波函數的幾種不同的形式第1頁，課件共56頁，創作于2023年2月三.平面波的波動方程WaveEquationofPlaneWave平面波的波動方程將平面簡諧波的波函數對t和x分別求二階偏導數,有:推廣:任何物理量φ滿足上式,則以波動形式傳播具有普遍意義三維空間一維簡諧波的波函數就是此波動方程的解。第2頁，課件共56頁，創作于2023年2月Y-楊氏彈性模量

-體密度(2)固體棒中的縱波(3)固體中的橫波G-切變模量∵G<Y,固體中ｕ橫波<ｕ縱波F切

切變l0l0+

lFF長變

波速(1)彈性繩上的橫波FT-繩的切向張力,

ρL-繩的線密度(4)流體中的聲波k-體積模量,

0-無聲波時的流體密度(5)水面波h0-水的平均深度第3頁，課件共56頁，創作于2023年2月§6-5、波的能量和能流一、波的能量：以橫波為例,其波函數為:任取一體積元△V，其質量△m=ρ△V，1)

微元的動能:2)微元的勢能:各微元的勢能和動能相等，而且勢能的變化和動能的變化“步調一致”。第4頁，課件共56頁，創作于2023年2月3)總機械能:4)能量密度:(單位體積中的能量)5)平均能量密度(在一個周期內的能量密度的平均值)第5頁，課件共56頁，創作于2023年2月特點:A、相位,大小均相同；機械能不守恒。(注意與振動能量相區別)波形圖振動圖形D、能量以速度

u傳播。C、若t一定，Ek、E

p隨x周期分布。平衡位置（y=0）

Ek、Ep最大。振幅處（y=A）

Ek、E

p為0。B、若x

一定,Ek

、

Ep、E均隨t周期性變化。第6頁，課件共56頁，創作于2023年2月二、波的能流（描述波的能量傳播的物理量）：1)能流—

單位時間內垂直通過某一截面的能量。ε為截面所在位置的能量密度。顯然能流是隨時間周期性變化的。但它總為正值。設波速為u，在時間內通過垂直于波速截面的能量:能流為：2)平均能流:在一個周期內能流的平均值稱為平均能流。第7頁，課件共56頁，創作于2023年2月3)能流密度:通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能流

稱為能流密度或波的強度。能流密度是單位時間內通過垂直于波速方向的單位截面的平均能量。能流密度是矢量，其方向與波速方向相同。單位:W/m2

波在媒質中傳播時，媒質總要吸收一部分能量。吸收的能量轉換為媒質的內能和熱。因此，波的振幅要減小、波的強度將減弱，這種現象稱為波的吸收。4)波的吸收：α為吸收系數,取決于媒質和波的頻率注意：第8頁，課件共56頁，創作于2023年2月在均勻不吸收能量的媒質中傳播的平面波在傳播方向上振幅不變。若不考慮能量吸收即能量守恒，可討論波傳播時振幅的變化：三、平面波、球面波、柱面波的振幅證明：因為在一個周期內通過和面的能量應該相等所以,平面波振幅不變：1、平面波第9頁，課件共56頁，創作于2023年2月由于振動的相位沿波速方向隨距離的增加而落后的關系，與平面波類似，球面簡諧波的波函數：所以球面波的振幅與離波源的距離成反比。如果距波源單位距離的振幅為A則距波源r處的振幅為2、球面波同理（初相位為零）第10頁，課件共56頁，創作于2023年2月所以柱面波的振幅與離波源的距離的平方根成反比。如果距波源單位距離的振幅為A則距波源r處的振幅為3、柱面波同理則柱面簡諧波的波函數：第11頁，課件共56頁，創作于2023年2月一、惠更斯原理：1）媒質中任一波面上的各點，都是發射子波的新波源。2）其后任意時刻，這些子波的包絡面就是新的波面。1、表述：只要已知某時刻的波面和波速，可以確定下時刻的波面和波的傳播速度。2.惠更斯原理的意義：3.惠更斯原理的應用：解釋波的衍射,波的散射,波的反射、折射等現象.§6-6波的反射和透射波的傳播：球面S上任一點都可以看成發射子波的波源。經Δt時間子波行進到包絡面S2。第12頁，課件共56頁，創作于2023年2月二、波的疊加原理（獨立性原理）：若波動函數y1(x,t),y2(x,t)滿足線性波動方程表述：即y1、y2

分別是它的解，則它們的任一線性組合y=C1y1+C2

y2

也是方程的解,即上述波動方程遵從疊加原理。無論是否相遇,各列波將保持原有的特性(頻率,波長和振動方向等)不變,按照原來的方向繼續前進,就象沒有遇到其他的波一樣。

在其相遇區域內,任一點處質點的的振動為各個波單獨存在時所引起的振動的矢量和。實際表現：注意：波的疊加原理僅限于線性波動現象，例如對強沖擊波則不成立。第13頁，課件共56頁，創作于2023年2月第14頁，課件共56頁，創作于2023年2月三、弦上橫波的反射與透射定義媒質特征阻抗:1、振幅振幅反射系數振幅透射系數2、能量能量反射系數能量透射系數第15頁，課件共56頁，創作于2023年2月一、波的干涉：1、干涉現象:在一定條件下，兩波相遇,在媒質中某些位置的點振幅始終最大，另些位置振幅始終最小，而其它位置，振動的強弱介乎二者之間，保持不變，稱這種穩定的疊加圖樣為干涉現象。2、產生干涉的條件：兩波源的波振幅相近或相等時干涉現象明顯。

兩波源具有恒定的相位差。

兩波源的振動方向相同

兩波源具有相同的頻率。滿足上述條件的稱為相干波。3、干涉加強、減弱條件：設有兩個頻率相同的波源和。§6-6波的干涉駐波波的干涉第16頁，課件共56頁，創作于2023年2月S1、S2

的振動表達式為：傳播到P

點引起的振動為：在P

點的振動為同方向同頻率振動的合成。第17頁，課件共56頁，創作于2023年2月由疊加原理P點合振動：由于波的強度正比于振幅平方：對空間不同的位置，都有恒定的，因而合強度在空間形成穩定的分布，即有干涉現象。第18頁，課件共56頁，創作于2023年2月干涉加強的條件：干涉減弱的條件：當兩波源的初相位相同時，相干條件可寫為：干涉加強干涉減弱第19頁，課件共56頁，創作于2023年2月[例1]在同一媒質中相距為20m的兩平面簡諧波源S1

和S2作同方向,同頻率(ν=100Hz)的諧振動,振幅均為A=0.05m,點S1

為波峰時,點S2恰為波谷,波速u=200m/s。求：兩波源連線上因干涉而靜止的各點位置.解:選S1處為坐標原點O,向右為x軸正方向,設點S1的振動初相位為零,由已知條件可得波源S1和S2作簡諧振動的運動方程分別為:S1發出的向右傳播的波的波函數為:S2發出的向左傳播的波的波函數為:第20頁，課件共56頁，創作于2023年2月因干涉而靜止的點的條件為:化簡上式,得:所以在兩波源的連線上因干涉而靜止的點的位置分別為:將代入,可得:第21頁，課件共56頁，創作于2023年2月單極子聲源波場不同時刻切片圖t＝1E-5（s）t＝2E-4（s）第22頁，課件共56頁，創作于2023年2月偶極子聲源波場不同時刻切片圖t＝1E-5（s）t＝2E-4（s）t＝4E-4（s）t＝6E-4（s）第23頁，課件共56頁，創作于2023年2月t＝1E-5（s）時刻的波場圖四極子聲源的波場圖四個同相點源疊加后的波場圖第24頁，課件共56頁，創作于2023年2月1、駐波:兩列振幅相同，而傳播方向相反的相干波，其合成波是駐波。二、駐波：（駐波是干涉的特例）設有兩列相干波，振幅相同，分別沿x軸正、負方向傳播，選初相位均為零的表達式為：2、駐波的形成:其合成波稱為駐波，其表達式：第25頁，課件共56頁，創作于2023年2月利用三角函數關系求出駐波的表達式：簡諧振動簡諧振動的振幅它表示各點都在作簡諧振動，各點振動的頻率相同，是原來波的頻率，但各點振幅隨位置的不同而不同。此式為振動表達式。無波形的跑動現象（即非行波）StandingwaveTravelingwave振幅為第26頁，課件共56頁，創作于2023年2月第27頁，課件共56頁，創作于2023年2月3、駐波的特征：①波節和波腹：波節：振幅為零的點稱為波節。波腹：振幅最大的點稱為波腹。兩相鄰波節間的距離/2。兩相鄰波腹或相鄰波節間的距離/2。兩相鄰波節與波腹間的距離/4。的各點。即:波節的位置為：的各點。即:波腹的位置為：有些點不動(波節),有些點振動最強(波腹)第28頁，課件共56頁，創作于2023年2月第29頁，課件共56頁，創作于2023年2月②相位：③波形：相鄰波節之間相位相同,波節兩側相位反相，相位差2π波形不傳播，能量不傳播——“駐”

結論：*在波節兩側點的振動相位相反。同時達到反向最大或同時達到反向最小。速度方向相反。*兩個波節之間的點其振動相位相同。同時達到最大或同時達到最小。速度方向相同。時間部分提供的相位對于所有的x是相同的，而空間變化帶來的相位是不同的。相位取決于coskx的正負，第30頁，課件共56頁，創作于2023年2月彈性波：波阻Z=ρu

較大的媒質稱為波密媒質； 較小的媒質稱為波疏媒質。當一列波從波疏媒質入射到波密媒質的界面時,在分界面處，反射波在反射點有π的相位突變,等效于波多走或少走半個波長的波程,這種現象稱為半波損失。三、半波損失(§6-6，P157）當一列波從波密媒質入射到波疏媒質的界面時,在分界面處，反射波與入射波同相位,沒有半波損失。第31頁，課件共56頁，創作于2023年2月形成的駐波在界面處是波節，界面處稱為固定端。有半波損失，半波損失密疏無半波損失，形成的駐波在界面處是波腹，界面處稱為自由端。①②考慮入射波被全反射時，入射波與反射波形成駐波無半波損失密疏第32頁，課件共56頁，創作于2023年2月第33頁，課件共56頁，創作于2023年2月例1在彈性媒質中有一沿ox軸正向傳播的平面波，其波函數為

有一媒質分界面，且在分界面處反射波有半波損失，波的強度不衰減。試寫出反射波的波函數。解：05m。xx由入射波波函數得0點的振動方程為：把0點看作反射波的波源，考慮半波損失，得任意一點x處反射波引起的振動為：由入射波波函數化成標準形式可求得：代入上式得：說明：1）考慮半波損失時也可減π，結果等效。2）考慮半波損失時也可不加減π，而在計算波程時加減λ/2，結果等效。第34頁，課件共56頁，創作于2023年2月[例題2]一列沿x軸方向傳播的入射波的波函數為在x=0處反射,反射點為一節點求:(1)反射波的波函數.(2)合成波的波函數(3)波腹,波節的位置坐標.解:(1)由于有相位突變,故反射波的波函數為:(2)根據波的疊加原理,合成波的波函數為:第35頁，課件共56頁，創作于2023年2月(3)形成波腹的各點,振幅最大,即:亦即:故波腹點坐標為:形成波節各點,振幅最小,即:即:(x,x'只取負值及零)第36頁，課件共56頁，創作于2023年2月例3：已知沿＋X方向傳播的平面簡諧波的函數為：求：反射波波函數在介質1、2分界面處L=2.25m發生反射，且Z2>>Z112xyoL=2.25m解：波在界面處是由波疏介質進入波密介質，分界面處反射時存在半波損失。由入射波波函數知A點振動方程為：在A點反射后，由于存在半波損失，所以：A法一：選原點，寫出反射點振動方程由入射波波函數知A點振動方程為：第37頁，課件共56頁，創作于2023年2月由于A點處的振動方程y反A已知：12xyoL=2.25mA則反射波（沿－X方向傳播）的波函數為：L=2.25m第38頁，課件共56頁，創作于2023年2月法二：因反射波的振幅、頻率、波速均已知，關鍵求反射波原點的初相位。12xyoL=2.25mA入射波：入射波在A點比原點相位落后:反射波在原點比A點相位落后:在固定端反射，有半波損失，反射波相位落后反射波比入射波在原點相位落后:則反射波方程：反射波的波函數可寫為：第39頁，課件共56頁，創作于2023年2月

聲波是機械縱波頻率高于20000赫茲的叫做超聲波。*聲的產生、傳播和接收。為聽覺服務，如聲音的音質、音響效果；聲學在建筑學方面的應用，噪聲的避免，聲波測井等。20到20000赫茲之間能引起聽覺的稱為可聞聲波，簡稱聲波。頻率低于20赫茲的叫做次聲波；*利用聲的傳播特性研究媒質的微觀結構；利用聲波的作用來促進化學反應，為科技服務。研究的分類：聲的概念不再局限于聽覺范圍，幾乎是振動和機械波的同義詞。聲波20000Hz20Hz§6-8聲波第40頁，課件共56頁，創作于2023年2月媒質中有聲波傳播時的壓強與無聲波傳播時的靜壓強之差稱為聲壓。

聲壓稀疏區聲壓為負，稠密區聲壓為正值。由于疏密的周期性，聲壓也是周期變化。聲壓的振幅為：

聲強、聲強級*聲強就是聲波的平均能流密度。即單位時間內通過垂直于傳播方向單位面積的聲波能量。聲壓的單位:帕（Pa),通常講話：0.1Pa,離飛機數米:幾百帕第41頁，課件共56頁，創作于2023年2月這樣的超聲波在幾個毫米范圍內有比重力加速度g大十多萬倍的正負加速度和近百個大氣壓，可見它的威力。因此，有重要的應用。式中聲壓的振幅：由此可知，聲強與頻率的平方，振幅的平方成正比。聲強超聲波的頻率高，而波長在毫米數量級。壓強振幅約大氣壓。加速度已達重力加速度的上百萬倍；第42頁，課件共56頁，創作于2023年2月引起人的聽覺的聲波，還有一定的聲強范圍。大約為10－12瓦/米2～1瓦/米2。聲強太小聽不見，太大會引起痛覺。定義聲強級L為：單位為貝耳(Bel)1Bel=10dB單位為分貝(dB)*聲強級由于可聞聲強的數量級相差懸殊，通常用聲強級來描述聲強的強弱。規定聲強

I0=10-12瓦/米2作為測定聲強的標準有的地方規定戶外聲音不得大于100分貝。

如炮聲聲強1瓦/米2，聲強級120分貝。第43頁，課件共56頁，創作于2023年2月在兩端固定長為L的弦形成駐波的波長必須滿足下列條件：二.兩端固定的弦的振動（簡正模式）即弦線上形成的駐波波長、頻率均不連續。這些頻率稱為弦振動的本征頻率，對應的振動方式稱為簡正模式。最低的頻率稱為基頻，其它整倍數n頻率為n次諧頻。基頻及各次諧頻可以通過調節弦長、弦張力及線密度得到。駐波條件第44頁，課件共56頁，創作于2023年2月兩端固定的弦，當距一端L/n的點受擊而振動時，該點為波節的那些模式（對應于n次，2n次…...諧頻)就不出現，使演奏的音色更優美。系統究竟按那種模式振動，取決于初始條件。弦的任一振動均可看作各次諧頻振動的線性疊加。三、聲的吸收、交混回響1、聲的吸收：當聲音在介質中傳播時，由于介質的內摩擦力損耗，聲強很快減小。實驗表明：2、交混回響：聲源停止振動后聲波經過墻壁多次反射和吸收后才消失的現象聲的吸收對房屋的聲學性質很重要，交混回響時間的長短是建筑物的重要聲學性質。第45頁，課件共56頁，創作于2023年2月一、多普勒效應：§6-9多普勒效應DopplerEffect1、定義：因波源或觀察者相對于媒質運動，而使觀察者接受到的頻率不同于波源的頻率現象稱為多普勒效應。當波源或觀察者相對于媒質運動時，三者可能互不相同。波源頻率：單位時間內波源振動的次數或單位時間內發出的‘完整波’的個數。觀察者接受到的頻率：觀察者在單位時間內接收到的振動次數或‘完整波’的個數。波的頻率：單位時間內通過媒質中質元振動的頻率或某點的‘完整波’的數目。注意區別下面三種頻率:例：當鳴笛的火車開向站臺，站臺上的觀察者聽到的笛聲變尖即頻率升高；相反當火車離開站臺，聽到的笛聲頻率降低。第46頁，課件共56頁，創作于2023年2月1、波源不動,觀察者相對于媒質以速度VR沿二者連線運動：設波源的頻率為

S；波長為；波速為u。二、多普勒效應的三種情況：波源不動：波的頻率ν等于波源的頻率ν

S

。觀察者接收到的頻率（單位時間內接收到完整波的個數）:①觀察者以速度VR

接近波源：單位時間內波相對于觀察者傳播的距離:表明:觀察者接近波源時接收到的頻率提高。第47頁，課件共56頁，創作于2023年2月②觀察者以速度VR離開波源

：同理可得觀察者接受到的頻率：特例：即觀察者與波面同速運動，接受不到聲波。表明:觀察者遠離波源時接收到的頻率降低。可合寫為：頻率變化原因:波源相對于觀察者與相對于媒質的波速不同。第48頁，課件共56頁，創作于2023年2月①若波源S以速度Vs接近觀察者：2、觀察者不動,波源相對于媒質以速度Vs沿二者連線運動：波在媒質中的波長：波的頻率為：觀察者不動：觀察者接收到的頻率νＲ等于波的頻率ν。波長:波傳播時,在同一波線上兩個相鄰相位差為2

的質元之間的距離。第49頁，課件共56頁，創作于2023年2月②若波源S以速度Vs離開觀察者,則：表明:若波源S以速度Vs接近觀察者，觀察者接收到的頻率升高。由于觀察者不動，則波的頻率ν等于觀察者接收到的頻率：表明:若波源S以速度Vs離開觀察者,觀察者接收到的頻率降低。同理可得觀察者接受到的頻率：頻率變