教案教學基本信息課題分層隨機抽樣學科數學學段：高中年級高一教材書名：普通高中教科書數學必修第二冊A版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年8月教學設計參與人員姓名單位設計者李玲北京理工大學附屬中學通州校區實施者李玲北京理工大學附屬中學通州校區指導者王學一北京市通州區教育研修學院課件制作者李玲北京理工大學附屬中學通州校區其他參與者康杰北京市基教研中心教學目標及教學重點、難點一、教學目標1.理解分層隨機抽樣的概念，了解分層隨機抽樣的特點、適用范圍和必要性;掌握各層樣本量比例分配的方法，會用分層抽樣得到的樣本均值估計總體均值。2.在課程中引導學生理解抽樣方法的多樣性，能夠根據實際問題的需求，選擇恰當的抽樣方法獲取樣本數據；3.關注學生統計觀念的形成，強化抽樣思想，和用樣本估計總體的思想。二、重難點重點：分層隨機抽樣的特點、適用范圍和步驟；難點：比例分配分層隨機抽樣中，用樣本均值估計總體均值。教學過程(表格描述)教學環節主要教學活動設置意圖引入一、復習回顧抽樣調查是獲取統計數據的重要途徑。在抽樣調查中，根據一定的目的，從總體中抽取一部分個體進行調查，并以此為依據，對總體的情況進行估計和推斷。我們學習了一種基本的抽樣方法——簡單隨機抽樣，這種方法簡單，直觀，是很多抽樣方法的基礎。并且，可以用樣本均值估計總體均值.為了獲得較好的估計效果，樣本的代表性是抽樣調查的核心問題。二、問題情境樹人中學高一年級有712名學生，為調查其平均身高，用簡單隨機抽樣的方法，從高一年級學生中，抽取一個樣本量為50的樣本。樣本的身高變量值（單位：cm）如下：可以計算出，樣本均值為162.72．可以估計：樹人中學高一年級學生的平均身高為162.72cm．復習簡單隨機抽樣，強調“樣本的代表性”。通過簡單隨機抽樣的具體數據，回顧簡單隨機抽樣中用樣本均值估計總體均值的方法，為本節課做鋪墊。同時，創設本節課的問題情境。新課為了考查簡單隨機抽樣的估計效果，從樹人中學醫務室得到了高一年級學生身高的所有數據．計算得出，高一年級學生的平均身高為165.0cm．問題1：為什么樣本平均數大幅度地偏離了總體平均數？問題2：為什么運用簡單隨機抽樣獲取的樣本中，會出現“極端”樣本？（1）高一年級學生的身高差異較大;（2）樣本抽取的隨機性．簡單隨機抽樣存在不足，需要進行改進.問題3：在樣本量相同且樣本量不大時，你認為總體中個體差異的大小對估計效果有什么影響？從以上兩個總體中，分別抽取一個個體，來估計總體的平均長度，總體1效果好在樣本量相同且樣本量不大時，總體中的個體差異越小，用樣本均值估計總體均值的效果越好．因此，減少總體中個體之間的差異，能夠減少“極端樣本”的出現，提高樣本的代表性和估計效果，也是改進抽樣方法的思路。方法：（1）將總體劃分為若干組，相近的樣本劃分為同一組;（2）在每一組中進行簡單隨機抽樣;（3）匯總，得到樣本.樣本在各個組中都有代表，減少了“極端樣本”的出現，樣本具有更好的代表性。問題4：通過哪些信息對學生分組，可以使得同組的學生身高差異較小呢？年齡、性別…（1）高一年級的學生年齡差異不大，年齡對身高影響不大;（2）性別和身高存在密切相關，很明顯，高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性別的身高差異相對較小。因此，我們可以把高一年級學生分成男生、女生兩組，再對男生、女生分別進行簡單隨機抽樣。在樹人中學高一年級的712名學生中，男生有326名、女生有386名，抽取一個容量為50的樣本．思考：樣本量在男生、女生中如何分配？方案一：按男生、女生在全體學生中所占的比例分配．每個學生被抽到的可能性都相等．方案二：等額分配.男生、女生被抽到的可能性不都相等.從樣本的結構上分析，方案一，根據總體中男女生比例抽取，得到的樣本結構與總體更相近。因此，按比例分配是一種比較合理的方式。n從男女生中分別用簡單隨機抽樣，抽取23人和27人，匯總，就可以得到樣本量為50的樣本。回顧以上的抽樣方法，歸納其操作步驟。（1）把高一學生分為男生、女生兩個有明顯差異的組；（子總體）組內個體差異小、組間個體差異大（2）在每一個組中，分別進行簡單隨機抽樣；（3）把兩個組中抽取的樣本匯總，作為總樣本．三、分層隨機抽樣的定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣.每一個子總體稱為層.注意：（1）每個個體屬于且僅屬于一個子總體，也就是各層互不相交。（2）在每層中獨立地進行簡單隨機抽樣，因此，簡單隨機抽樣是分層隨機抽樣的基礎。（3）組、子總體也稱為層。1.分層隨機抽樣的特點：（1）適用范圍：總體中個體差異較大．（2）目的：減少“極端”樣本的出現，使樣本具有更好的代表性．2.分層隨機抽樣的一般步驟：（1）分層：根據已掌握信息，將總體分成互不相交的層；（2）定量：計算各層中抽取的個體數；（比例分配）（3）抽樣：在各層中，用簡單隨機抽樣方法抽取個體，合在一起作為總樣本．接下來，我們來進一步認識比例分配。比例分配，按各層在總體中所占的比例分配樣本量。每層樣本量=各層樣本量同時，我們也可以將“該層個體數”移到等式左邊，得到：每層樣本量即：每層的樣本量與各層的大小成比例。四、比例分配：在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．總樣本量比例分配的分層隨機抽樣的一般步驟：總體子總體樣本例1在下面的問題中，選擇合適的抽樣方法抽取樣本．（1）在某廠生產的20輛汽車中抽取4輛進行質量檢驗；（總體中個體較少，無明顯差異——簡單隨機抽樣）（2）已知學校教職工中，不到35歲的有80人，35到49歲的有70人，50歲以上的有50人，為了了解學校教職工的身體健康狀況，從中抽取20人進行調查．（總體有差異明顯的幾部分組成——分層隨機抽樣）例2為了調查老師對統計軟件的了解程度，某市采用分層隨機抽樣的方法，從A、B、C三所學校抽取60名教師進行調查，已知A、B、C三所學校分別有180、270、90名教師，如果樣本按比例分配，求A、B、C學校分別應抽取的教師人數．方法一：按各層在總體中所占的比例分配樣本量。解：A學校抽取的教師人數為：180540B學校抽取的教師人數為：270540C學校抽取的教師人數為：90540方法二：比例分配中，各層樣本量與層的大小,成比例。解：A學校抽取的教師人數為：60540B學校抽取的教師人數為：60540C學校抽取的教師人數為：60540反思：整理本題中，每個學校的教師人數和樣本量，觀察，有什么特點？三個學校的教師人數之比，樣本量之比，都是2:3:1也就是說：各層抽取的樣本量之比=總體中各層個體數之比所以，按比例分配的分層隨機抽樣，得到的樣本結構與總體結構相近。歸納：比例分配的分層隨機抽樣具有以下特點：（1）各層樣本量=該層個體數總體的個體數（2）每個個體被抽到的可能性相等；每層樣本量（3）各層抽取的樣本量之比等于總體中各層個體數之比。例3某集團有甲、乙、丙三個分公司，甲公司有員工500名，乙公司有員工800名，丙公司有員工300名．為了了解集團員工對企業改革的態度，用分層隨機抽樣抽取若干名員工進行訪談．若樣本按比例分配，甲公司抽取了10名員工.求乙公司和丙公司抽取的員工數．方法一：各層樣本量解：設乙、丙公司抽取的員工數分別為x、y.10乙、丙公司抽取的員工數分別為16、6．方法二:各層抽取的樣本量之比=總體中各層個體數之比．解：設乙、丙公司抽取的員工數分別為x、y.10:x:y=500:800:300乙、丙公司抽取的員工數分別為16、6．例4按比例分配分層隨機抽樣的方法，得到樹人中學高一年級容量為50的樣本數據（單位：cm）：男生：女生：（1）估計高一年級男生的平均身高．170.6cm（2）估計高一年級女生的平均身高．160.6cm（3）估計高一年級學生的平均身高．（4）計算男、女生的總樣本平均數．三、用樣本均值估計總體均值問題5：分層隨機抽樣中，是否可以直接用樣本平均值估計總體平均值？為什么？包含的個體數各個個體的變量值抽取的樣本量樣本的各個個體變量值第1層MXmx第2層NYny（1）求樣本平均數：第1層的樣本平均數：第2層的樣本平均數：總體的樣本平均數為：（2）求總體平均數：第1層的總體平均數：第2層的總體平均數：總體平均數為：在每層的簡單隨機抽樣中，可以用x估計X；可以用y估計Y;可以用MM+N思考：與樣本平均數對比，它們有什么關系？x系數不同，y系數也不同。在比例分配的分層隨機抽樣中，MM+N可以直接用樣本平均數估計總體平均數.四、估計效果用比例分配的分層隨機抽樣方法，從高一年級的學生中抽取了10個樣本量為50的樣本，計算出樣本平均數．注：黃線表示高一年級全體學生身高的平均數．問題6：(1)觀察平均數的圖形表示，你有怎樣的發現？(2)與上一節相同樣本量的簡單隨機抽樣的結果比較,你有什么發現？結論：（1）與簡單隨機抽樣的結果比較，分層隨機抽樣并沒有明顯優于簡單隨機抽樣；（2）分層隨機抽樣的樣本平均數更均勻，簡單隨機抽樣中出現比較“極端”的樣本，而分層隨機抽樣中幾乎沒有出現；（3）在個體之間差異較大時，只要選取的分層變量合適，分層隨機抽樣的效果一般會好于簡單隨機抽樣樣．并且，分層隨機抽樣時，不僅能得到總體的估計，還能得到每層的估計。通過樣本均值估計的平均身高，與實際平均身高的對比，引導學生觀察數據，分析原因，培養學生的數據分析素養。引導學生發現“極端”樣本對估計效果的影響，體會樣本的隨機性、改進抽樣方法的必要性。在對比中，發現總體中個體差異，對估計效果的影響，形成改進抽樣方法的思路。初步體會分組方法。引導學生借助輔助變量劃分總體，體會分層的方法。引導學生合理分配樣本量，體會等比例分配中，每個個體被抽到的可能性相等，樣本結構與總體結構相近。引導學習回顧新方法的在步驟，歸納分層隨機抽樣的定義。分析分層隨機抽樣的特點強調分層隨機抽樣的一般步驟從比例分配的特點中分析，形成比例分配的定義用圖示，強調比例分配的分層隨機抽樣的一般步驟。通過具體問題，感受兩種抽樣方法的適用范圍，培養學生的抽樣思想。通過問題解決，體會樣本量比例分配的方法。通過例題再次分析，強調比例分配的分層抽樣中，每個個體被抽中的可能性相等，樣本結構與總體結構一致。歸納比例分配的分層隨機抽樣的特點。靈活應用比例分配的分層隨機抽樣的特點解題，鞏固知識和方法。每一層的樣本數據都由簡單隨機抽樣得到，直接用樣本均值估計總體均值。發現總樣本均值和總體均值的一致，引導學生發現規律，探究規律的證明，提升學生用樣本估計總體的意識。引導學生完成探究，提升學生的數據分析、邏輯推理的學科素養。引導學生應用簡單隨機抽樣中均值關系，及比例分配的特點，進行等價轉化，實現證明，體會比例分層隨機抽樣、簡單隨機抽樣中，蘊含的用樣本均值估計總體均值的思想。引導學生觀察圖象，認識到樣本的隨機。正確認識分層隨機抽樣和簡單隨機抽樣的特點和估計效果，在理解樣本隨機性的基礎上，正確評價抽樣方法，并能夠根據問題特點選擇抽樣方法，培養學生的抽樣思想和用樣本估計總體的意識。例題五、例題鞏固例5比例分配的分層隨機抽樣中，總體分為2層，第1層的樣本量為20，樣本平均數為3，第2層的樣本量為30，樣本平均數為8，請估計該總體的平均數．解：由樣本平均數可以估計該總體的平均數為6通過例題，鞏固比例分配的分層隨機抽樣中，用樣本均值估計總體均值的方法。總結六、反思收獲1.分層隨機抽樣的步驟：（1）分層：（2）定量：一般采用比例分配每層樣本量（3）抽樣：2.分層隨機抽樣的特點：（1）適合于個體差異也較大的情形；（2）樣本具有更好的代表性；（3）用樣本不僅可以估計總體均值，還可以估計各層均值．2.分層隨機抽樣與簡單隨機抽樣：方法適用范圍聯系簡單隨機抽樣從總體中逐個抽取總體中的個體較少分層隨機抽樣中，各層獨立進行簡單隨機抽樣.分層隨機抽樣總體分層，分層抽取總體中的個體差異較大3.抽樣思想、用樣本估計總體的意識回顧分層抽樣的特點和必要性，并認識分層隨機抽樣和簡單隨機抽樣的特點和適用范圍，關注學生統計思想的形成，培養學生的抽樣思想和用樣本估計總體的意識.作業教材第184頁練習第1、3、4題第1題:數據x1,x2,?,xm第2題:高二年級有男生490人，女生510人，張華按男生、女生進行分層，通過分層隨機抽樣的方法，得到男生、女生的平均身高分別為170