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一歐式空間的定義及性質ppt課件1一、歐式空間的定義及性質1、向量的內積在中，內積具有下列性質：對稱性：線性性：

一、歐式空間的定義及性質1、向量的內積在中，內積具有下列性22、線性空間的內積定義1設V是R上線性空間，定義一個V到R的代數運算.

V對稱性：2、線性空間的內積定義1設V是R上線性空間，定義一個V到32)線性性：

3)恒正性：

當

則稱這個代數運算為V的一個內積,且稱為向量的內積,實線性空間V叫做對這個內積來說的一個歐幾里得空間.(歐氏空間)3、舉例

2)線性性：3)恒正性：當則稱這個代數運算為4規定

規定5向量空間,

成的我

例3令是定義在上一切連續實函數所[a,b]向量空間,成的我例3令是定義6一歐式空間的定義及性質ppt課件7歐氏空間V的內積具有以下基本性質.(2)證證歐氏空間V的內積具有以下基本性質.(2)證證8例是歐氏空間的n個向量，行列式設例是歐氏空間的n個向量，行列式設9

叫做的格蘭姆（Gram）行列式.證明:=0，必要且只要線性相交.證必要性：=0知齊次線性方程組由叫做的格蘭姆（Gram）行列式.證明:=0，必要且只要線性10必有非零解，設為其一組非零解則有二、向量的長度、兩非零向量的夾角定義2設是歐氏空間的一個向量，非負實數的算術根叫做的長度.必有非零解，設為其一組非零解則有二、向量的長度、兩非零向量的11定理7.1.1

定理7.1.112即

于是這就是著名的柯西-施瓦茲不等式.也可表示為即于是這就是著名的柯西-施瓦茲不等式.也可表示為13例6考慮例1的歐式空間由不等式(6)推出,對于任意實數

例6考慮例1的歐式空間由不等式(6)推出,對于14有不等式

有不等式15例7考慮例3的歐氏空間C[a,b]，由不等式（6）推出，對于定義在[a,b]上的任意連續函數有不等式

（8）(8)式稱為施瓦茲(Schwarz)不等式.

（7）和（8）在歐氏空間的不等式（6）里被統一起來.因此通常把(6)式稱為柯西-施瓦茲不等式.例7考慮例3的歐氏空間C[a,b]，由不等式（6）有不等16一歐式空間的定義及性質ppt課件17三向量的正交記作:三向量的正交記作:18所以證設因為,所以證設因為,19根據柯西-施瓦茲不等式,我們有下面的三角形不等式.思考題1：設

是n維歐氏空間V中兩個不同的向量,且

證因為所以證明:

根據柯西-施瓦茲不等式,我們有下面的三思考題20

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