草坪ABCD的面積最大時，求此時小路BD的長度．【答案】（1）；（2）【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函數基本關系式可求sinθ，根據正弦定理可求sin∠ADB，進而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．（2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根據三角形面積公式，三角函數恒等變換的應用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），結合題意當θ﹣φ時，四邊形ABCD的面