第二章函數概念與基本初等函數Ⅰ第二講函數的基本性質要點提煉

函數的單調性與最值考點11.函數的單調性

增函數減函數定義一般地,設函數f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有

,那么就說函數f(x)在區間D上是增函數.區間D叫作函數f(x)的單調遞增區間.當x1<x2時,都有

,那么就說函數f(x)在區間D上是減函數.區間D叫作函數f(x)的單調遞減區間.圖象描述自左向右圖象是

的自左向右圖象是

的f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升下降

函數的單調性與最值考點1注意

1.函數的單調性定義中的x1,x2有三個特征:一是任意性;二是有大小,即x1<x2(x1>x2);三是屬于同一個區間,三者缺一不可.2.求函數單調區間或討論函數單調性時,必須先求函數的定義域.3.一個函數的同一種單調區間用“和”或“,”連接,不能用“∪”連接.4.“函數的單調區間是M”與“函數在區間N上單調”是兩個不同的概念,顯然N?M.

函數的單調性與最值考點1

函數的單調性與最值考點1

函數的單調性與最值考點1

函數的單調性與最值考點12.函數的最值前提設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足條件(1)對于任意x∈I,都有

;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.(1)對于任意x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.結論M為函數f(x)的最大值.M為函數f(x)的

.f(x)≤M最小值

函數的奇偶性考點2函數奇偶性的概念及性質前提(必要條件)奇偶性滿足的充要條件圖象特征特性單調性函數f(x)的定義域關于

對稱.奇函數對定義域中任意的x,都有f(-x)=

.關于

對稱.(1)如果定義域中包含0,那么f(0)=

.(2)若函數在關于原點對稱的區間上有最值,則f(x)max+f(x)min=

.在關于原點對稱的區間上單調性

.偶函數對定義域中任意的x,都有f(-x)=

.關于

對稱.f(x)=

.在關于原點對稱的區間上單調性

.原點-f(x)原點y軸00相同f(x)f(|x|)相反

函數的奇偶性考點2注意

(1)只有函數在x=0處有定義時,f(0)=0才是f(x)為奇函數的必要非充分條件;(2)既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型,即f(x)=0,x∈D,其中定義域D是關于原點對稱的非空數集.

函數的奇偶性考點2

函數的奇偶性考點2思維拓展(1)若函數y=f(x+a)是偶函數,則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱,f(x+a)=f(-x+a).(2)若函數y=f(x+b)是奇函數,則函數y=f(x)的圖象關于點(b,0)中心對稱,f(x+b)+f(-x+b)=0.

函數的周期性考點31.周期函數對于函數y=f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的任何值時,都有

,那么就稱函數y=f(x)為周期函數,稱T為這個函數的周期.

2.最小正周期如果在周期函數f(x)的所有周期中存在最小的正數,那么這個最小的正數就叫作f(x)的

正周期.

注意

并不是所有的周期函數都有最小正周期,如f(x)=5.f(x+T)=f(x)最小

函數的周期性考點3

?????√√√考向掃描

確定函數的單調性（單調區間）考向1

DD

確定函數的單調性（單調區間）考向1解析

(1)(圖象法)如圖,在坐標系中分別畫出A,B,C,D四個選項中的函數的大致圖象,即可判斷D項符合題意.(也可根據基本初等函數的性質,直接判斷)(2)(復合法)由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4.因此,函數f(x)=ln(x2-2x-8)的定義域是(-∞,-2)∪(4,+∞).(先求函數f(x)的定義域)易知函數y=x2-2x-8在(-∞,-2)上單調遞減,在(4,+∞)上單調遞增,函數y=lnt為(0,+∞)上的增函數,由復合函數的單調性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的單調遞增區間是(4,+∞).故選D.

確定函數的單調性（單調區間）考向1(3)解法一(導數法)

f＇(x)=a(x-1)-ax(x-1)2=-a(x-1)2.當a>0時,f

＇(x)<0,函數f(x)在(-1,1)上單調遞減;當a<0時,f

＇(x)>0,函數f(x)在(-1,1)上單調遞增.解法二(定義法)

設-1<x1<x2<1,f(x)=a(x-1+1x-1)=a(1+1x-1),則f(x1)-f(x2)=a(1+1x1-1)-a(1+1x2-1)=a(x2-x1)(x1-1)(x2-1).由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故當a>0時,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函數f(x)在(-1,1)上單調遞減;當a<0時,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函數f(x)在(-1,1)上單調遞增.

確定函數的單調性（單調區間）考向1方法技巧判斷函數的單調性和求單調區間的方法(1)定義法:一般步驟為設元—作差—變形—判斷符號—得出結論,常用于證明抽象函數單調性.(2)圖象法:若f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,則可由圖象的上升或下降確定單調性,分段函數問題求解可用該方法.(3)導數法:先求導數,再利用導數值的正負確定函數的單調區間.(4)性質法:①對于由基本初等函數的和、差構成的函數,根據各基本初等函數的增減性及“增+增=增,增-減=增,減+減=減,減-增=減”進行判斷;②對于復合函數,根據復合函數“同增異減”的規則進行判斷.

函數單調性的應用考向2角度1比較大小

C

函數單調性的應用考向2

方法技巧利用函數的單調性比較大小的方法比較函數值的大小時,應先將自變量的值轉化到同一個單調區間內,再利用函數的單調性求解.

函數單調性的應用考向2角度2求解不等式3.典例[2017全國卷Ⅰ]函數f(x)在(-∞,+∞)上單調遞減,且為奇函數.若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是(

)A.[-2,2] B.[-1,1]C.[0,4] D.[1,3]

解析

∵函數f(x)為奇函數,且f(1)=-1,∴f(-1)=-f(1)=1,由-1≤f(x-2)≤1,得f(1)≤f(x-2)≤f(-1),(將常數轉化為函數值)又函數f(x)在(-∞,+∞)上單調遞減,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.故選D.D

函數單調性的應用考向2方法技巧利用函數的單調性求解或證明不等式的策略(1)將不等式轉化為f(x1)>f(x2)的形式；(2)根據函數f(x)的單調性“脫去”函數符號“f”化為形如“x1>x2”或“x1<x2”的不等式求解,注意必須在同一單調區間內進行.若不等式一邊沒有“f”,而是常數,則應將常數轉化為函數值,如若已知0=f(1),f(x-1)<0,則f(x-1)<f(1).

函數單調性的應用考向2角度3求參數的值或取值范圍4.典例[2020新高考卷Ⅱ]已知函數f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是(

)A.(-∞,-1] B.(-∞,2]C.[2,+∞) D.[5,+∞)

解析

由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函數f(x)的定義域為(-∞,-1)∪(5,+∞).因為函數y=x2-4x-5在(5,+∞)上單調遞增,在(-∞,-1)上單調遞減,所以函數f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上單調遞增,所以a≥5,故選D.D

函數單調性的應用考向2方法技巧已知函數的單調性求參數的取值范圍的方法根據函數的單調性構建含參數的方程(組)或不等式(組)進行求解,或先得到圖象的升降情況,再結合圖象求解.注意

若分段函數是單調函數,則不僅要各段上函數單調性一致,還要在整個定義域內單調,即要注意銜接點處的函數值大小.

函數單調性的應用考向2

[-3,-2]

函數單調性的應用考向2

求函數的最值（值域）考向3

求函數的最值（值域）考向3方法技巧求函數最值(值域)的方法(1)單調性法:先確定函數的單調性,再由單調性求出最值(值域).(2)圖象法:先作出函數的圖象,再觀察其最高點、最低點求出最值(值域),若函數的解析式的幾何意義較明顯,如距離、斜率等,可用數形結合法求解.(3)基本不等式法:先對解析式變形,使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求最值(值域).(4)導數法:先求出導函數,然后求出給定區間上的極值,再結合端點值,求出最值(值域).適用于三次函數、分式函數及含ex,ln

x,sin

x,cos

x等結構的組合函數,且f

'(x)可求.

求函數的最值（值域）考向3

求函數的最值（值域）考向3

2(-∞,-1)

求函數的最值（值域）考向3

判斷函數的奇偶性考向4

B

判斷函數的奇偶性考向4

判斷函數的奇偶性考向4方法技巧判斷函數奇偶性的方法(1)定義法

判斷函數的奇偶性考向4(2)圖象法(3)性質法在公共定義域內有奇函數±奇函數=奇函數,偶函數±偶函數=偶函數,奇函數×奇函數=偶函數,偶函數×偶函數=偶函數,奇函數×偶函數=奇函數.注意

(1)函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的前提條件.(2)對于分段函數奇偶性的判斷,要分段判斷f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立,只有當所有區間都滿足相同關系時,才能判斷該分段函數的奇偶性.

判斷函數的奇偶性考向49.變式[新課標全國Ⅰ]設函數f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,則下列結論中正確的是(

)A.f(x)g(x)是偶函數B.f(x)|g(x)|是奇函數C.|f(x)|g(x)是奇函數D.|f(x)g(x)|是奇函數B解析

因為f(x)為奇函數,g(x)為偶函數,所以f(x)g(x)為奇函數,f(x)|g(x)|為奇函數,|f(x)|g(x)為偶函數,|f(x)g(x)|為偶函數,故選B.

函數奇偶性的應用考向5

DC1

函數奇偶性的應用考向5

函數奇偶性的應用考向5

函數奇偶性的應用考向5方法技巧函數奇偶性的應用類型及解題策略求解析式先將待求區間上的自變量轉化到已知區間上,再利用奇偶性求出f(x)的解析式,或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式.求函數值利用函數的奇偶性將待求函數值轉化為已知區間上的函數值,進而求解.求參數值利用待定系數法求解,根據f(x)±f(-x)=0得到關于待求參數的恒等式,由系數的對等性得參數滿足的方程(組),進而得出參數的值.對于在x=0處有定義的奇函數f(x),可考慮列等式f(0)=0求解.解不等式利用函數奇偶性將問題轉化到同一單調區間上求解.涉及偶函數時常用f(x)=f(|x|),將問題轉化到[0,+∞)上求解.畫函數圖象和判斷單調性利用奇偶性可畫出另一對稱區間上的圖象及判斷另一區間上的單調性.

函數奇偶性的應用考向5

CA

函數奇偶性的應用考向5

函數周期性的判斷及應用考向612.典例[2022豫北名校聯考]已知y=f(x)為奇函數且對任意x∈R,都有f(x+2)=-f(x),若當x∈[0,2]時,f(x)=2x+a,則f(2022)=(

)A.4 B.3 C.2 D.1

解析

因為f(x)是奇函數且對任意x∈R,都有f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函數f(x)是周期為4的周期函數.由奇函數性質可知,f(0)=20+a=1+a=0,a=-1,所以f(2022)=f(505×4+2)=f(2)=22-1=3,故選B.B

函數周期性的判斷及應用考向6方法技巧1.判斷函數的周期性時,只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數,且周期為T.2.根據函數的周期性,可以由函數的局部性質得到函數的整體性質,周期性與奇偶性都具有將未知區間上的問題轉化到已知區間的功能.

函數周期性的判斷及應用考向6

D

函數性質的綜合應用考向714.典例(1)[2020新高考卷Ⅰ]若定義在R上的奇函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是(

)

A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3](2)[2018全國卷Ⅱ][文]已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數,滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(

)A.-50 B.0 C.2 D.50

DC

函數性質的綜合應用考向7解析

(1)解法一

由題意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上單調遞減,且f(-2)=f(2)=f(0)=0.當x>0時,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,∴1≤x≤3;當x<0時,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,∴-1≤x≤1,又x<0,∴-1≤x<0;當x=0時,顯然符合題意.綜上,原不等式的解集為[-1,0]∪[1,3],選D.解法二當x=3時,f(3-1)=0,符合題意,排除B;當x=4時,f(4-1)=f(3)<0,此時不符合題意,排除A,C.選D.(2)解法一∵f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數,∴f(-x)=-f(x),且f(0)=0.∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),∴f(2+x)=-f(x),

函數性質的綜合應用考向7∴f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x),∴f(x)是周期函數,且一個周期為4,∴f(4)=f(0)=0,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(1+2)=f(1-2)=-f(1)=-2,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.故選C.解法二因為函數f(x)滿足f(1-x)=f(1+x),可知f(x)的圖象關于直線x=1對稱.又f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數,所以f(0)=0.已知f(1)=2,計算可得:

函數性質的綜合應用考向7f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(-2)=-f(2)=0,f(5)=f(-3)=-f(3)=2,f(6)=f(-4)=-f(4)=0,f(7)=f(-5)=-f(5)=-2,f(8)=f(-6)=-f(6)=0,……所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(49)+f(50)=(2+0-2+0)×12+2+0=2.故選C.

函數性質的綜合應用考向7

DB

函數性質的綜合應用考向7

函數性質的綜合應用考向7

攻堅克難函數奇偶性的拓廣性質及應用數學探索性質1

若函數f(x)是奇函數,且g(x)=f(x)+c,則必有g(-x)+g(x)=2c.證明

由于函數f(x)是奇函數,所以f(-x)=-f(x),所以g(-x)+g(x)=f(-x)+c+f(x)+c=2c.16.典例(1)[2022長春市質量監測]已知函數f(x)=x3-3x-2,若f(a)=4,則f(-a)=（）A.-2 B.-4 C.-6 D.-8(2)對于函數f(x)=asinx+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),選取a,b,c的一組值分別計算f(1)和f(-1),所得出的正確結果不可能是（）A.4和6 B.3和1C.2和4 D.1和2DD函數奇偶性的拓廣性質及應用數學探索解析

(1)令g(x)=x3-3x,則f(x)=g(x)-2,因為g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函數,所以f(a)+f(-a)=-4,由f(a)=4,可得f(-a)=-8.(2)設g(x)=asinx+bx,則f(x)=g(x)+c,且函數g(x)為奇函數.注意到c∈Z,所以f(1)+f(-1)=2c為偶數.結合選項可知只有D項不滿足.點評

解題關鍵在于觀察函數的結構,構造出一個奇函數.函數奇偶性的拓廣性質及應用數學探索性質2

已知函數f(x)是定義在區間D上的奇