PAGE第4頁共8頁函數的極值和最值【考綱要求】1.掌握函數極值的定義。2.了解函數的極值點的必要條件和充分條件.3.會用導數求不超過三次的多項式函數的極大值和極小值4.會求給定閉區間上函數的最值。【知識網絡】函數極值的定義函數極值的定義函數極值點條件函數的極值函數極值點條件函數的極值求函數極值函數的極值和最值求函數極值函數的極值和最值函數在閉區間上的最大值和最小值函數在閉區間上的最大值和最小值【考點梳理】要點一、函數的極值函數的極值的定義一般地，設函數在點及其附近有定義，（1）若對于附近的所有點，都有，則是函數的一個極大值，記作；（2）若對附近的所有點，都有，則是函數的一個極小值，記作.極大值與極小值統稱極值.在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數值.要點詮釋：求函數極值的的基本步驟：①確定函數的定義域；②求導數；③求方程的根；④檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，則f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，則f(x)在這個根處取得極小值.(最好通過列表法)要點二、函數的最值1.函數的最大值與最小值定理若函數在閉區間上連續，則在上必有最大值和最小值；在開區間內連續的函數不一定有最大值與最小值.如.要點詮釋：①函數的最值點必在函數的極值點或者區間的端點處取得。②函數的極值可以有多個，但最值只有一個。2.通過導數求函數最值的的基本步驟：若函數在閉區間有定義，在開區間內有導數，則求函數在上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數在內的導數；（2）求方程在內的根；（3）求在內使的所有點的函數值和在閉區間端點處的函數值，；（4）比較上面所求的值，其中最大者為函數在閉區間上的最大值，最小者為函數在閉區間上的最小值.【典型例題】類型一：利用導數解決函數的極值等問題例1.已知函數若函數處取得極值，試求的值，并求在點處的切線方程；【解析】因為處取得極值所以所以。又所以在點處的切線方程即.舉一反三：【變式1】設為實數，函數．(1)求的單調區間與極值；,則,,①又,,,即,代入①式可得:.(2),設則,令,解得:,;,,原函數在單調遞增,在單調遞減,在上單調遞增①若,即時,最大值為;②若,即時,最大值為③若時,即時,最大值為.綜上所述:當時,最大值為;當時,最大值為.例3.設．（Ⅰ）若在上存在單調遞增區間，求的取值范圍；（Ⅱ）當時，在[1，4]上的最小值為，求在該區間上的最大值．【解析】（Ⅰ）由．當時，的最大值為；令，得，所以，當時，在上存在單調遞增區間．（Ⅱ）令，得兩根，．所以在，上單調遞減，在上單調遞增．當時，有，所以在[1，4]上的最大值為．又，即，所以在[1，4]上的最小值為，得，，從而在[1，4]上的最大值為．舉一反三：【變式1】設函數求的最小值;【解析】函數f（x）的定義域為（0，1）令當時，,∴在區間是減函數；當時，,∴在區間是增函數.∴在時取得最小值且最小值為.【變式2】已知函數f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時都取得極值（1）求a、b的值與函數f（x）的單調區間（2）若對x?〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范圍?！窘馕觥浚?）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數f（x）的單調區間如下表：x（－，－）－（－，1）1（1，＋）f（x）＋0－0＋f（x）極大值極小值所以函數f（x）的遞增區間是（－，－）與（1，＋），遞減區間是（－，1）（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，當x＝－時，f（x）＝＋c為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2。類型三：導數在研究實際問題中最值問題的應用例4.某企業擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方米，且．假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為千元．設該容器的建造費用為千元．(1)寫出關于的函數表達式，并求該函數的定義域；(2)求該容器的建造費用最小時的．【解析】(1)設容器的容積為V，由題意知，又，故．由于，因此．所以建造費用，因此，．(2)由(1)得，．由于，所以，當時，．令，則m＞0，所以．①當即時，