2021屆陜西省寶雞市高考數(shù)學(xué)大聯(lián)考試卷(文科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.設(shè)集合A=口氏2一2刀一3W0},集合B={x|_T_w0},如果4全肥=()

安一鳴

A.{%|-1<x<0}B.{x|0<%<2}

C.{x|0<x<2]D.{x|0<x<1}

2.學(xué)=()

1-L'/

A.2+3iB.3+3iC.2-3tD.3-3i

3.某校有學(xué)生800人，其中女生有350人，為了解該校學(xué)生的體育鍛煉情況，按男、女學(xué)生采用

分層抽樣法抽取容量為80的樣本，則男生抽取的人數(shù)是()

A.35B.40C.45D.60

4.若雙曲線C：2/-y2=7n(巾>0)與拋物線y2=16%的準(zhǔn)線交于a,B兩點(diǎn)，且|4B|=4遮，則

m的值是

A.116B.80C.52D.20

5.函數(shù)0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2個(gè)B.1個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

6.函數(shù)/'(x)=xsinx,若a、6€[-](],且/(a)>『(0),則以下結(jié)論正確的是()

A.a>夕B.a<0C.|?|<\P\D.回>|0|

7.設(shè)函數(shù)/(無)=cosx+bsinx(b為常數(shù))，貝ij"b=0”是“/(x)為偶函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.兩非零向量五，方滿足：|五|=|石|,且對(duì)任意的％6凡都有|石+萬肉2出一:中，若|菊=2|七,

0<A<1,貝U\"ac|c—Aa—(1—A)b|的取值范圍是()

A.[|(V3-l),i(V3+l)]B.[|(V3-1),1)

C.[|(V3-1),2]D.[1,1(V3+1)]

9.若曲線犀=力的一條切線F與直線￡升4展-囑=做垂直，則出的方程為()

A.斗然一般-3?二闞B.富平4好一!§=物C,硯黑一加#⑤=蒯D.點(diǎn)出4胖樸整二頒

儼+y—6W0

10.設(shè)x,y滿足不等式組2%—y-lW0,則z=-x+y的最大值為（）

（3%—y-2>0

OB4C2D3

A.3-

11.己知拋物線M：y2=4x,圓M0-1)2+72="(其中廠為常數(shù)，且「＞0),過點(diǎn)QQ)的直

線/交圓N于C、O兩點(diǎn)，交拋物線M于4、8兩點(diǎn)，若使|4C|=|BD|成立的直線有3條，則r

的取值范圍是()

A.(0.1)B.(1,2)C.(2,+8)D.(￡+8)

12,數(shù)列0的首項(xiàng)為3,0為等差數(shù)列且岡，若岡，岡，則區(qū)()

A.0B.3C.8D.11

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若三。eR,使s譏。21成立，則cos(O-g)的值為.

O

14.若等差數(shù)列眼咽的前5項(xiàng)和用=徵,且被=勃，則啊=_.

15.如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖相同，該幾何體的體積為______.A丁

/\J3

JI

-_￡

正視圖

h-2-H

俯視圖

16.已知拋物線Cy2=4x,其焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線為/,P為拋物線。上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)尸作/

的垂線，垂足為Q.當(dāng)?shù)闹荛L為12時(shí)、aPF。的面積為.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.在448c中，角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c.且滿足(2Q-c)cosB=bcosC,siM力=sin2B+

sin2C-XsinBsinC.(Ae/?).

(1)求角8的大小；

(n)若a=V3.求角c；

(m)如果A/IBC為鈍角三角形，求;I的范圍.

18.某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出20名學(xué)生，將其成績(均為整數(shù))分成六段［40,50),

［50,60)...［90,100］,然后畫出如下所示頻率分布直方圖，但是缺失了第四組［70,80)的信息.觀

察圖形的信息，回答下列問題.

⑴求第四組［70,80)的頻率；

(2)從成績是［50,60)和［60,70)的兩段學(xué)生中任意選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率.

19.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，△PAD為等邊三角形，

且平面PAD，平面ABC。，E,尸分別為尸C和8。的中點(diǎn).

(I)證明：EF〃平面PAD；

(口)證明：平面PDC1平面P4。；

(ID)若矩形A8C。的周長為6,設(shè)AD=x,當(dāng)x為何值時(shí)，四棱錐P-

ABCD的體積最大？

20.已知橢圓C今+《=l(a>b>0),兩個(gè)焦點(diǎn)為a(-2,0),F2(2,0),P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且向

量麗?配的最大值為2.

(1)求橢圓方程；

(2)過左焦點(diǎn)的直線/交橢圓C與何、N兩點(diǎn)，且滿足而?而sin。=竽的火。朽)，求直線/的

方程(其中NMON=8,。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

21.利用定義判斷并證明f(x)=2x3+1在R上的單調(diào)性.

22.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是p-6cos0+2sin0+E=0,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸

為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/經(jīng)過點(diǎn)P(3,3),傾斜

角aW

(1)寫出曲線C直角坐標(biāo)方程；

(2)寫出直線/的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程.

23.已知函數(shù)/'(x)=+1|,g(x)=/(x)+|x-1|>b>-1.

(1)解不等式/(乃2|2%-3|+1；

(口)若函數(shù)g(x)的最小值是a,求證：b3-b2-b>-l，

【答案與解析】

1.答案：B

解析：試題分析：段=都：|4-fe-哪=旨目-工工案士國，嬴=j笳|

二，腐=|[?；jffl<富3：疑

考點(diǎn)：集合的交集運(yùn)算

點(diǎn)評(píng)：兩集合的交集是由兩集合的相同的元素構(gòu)成的集合，求集合的交并補(bǔ)運(yùn)算常借助于數(shù)軸

2.答案：A

解析：

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.

hji5+i(5+i)(l+i)4+6i_

解：H一碼由一丁一92+3I.

故選：A.

3.答案：C

解析：解：某校有學(xué)生800人，其中女生有350人，為了解該校學(xué)生的體育鍛煉情況，

按男、女學(xué)生采用分層抽樣法抽取容量為80的樣本，

則男生抽取的人數(shù)是80x華咨=45,

800

故選：C.

用樣本容量乘以男生所占的比列，即為所求.

本題主要考查分層抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案：D

解析：

求出y2=16x的準(zhǔn)線/：x=-4,由C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A,8兩點(diǎn)，且|AB|=4K，即

可求出m的值.

本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

解：y2=16x的準(zhǔn)線I：x=—4,

???C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線/：尤=-4交于A,8兩點(diǎn)，\AB\=473,

二4(一4,2回，B(_4,_2?

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得2(-4)2-(2次A=m,

:.m=20,

故選o.

5.答案：D

解析：試題分析：由回，解得國，由岡，解得區(qū)或回，故有三個(gè)零點(diǎn).

考點(diǎn)：分段函數(shù)零點(diǎn)問題.

6.答案：D

解析：解："/(%)=xsinx,

-x)=/(x),

???/(團(tuán))=/(%)，

不妨令0<x<^,則/''(X)=sinx+xcosx>0,

???/(x)=xsinx在［0,習(xí)上單調(diào)遞增；

⑹，f(|a|)=〃a),/⑹=>(|夕|)，

???/(|?|)>/(網(wǎng))，由/(X)=XS譏%在［0于上單調(diào)遞增得：

故選。.

/(%)=xsinx,=f(—x)=f(x)Qf(|x|)=f(x)，可令OWxW］,/z(x)=sinx+xcosx>0,=>

f(x)=xsinx在［0苧上單調(diào)遞增，由/"(a)>f(0)=f(|a|)>/(網(wǎng))即可得答案.

本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，難點(diǎn)在于討論f(x)=xsinx在［0,自上的單調(diào)性，考查學(xué)生綜合分

析與應(yīng)用的能力，屬于難題.

7.答案：C

解析：

本題考查命題真假的判斷，考查函數(shù)的奇偶性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

“b=0"="/(x)為偶函數(shù)”，為偶函數(shù)”="b=0”，由此能求出結(jié)果.

解：設(shè)函數(shù)/(%)=cosx+bs譏為常數(shù))，

若b—0,/(%)—cosx,

則“b=0"=>"f(x)為偶函數(shù)”，

若/(x)為偶函數(shù)，/(-x)=/(x),

BPcos(-x)+bsin(—%)=cosx—bsinx=cosx+bsinx,所以b=0,

則“f。)為偶函數(shù)”="b=0”，

則“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的充分必要條件.

故選C.

8.答案：B

解析:解:對(duì)任意的X6R,都有I石+工相>|萬一:引，即有(石+x五)2>

(b-^a)2,

EP^Jb2+2xa-b+x2a2>b2-a-b+-CL'>

4

2

由|||=|弓|,可得/五2+2xa-b-ba-b-^a>。恒成立，

可得4@另)2-422.(無不一打)工0,。為落方的夾角)，

即為|414.cos2。一團(tuán)4.gse+i|3|4<0,

即有(cos。—|)2<0,(cosO—|)2>0,

可得cos。=gsind=—>

22

可設(shè)|磯==2，|c|=1,

設(shè)了？=五=(2,0),OB=b=(1,V3)-OC=c，C在單位圓上運(yùn)動(dòng)，

由麗=2a+(l-/l)3可得P在線段AB上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn))，

直線AB的方程為y-0=-V3(x-2).

即為遮x+y-2百=0.

由原點(diǎn)到直線AB的距離為學(xué)型=V3,

即有單位圓上的點(diǎn)到線段AB的距離的最小值為8-1，

則\"@可下一a五一(1—A)K|=及『。!的最小值為：(遮—1),

而空如=匕

回2

\frac\c—Aa—(1—A)b|的取值范圍是g(遮—

故選：B.

由向量的平方即為模的平方，化簡整理可得/a2+2xa-b+a-b-^a2>0恒成立，可得40.b)2-

4a2.(a-K-ia2)<0,(6為五，石的夾角)，即有(cos。-140,可得cos。=%sin。=圣可設(shè)

|a|=|b|=2.\c\=1,設(shè)瓦？=五=(2,0)，OB=b=(1.V3).OC=c，C在單位圓上運(yùn)動(dòng)，由前=

4萬+(1-4)方可得戶在線段48上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn))，求出48的方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得

。到AB的距離，即可得到所求最值和范圍.

本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)用，注意運(yùn)用性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，考查恒成立思想轉(zhuǎn)化為二

次不等式恒成立問題的解法，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題.

9.答案：A

解析：試題分析：欲求/的方程，根據(jù)已知條件中：“切線/與直線x+4y-8=0垂直”可得出切

線的斜率，故只須求出切點(diǎn)的坐標(biāo)即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾

何意義即可求出切點(diǎn)坐標(biāo).從而問題解決.解：4乂一)/-3=0與直線》+4丫-8=0垂直的直線/

與為：4x—y+m=0,即y=在某—?點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4,而y'=4x3,二y=爐在處導(dǎo)數(shù)為%

故方程為4尤—y—3=0,選A.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題

本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用z的幾何意義是解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵，注意利用數(shù)形

結(jié)合來解決.

11.答案：C

解析：解：①當(dāng)，軸時(shí)，由對(duì)稱性可知|4C|=|BD|,符合

題意；

②當(dāng)/不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線/：x=my4-1,

把％=my+1代入拋物線方程y?=4%得：y2—4my—4=0,

△=16(m24-1)>0,

?2

把％=my+1代入圓的方程。-I)2+y2=產(chǎn)得：y2=—,

設(shè)4(%i，yi),S(x2,y2),C(x3,y3)?。(%4，%)，

v\AC\=\BD\,

???yi-丫3=丫2-丫4，即丫1一丫2=丫3一%，

???可病+1=焉'

???r—2(m2+1)>2.

故選C.

討論直線/與x軸垂直的情況，設(shè)直線方程為*=my+l(m中0),分別與拋物線方程和圓的方程聯(lián)

立方程組，根據(jù)|4C|=|BD|列方程，得出，?關(guān)于，”的表達(dá)式，從而得出，?的范圍.

本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想，求得r=2(m2+1)是關(guān)

鍵，考查綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.答案：B

解析：試題分析：因?yàn)镾為等差數(shù)列，設(shè)其公差為回，由國，S

□□

S

□

又□

所以，□.故選艮

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式.

13.答案：|

解析：解：???B9ER,使sin。>1成立，

??.sind=1,則cos。=0,

貝ijcos(8—-)=cosdcos-+sindsin-=

6662

故答案為：I

根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出。的值，利用兩角和差的余弦公式即可得到結(jié)論.

本題主要考查三角函數(shù)化簡求值，利用兩角和差的余弦公式是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).

14.答案：13

解析：試題分析：因?yàn)轲?徽，且雁=耨，所以，憾簧I：喊:=唯魯=線,=幻公差d=—2,

%=%*第一饗四=普#蹴瀚=13.

考點(diǎn)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：簡單題，在等差數(shù)列中，，例樣蹈=顰招薪,則:魄^魄二羯小吟。

15.答案：亙上兀

3

解析：

本題考查大概視圖及球與圓錐體積的求解，由三視圖知，該幾何體為一個(gè)半球與一個(gè)圓錐組成，結(jié)

合體積公式即可求解.

解：由三視圖知，該幾何體為一個(gè)半球與一個(gè)圓錐組成，

其中，球的半徑為1,圓錐的高為百，

22

所以該幾何體的體積為U=-X-X7TXl4--X7rXlXV3=8+27r.

2333

故答案為回小

3

16.答案：4V3

解析：解：由y2=4x得焦點(diǎn)尸(1,0),準(zhǔn)線/：%=-1.如圖所示，當(dāng)?shù)闹荛L為12時(shí),

設(shè)|PQ|=\PF\=a,由拋物線性質(zhì)知a>1,

???P(a-1,2VO^T),<2(-1,2VO^T).

\QF\=J4+(2Va^I)2=2y[a-

??,△PFQ的周長為12,2a+2VH=12,解得Q=4.

\QF\=4,/.△PFQ是邊長為4的等邊三角形.

PFQ的面積為:—x42=4遮.

4

故答案為：4A/3.

設(shè)|PQ|=Q,用。表示出P,。的坐標(biāo)，根據(jù)aP/Q的周長為12,求得小判斷APFQ的形狀，進(jìn)而

求^PFQ的面積.

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力，是中檔題.

17.答案：解：(I)由(2。—c)cosB=bcosC得,(2s出4—sinC)cosB=sinBcosC,

整理得：2si九4cosB=sin(B+C)=sinA.

vsinAHO,二cosB=7,

2

BG(0,?r),?**B=p

(口)由5而4=sin2B+sin2c-AsinBsinC,(AG/?),得：a2=b24-c2—Ahc,

,b2+c2-a2Ay/3

???COSA=--------------=-=—

2bc22

???A=g

6

則c=p

(in)由(n)知，COSA=-+^2=|>

如果角A為鈍角，即/<A<*則有—[<；<(),

解得：—1va<o；

如果角C為鈍角，0<4<3則有更<4<1,

622

解得：A/3<A<2>

綜上，Ae（-1,0）U（V3,2）.

解析：（I）已知第一個(gè)等式利用正弦定理化簡，整理后根據(jù)sinA不為0求出cosB的值，即可確定出

角3的大小；

（H）已知第二個(gè)等式利用正弦定理化簡得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出COSA,把得出關(guān)系式及;1=

百代入求出cosA的值，即可確定出角C；

（HI）表示出cosA,由三角形為鈍角三角形，分A為鈍角與C為鈍角兩種情況求出；I的范圍即可.

此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.

18.答案：解：（1）因?yàn)楦鹘M的頻率之和等于1,故第四組的頻率為p=1-10X（0.025+0.015x2+

0.01+0.05）=0.3；...（6分）

（2）分?jǐn)?shù)在“50,60）,[60,70）”的人數(shù)分另IJ為3,3；…（7分）

記[50,60）中的3人為%,a?,。3,[60,70）中的3位學(xué)生為仇，b2b3,從中選兩人共有15種結(jié)果，...（10

分）

他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段有3+3=6種，…（12分）

他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率P=尚=>..（13分）

解析：（1）由各組的頻率和等于1,由此利用頻率分布直方圖能求出第四組的頻率.

（2）這是一個(gè)古典概型，分別求出總事件和基本事件的個(gè)數(shù)，然后求比值即可.

本題考查頻率的求法，概率的計(jì)算是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的合理運(yùn)用.

19.答案：（/）證明：連接AC,

???四邊形A8CD是矩形，尸是50的中點(diǎn)，二F是AC的中點(diǎn)

EF//PA,又EFC平面PA。，PAu平面PAD,

EF〃平面PAD.

（〃）證明：?.?平面P40_L平面4BCD,且平面PADn平面力BCD=AD,

CD1AD,

CD_L平面PAD,又CDu平面PDC,

平面PCD_L平面PAD.

（/〃）解：取A。的中點(diǎn)M,連接PM,

PA=PD,:.PM1AD,

又平面24。1■平面力BCD,且平面PADn平面力BCD=AD,

???PM1平面ABCD.

vAD=%,???AB=3-x(0<%<3),PM=

???四棱錐P—ABCD的體積為卜=-x(3—%)-=—(3x2—x3)(0<x<3)，

326

Kz=^(6x-3x2)，

令片=0,得x=2或x=0(舍)，

當(dāng)xe(0,2)時(shí)片>0,當(dāng)x€(2,3)時(shí)V'<0,

???當(dāng)x=2時(shí)丫取得最大值獨(dú).

3

解析：(/)連接AC,根據(jù)中位線定理可得EF〃PA,故而EF〃平面PA。；

(〃)由CD1/W及平面PAD1平面ABCD可得CD1平面PAD,故而平面PDC1平面PAD；

(/〃)取A。的中點(diǎn)M,連接尸M,則PM1平面A8CD,用x表示出?例，AB,得出體積V關(guān)于x的函

數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得出體積V的最大值.

本題考查了線面平行，面面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題.

20.答案：解：⑴???橢圓C：捺+3=l(a>b>0),兩個(gè)焦點(diǎn)為尸式-2,0),F2(2,0),P是橢圓上的

動(dòng)點(diǎn)，且向量麗??布的最大值為2

c=2

a2=b2+c2,

.(a+c)(a-c)=2

解得c=2,a2=6,b2=2,

故橢圓c的方程為江+^=1.

62

(2)當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線，l的方程為y=/c(x+2),代入橢圓C的方程式+g=l,并整理得：

62

(3/c2+l)x2+12k2x+12k2-6=0,

設(shè)N(x2,y2)

則與+X2=一費(fèi)g，X62=答窘，

222

\MN\=V1+k■|xj-x2\=V1+k-yj(xx+x2)-4x^2=之'；：；：：),

坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線I的距離d=舞.

■■■OM-ONsin9=竽cos8（0豐彳）,

,e_巫

??>AMON—

c1......,12V6(1+/C2)\2k\2V6

???S^MON=-MNd=-x-——-x-7=!==—,

△MON21123k2+lVJ+k?3

解得k=±苧此時(shí)直線/的方程為y=±苧(x+2)

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=-2

此時(shí)點(diǎn)M(—2,,N(—2,一凈,滿足SAMON=乎，

綜上得，直線/的方程為％=-2或丫=±?(%+2).

解析：(1)由橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)為&(—2,0),F2(2,0),P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且向量而?熾的最大值為2,

列出方程組求出mb,由此能求出橢圓C的方程.

(2)當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線k的方程為y=fc(x+2),代入橢圓C的方程應(yīng)+《=1,得(3/+

62

l)x2+12fc2x+12k2-6=0,由此利用韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式、正弦定理能求

出直線/;直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=-2.由此能求出結(jié)果.

本題考查橢圓方程、直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長公式、

點(diǎn)到直線距離公式、正弦定理、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用.

21.答案：證明：任取%1<%2，則/(%1)-/(%2)=2(%1-％2)(優(yōu)++X分，

<%2，,,,—%2<0，Xj+X1尤2+好=("1+