第三章數學物理方程行波法與積分變換第1頁，課件共83頁，創作于2023年2月3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第2頁，課件共83頁，創作于2023年2月3.1一維波動方程的達朗貝爾公式考慮代換利用復合函數求導法則得第3頁，課件共83頁，創作于2023年2月3.1一維波動方程的達朗貝爾公式同理有:代入方程，得到第4頁，課件共83頁，創作于2023年2月在上式中對積分,得(是的任意可微函數)3.1一維波動方程的達朗貝爾公式再將此式對積分,其中

都是任意二次連續可微函數.第5頁，課件共83頁，創作于2023年2月利用初始條件，確定兩個函數的具體形式。由第二式得……………②……………①.............③其中3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第6頁，課件共83頁，創作于2023年2月由①,③解得代入通解表達式，得—達朗貝爾(D’Alembert)公式.3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第7頁，課件共83頁，創作于2023年2月圖3-1u2xt=0u2xu2xt=1/2u2xt=1t=2考慮的物理意義隨著時間t的推移u2的圖形以速度a

向x軸正向移動.3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第8頁，課件共83頁，創作于2023年2月物理意義:隨著時間t

的推移,的圖形以速度a

向x軸正方向移動,也就是說,它表示一個以速度a向x軸正方向行進的波,稱為右行波.同樣道理,以速度a向x軸負方向傳播的行波,稱為左行波.3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第9頁，課件共83頁，創作于2023年2月在平面上斜率為的兩族直線

,對一維波動方程的研究起到重要作用,稱這兩族直線為一維波動方程的特征線,變換稱為特征變換,行波法也叫特征線法.3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第10頁，課件共83頁，創作于2023年2月的積分曲線,這個常微分方程稱為它的特征方程

.一維波動方程的兩族特征線恰好是常微分方程3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第11頁，課件共83頁，創作于2023年2月一般的二階線性偏微分方程它的特征方程為(*)這個常微分方程的積分曲線稱為偏微分方程(*)的特征曲線.記稱其為二階線性偏微分方程的判別式雙曲型方程橢圓型方程拋物型方程3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第12頁，課件共83頁，創作于2023年2月可以證明，當時，有兩條相異的實特征線因此特征線法對雙曲型方程都是有效的，沿著特征線做自變量替換總可以把雙曲型方程化為

從而得到方程的通解3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第13頁，課件共83頁，創作于2023年2月例求下面問題的解:(3.1)解:特征方程兩族積分曲線為做特征變換3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第14頁，課件共83頁，創作于2023年2月3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第15頁，課件共83頁，創作于2023年2月代入方程化簡得:3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第16頁，課件共83頁，創作于2023年2月它的通解為其中,是兩個二次連續可微函數.于是原方程的通解為代入初始條件,，得第二式的兩端得關于積分得解得所求問題的解為3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第17頁，課件共83頁，創作于2023年2月解特征方程為特征曲線為例求方程的一般解.3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第18頁，課件共83頁，創作于2023年2月所以，做變換則原方程可以變為

其中,是任意的二次連續可微函數.于是，方程的通解為3.1一維波動方程的達朗貝爾公式第19頁，課件共83頁，創作于2023年2月3.2三維波動方程的泊松公式第20頁，課件共83頁，創作于2023年2月研究波在空間傳播問題.三維波動方程的初值問題第21頁，課件共83頁，創作于2023年2月一、球對稱情形球坐標系若僅是r的函數,則是r和t的函數,此時稱定解問題是球對稱的。第22頁，課件共83頁，創作于2023年2月直角坐標與球面坐標的關系坐標面分別為球面半平面錐面第23頁，課件共83頁，創作于2023年2月球對稱波動方程進一步有對球對稱問題第24頁，課件共83頁，創作于2023年2月球對稱情形下，三維波動方程邊值問題可化為這個問題我熟悉！第25頁，課件共83頁，創作于2023年2月由達朗貝爾公式第26頁，課件共83頁，創作于2023年2月二.一般情況令表示在球面上的平均值。其中M=M(x,y,z),是球面上的點,

第27頁，課件共83頁，創作于2023年2月二.一般情況令表示以M為中心的單位球面，表示上的面積元素，表示單位球面上的面積元素，第28頁，課件共83頁，創作于2023年2月即而以下推導所滿足方程及初始條件。第29頁，課件共83頁，創作于2023年2月3.2三維波動方程的泊松公式第30頁，課件共83頁，創作于2023年2月進一步有：兩邊關于r求導，得得由3.2三維波動方程的泊松公式第31頁，課件共83頁，創作于2023年2月即可得：由第32頁，課件共83頁，創作于2023年2月由初值條件和的表達式，有：其中分別是函數在上的球平均值。

滿足如下定解問題：第33頁，課件共83頁，創作于2023年2月方程的通解為利用初始條件有其中是兩個二次連續可微的任意函數第34頁，課件共83頁，創作于2023年2月所以解方程組得第35頁，課件共83頁，創作于2023年2月將延拓到r<0的范圍內。并且同理也是偶函數利用第36頁，課件共83頁，創作于2023年2月所以第37頁，課件共83頁，創作于2023年2月由于，只考慮的情形利用洛必達法則第38頁，課件共83頁，創作于2023年2月即簡記成三維波動方程的泊松公式第39頁，課件共83頁，創作于2023年2月三、泊松公式的物理意義從泊松公式出發，解釋波在三維空間的傳播現象.設且，

1.在任一固定點的振動情況設，由沿以M為中心，at為半徑的球面的曲面積分所決定。

第40頁，課件共83頁，創作于2023年2月M點處于靜止狀態，說明T的振動尚未達到M點。①當時，為空集，所以②當時，不為空集，所以M點處于振動狀態,表明T的振動已傳到M點。③當時，為空集，說明振動已傳過M點，M點仍回復到靜止狀態。

第41頁，課件共83頁，創作于2023年2月2.在某固定時刻，初始時刻的振動所傳播的范圍設，T

是半徑為R

的球體。由Poisson公式，只有與M相距為的點上的初始擾動能夠影響的值，故P點的初始擾動，在時刻只影響到以P為球心，以為半徑的球面當P在T內移動時，球面族的包絡面所圍成的區域即為T內各點的振動在

時刻所傳播的區域，稱為T在時刻的影響區域。第42頁，課件共83頁，創作于2023年2月總之，三維空間中有限區域T上的初始振動，有著清晰的前陣面和后陣面，對空間的任一點，振動傳過后，仍回復到平衡狀態，這種只在有限時間內引起振動的現象稱為Huygens原理。

在足夠大時，包絡面以T的心o(T)為心，分別以和為半徑的球面所夾部分。故時刻的影響區域為

的球殼，球面是振動到來的前峰，稱為波的前陣面,球面是振動傳過后的后沿，稱為波的后陣面。第43頁，課件共83頁，創作于2023年2月R第44頁，課件共83頁，創作于2023年2月[解]

例.設已知三維波動問題中的初位移，初速度分別為：,求解相應的Cauchy問題。第45頁，課件共83頁，創作于2023年2月三.降維法及二維波動方程考慮二維波動方程的初值問題設解為,令，則第46頁，課件共83頁，創作于2023年2月由泊松公式球面在平面上投影為

設其上面積微元為，則由投影關系有：其中v表示dS的單位法向量與之夾角，又上、下兩球面的投影有對稱關系，故柱面波第47頁，課件共83頁，創作于2023年2月3.3積分變換法第48頁，課件共83頁，創作于2023年2月3.3積分變換法

常見的兩種積分變換---傅立葉變換---拉普拉斯變換.

第49頁，課件共83頁，創作于2023年2月如果滿足上面的條件，我們可以定義傅立葉逆變換為:如果函數在上絕對可積，它的傅立葉變換定義如下有時把記為。一.傅立葉變換反演公式3.3積分變換法第50頁，課件共83頁，創作于2023年2月傅立葉變換的性質:1）線性性質設f,g是絕對可積函數，是任意復常數，則2）微分性質設f,絕對可積函數，則3）乘多項式設f,

xf絕對可積，則3.3積分變換法第51頁，課件共83頁，創作于2023年2月4）伸縮性質設f(x)

絕對可積，則6）卷積性質設f,g

是絕對可積函數，令則5）平移性質設f(x)

絕對可積，則3.3積分變換法第52頁，課件共83頁，創作于2023年2月例用積分變換法解方程：解：作關于x

的傅立葉變換,方程可變為設3.3積分變換法第53頁，課件共83頁，創作于2023年2月可解得由于即則3.3積分變換法第54頁，課件共83頁，創作于2023年2月從而方程的解3.3積分變換法第55頁，課件共83頁，創作于2023年2月例用積分變換法解方程解：作關于的傅立葉變換。設方程變為3.3積分變換法用常數變易法可解得而則第56頁，課件共83頁，創作于2023年2月3.3積分變換法利用反演公式有第57頁，課件共83頁，創作于2023年2月3.3積分變換法第58頁，課件共83頁，創作于2023年2月例用積分變換法求解初值問題：解：作關于x

的傅立葉變換。設3.3積分變換法第59頁，課件共83頁，創作于2023年2月于是原方程變為滿足初始條件3.3積分變換法第60頁，課件共83頁，創作于2023年2月齊次方程的解設非齊次方程的解為3.3積分變換法第61頁，課件共83頁，創作于2023年2月令則3.3積分變換法第62頁，課件共83頁，創作于2023年2月代入方程得3.3積分變換法第63頁，課件共83頁，創作于2023年2月積分3.3積分變換法方程通解為由初始條件取傅立葉逆變換，得其中的傅立葉變換.是而所以取傅立葉逆變換，得第64頁，課件共83頁，創作于2023年2月3.3積分變換法第65頁，課件共83頁，創作于2023年2月傅立葉逆變換是一種把分析運算化為代數運算的有效方法,但1.傅立葉變換要求原象函數在R上絕對可積,大部分函數不能作傅立葉變換2.傅立葉變換要求函數在整個數軸上有定義,研究混合問題時失效.3.3積分變換法第66頁，課件共83頁，創作于2023年2月二.拉普拉斯變換定義:f(t)定義在上，若其滿足下列條件f(t)分段光滑；存在常數M和使得則稱f(t)為初始函數,稱為f(t)的增長指數.反例3.3積分變換法第67頁，課件共83頁，創作于2023年2月定理:設f(t)是一以為增長指數的初始函數,則經變換得到的函數F(p)是上的解析函數.上述變換稱為拉普拉斯變換3.3積分變換法第68頁，課件共83頁，創作于2023年2月例

3.3積分變換法第69頁，課件共83頁，創作于2023年2月反演公式：在f(t)

的每一個連續點均有其中，3.3積分變換法第70頁，課件共83頁，創作于2023年2月基本性質:1）線性性質設f,g

的拉普拉斯變換分別為L(

f),L(g

),是任意復常數，則

2）微分性質假設,則3.3積分變換法第71頁，課件共83頁，創作于2023年2月6）卷積性質定義4）延遲性質5）伸縮性質則3）積分性質3.3積分變換法第72頁，課件共83頁，創作于2023年2月例設求解常微分方程的初值問題解對進行拉普拉斯變換,設,則3.3積分變換法第73頁，課件共83頁，創作于2023年2月于是原方程變為由上式得:對進行拉普拉斯逆變換,得3.3積分變換法第74頁，課件共83頁，創作于2023年2月解問題歸結為求解下列定解問題:例一條半無限長的桿，端點溫度變化已知，桿的初始溫度為0，求桿上溫度分布規律。3.3積分變換法對t進行拉普拉斯變換怎么變換？為什么？知道的值了第75頁