初二數學二次根式提高題與常考題和培優題(含解析)二次根式提高題與常考題型壓軸題（含解析）一、選擇題（共13小題）1.二次根式$x\geq3$，正確的是（D）$x<3$且$x\neq\sqrt{2}$。2.計算：$\sqrt{16-x^2}$，中$x$的取值范圍是（B）$x\leq3$且$x\neq2$。3.如圖，在長方形ABCD中無重疊放入面積分別為16cm$^2$和12cm$^2$的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（C）$8-4\sqrt{2}$cm$^2$。4.若$1<x<2$，則$\sqrt{2x-4}$的值為（C）$2-\sqrt{2}$。5.下列計算正確的是（B）$\sqrt{x^2}=|x|$。6.下列各式變形中，正確的是（A）$x^2\cdotx^3=x^6$。7.下列二次根式中，與$\sqrt{2}-\sqrt{3}$是同類二次根式的是（A）$\sqrt{2}+\sqrt{3}$。8.化簡$\sqrt{8}-\sqrt{2}$的結果為（B）$2$。9.已知，$ab>0$，化簡二次根式$\sqrt{\frac{a}{b}}$的正確結果是（C）$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。10.設$a$為$\sqrt{2}$的小數部分，$b$為$\sqrt{3}$的小數部分，則$\sqrt{a+b}$的值為（D）$1+\sqrt{2}$。11.把$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$中根號外面的因式移到根號內的結果是（C）$\sqrt{a}-\sqrt{b}$。12.如果$a=2a-1$，那么$a$的取值范圍是（B）$a\leq1$。13.已知：$a+b=1$，$ab=1$，則$a$與$b$的關系是（D）$a^2=b^2$。二、填空題（共17小題）14.如果代數式有意義，那么$x$的取值范圍為$x\in(-\infty,-2)\cup[2,\infty)$。15.在數軸上表示實數$a$的點如圖所示，化簡$|a-2|$的結果為$2-a$。16.計算：$\sqrt{3+\sqrt{8}}$的結果是$1+\sqrt{2}$。17.觀察下列等式：第1個等式：$a_1=-1$，第2個等式：$a_2=-\sqrt{2}$，第3個等式：$a_3=\sqrt{2}-\sqrt{3}$，第4個等式：$a_4=\sqrt{3}-\sqrt{4}$，按上述規律，回答以下問題：（1）請寫出第$n$個等式：$a_n=\sqrt{n-1}-\sqrt{n}$；（2）$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=-\sqrt{n}$。18.計算$2\sqrt{2}-\sqrt{8}$的結果為$0$。19.計算$\left(-\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)$的結果等于$1$。20.化簡：$\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{1-a}}$。21.如果最簡二次根式$\sqrt{x+\sqrt{x}}$可以合并，那么使有意義的$x$的取值范圍是$x\geq0$。22.已知$a$，$b$是正整數，且滿足$a^2-b^2=2018$，共有$8$對$(a,b)$。23.對正實數$a$，$b$作定義$a*b=\sqrt{ab}$，則$2*18=12$。24.已知$x+y=\sqrt{3}-1$，$x^2+y^2=2$，則$xy=-1$。25.已知$\sqrt{a+\sqrt{a}}=3$，則$a=5$。26.已知$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=2$，則$x=-\frac{1}{2}$。二次根式有意義，需要滿足被開方數大于等于0，即3-x≥0，解得x≤3。同時，分母不能為0，即x≠0。綜合起來，得到x≤3且x≠0。故選C。【注意】選項中的符號應該是小于等于號（≤），而不是小于號（＜）。2．（2016春?淮安市月考）已知二次根式的值為，其中a>0，則a的取值范圍是（）A．0<a≤1/2B．1/2<a≤2C．2<a≤4D．a>4【分析】對二次根式進行化簡，得到a+1/a-2，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠0且a≠2。同時，分子的值也不能為0，即a+1≠0，解得a>-1。綜合起來，得到0<a≤1/2或2<a≤4。故選C。3．（2015春?南京市月考）已知二次根式的值為，其中a>0，則a的取值范圍是（）A．a>2B．a>3C．a>4D．a>5【分析】對二次根式進行化簡，得到a+2/a-3，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠3。同時，分子的值也不能為0，即a+2≠0，解得a>-2。綜合起來，得到a>3。故選B。4．（2014春?南京市月考）已知二次根式的值為，其中a>0，則a的取值范圍是（）A．a≥1B．a>1C．a>2D．a>3【分析】對二次根式進行化簡，得到a+1/a-2，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠2。同時，分子的值也不能為0，即a+1≠0，解得a>-1。綜合起來，得到a>2。故選C。5．（2013春?南京市月考）已知二次根式的值為，其中a>0，則a的取值范圍是（）A．a>1B．a>2C．a>3D．a>4【分析】對二次根式進行化簡，得到a+3/a-4，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠4。同時，分子的值也不能為0，即a+3≠0，解得a>-3。綜合起來，得到a>4。故選D。6．（2012春?南京市月考）已知二次根式的值為，其中a>0，則a的取值范圍是（）A．a>1B．a>2C．a>3D．a>4【分析】對二次根式進行化簡，得到a+2/a-3，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠3。同時，分子的值也不能為0，即a+2≠0，解得a>-2。綜合起來，得到a>3。故選C。7．（2011春?南京市月考）已知二次根式的值為，其中a>0，則a的取值范圍是（）A．a>1B．a>2C．a>3D．a>4【分析】對二次根式進行化簡，得到a+1/a-2，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠2。同時，分子的值也不能為0，即a+1≠0，解得a>-1。綜合起來，得到a>2。故選C。8．（2010春?南京市月考）已知二次根式的值為，其中a>0，則a的取值范圍是（）A．a>1B．a>2C．a>3D．a>4【分析】對二次根式進行化簡，得到a+3/a-4，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠4。同時，分子的值也不能為0，即a+3≠0，解得a>-3。綜合起來，得到a>4。故選D。9．已知二次根式的值為，其中a>0，則a的取值范圍是（）A．a>1B．a>2C．a>3D．a>4【分析】對二次根式進行化簡，得到a+2/a-3，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠3。同時，分子的值也不能為0，即a+2≠0，解得a>-2。綜合起來，得到a>3。故選C。10．已知二次根式的值為，其中a>0，則a的取值范圍是（）A．a>1B．a>2C．a>3D．a>4【分析】對二次根式進行化簡，得到a+1/a-2，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠2。同時，分子的值也不能為0，即a+1≠0，解得a>-1。綜合起來，得到a>2。故選C。11．已知二次根式的值為，其中a>0，則a的取值范圍是（）A．a>1B．a>2C．a>3D．a>4【分析】對二次根式進行化簡，得到a+3/a-4，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠4。同時，分子的值也不能為0，即a+3≠0，解得a>-3。綜合起來，得到a>4。故選D。12．已知二次根式的值為，其中a>0，則a的取值范圍是（）A．a>1B．a>2C．a>3D．a>4【分析】對二次根式進行化簡，得到a+2/a-3，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠3。同時，分子的值也不能為0，即a+2≠0，解得a>-2。綜合起來，得到a>3。故選C。13．已知二次根式的值為，其中a>0，則a的取值范圍是（）A．a>1B．a>2C．a>3D．a>4【分析】對二次根式進行化簡，得到a+1/a-2，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠2。同時，分子的值也不能為0，即a+1≠0，解得a>-1。綜合起來，得到a>2。故選C。二．填空題（共6小題）14．已知二次根式的值為，則a的取值范圍是．【解答】對二次根式進行化簡，得到a+2/a-3，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠3。同時，分子的值也不能為0，即a+2≠0，解得a>-2。綜合起來，得到a>3。故填3＜a＜+∞。15．已知二次根式的值為，則a的取值范圍是．【解答】對二次根式進行化簡，得到a+3/a-4，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠4。同時，分子的值也不能為0，即a+3≠0，解得a>-3。綜合起來，得到a>4。故填4＜a＜+∞。16．已知二次根式的值為，則a的取值范圍是．【解答】對二次根式進行化簡，得到a+1/a-2，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠2。同時，分子的值也不能為0，即a+1≠0，解得a>-1。綜合起來，得到a>2。故填2＜a＜+∞。17．已知二次根式的值為，則a的取值范圍是．【解答】對二次根式進行化簡，得到a+2/a-3，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠3。同時，分子的值也不能為0，即a+2≠0，解得a>-2。綜合起來，得到a>3。故填3＜a＜+∞。18．已知二次根式的值為，則a的取值范圍是．【解答】對二次根式進行化簡，得到a+3/a-4，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠4。同時，分子的值也不能為0，即a+3≠0，解得a>-3。綜合起來，得到a>4。故填4＜a＜+∞。19．已知二次根式的值為，則a的取值范圍是．【解答】對二次根式進行化簡，得到a+1/a-2，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠2。同時，分子的值也不能為0，即a+1≠0，解得a>-1。綜合起來，得到a>2。故填2＜a＜+∞。三．解答題（共6小題）20．（2019春?南京市月考）已知二次根式的值為，其中a>0，求a的取值范圍。【解答】對二次根式進行化簡，得到a+2/a-3，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠3。同時，分子的值也不能為0，即a+2≠0，解得a>-2。綜合起來，得到2＜a＜+∞。故答案為2＜a＜+∞。21．（2018春?南京市月考）已知二次根式的值為，其中a>0，求a的取值范圍。【解答】對二次根式進行化簡，得到a+3/a-4，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠4。同時，分子的值也不能為0，即a+3≠0，解得a>-3。綜合起來，得到3＜a＜+∞。故答案為3＜a＜+∞。22．（2017春?南京市月考）已知二次根式的值為，其中a>0，求a的取值范圍。【解答】對二次根式進行化簡，得到a+1/a-2，要使其有意義，需要分母不為0，即a≠2。同時，分子的值也不能為0，即a+1≠0，解得a>-1。綜合起來，得到1＜a＜+∞。故答案為1＜a＜+∞。23．2．（2017春?蕭山區校級月考）計算：A．4B．6C．2D．8有意義，必須3-x≥0且x≠0，即x≤3且x≠0，故選D．【分析】直接化簡二次根式進而合并求出答案．【解答】解：故選：D．【點評】此題主要考查了二次根式的加減運算，正確化簡二次根式是解題關鍵．3．（2017春?嵊州市月考）如圖，在長方形ABCD中無重疊放入面積分別為16cm2和12cm2的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（）cm2．-4）×4-12+16=4，故選B．【分析】根據正方形的面積求出兩個正方形的邊長，從而求出AB、BC，再根據空白部分的面積等于長方形的面積減去兩個正方形的面積列式計算即可得解．【解答】解：∵兩張正方形紙片的面積分別為16cm2和12cm2，∴它們的邊長分別為4cm，3cm，∴AB=4cm，BC=(3+4)cm=7cm，∴空白部分的面積=(4×7)-(16+12)cm2=8cm2，故選B．【點評】本題考查了二次根式的應用，算術平方根的定義，解題的關鍵在于根據正方形的面積求出兩個正方形的邊長．4．（2016?呼倫貝爾）若1<x<2，則|x-2|-|x-1|的值為（）【分析】已知1<x<2，可判斷x-3<0，x-1>0，根據絕對值，二次根式的性質解答．【解答】解：∵1<x<2，∴x-3<0，x-1>0，原式=|x-3|-|x-1|=(3-x)-(x-1)=2-x．故選D．【點評】解答此題，要弄清以下問題：1、定義：一般地，形如√(a+b)的代數式叫做二次根式．當a≥0時，表示a+b的算術平方根；當a<0時，無實數根）．2、性質：√a+√b=√(a+b)；√a-√b=√(a-b)（a≥b）；√a×√b=√(ab)；√(a/b)=√a/√b（b≠0）；√(a2)=|a|．5．（2016?南充）下列計算正確的是（）A．√(2+√3)=2B．√(2-√3)=2C．√(2+√3)=√3+1D．√(2-√3)=√3-1【分析】直接利用二次根式的性質分別化簡求出答案．【解答】解：A、B、C、D、√(2+√3)=√(1+√3+1)=√[(√3+1)+1]=2，正確；√(2-√3)=√(1-√3+1)=√[(√3-1)+1]=2，正確；√(2+√3)=√3+1，錯誤；√(2-√3)=√3-1，錯誤；故選：A．【分析】根據圖示可得到a的取值范圍，然后根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到x的取值范圍．【解答】解：由圖示得，a的取值范圍為﹣2≤a＜2，又因為有意義，所以解得x＞﹣3，故答案為x＞﹣3．【點評】本題考查了二次根式的有意義條件和數軸上實數的表示方法，掌握這些知識點是解題的關鍵．16．（2016?德州市一模）已知a＜0，且，則b的值為【分析】將分式化簡后，根據二次根式的有意義條件解不等式，求出b的取值．【解答】解：將分式化簡得因為a＜0，所以解得b＜﹣3或b＞1，因為b＜1，所以b＜﹣3不成立，故b的值為b＞1．【點評】本題考查了二次根式的化簡和有意義條件，掌握這些知識點是解題的關鍵．17．（2016?常州市一模）已知，則m的值為【分析】將分式化簡后，根據二次根式的有意義條件解不等式，求出m的取值．【解答】解：將分式化簡得因為所以故m的值為m＞0．【點評】本題考查了二次根式的化簡和有意義條件，掌握這些知識點是解題的關鍵．18．（2016?天津市一模）已知，則x的取值范圍為【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到x的取值范圍．【解答】解：因為所以解得x＞﹣1，故答案為x＞﹣1．【點評】本題考查了二次根式的有意義條件，掌握二次根式中被開方數必須是非負數是解題的關鍵．19．（2016?南京市一模）已知，則a的取值范圍是【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到a的取值范圍．【解答】解：因為所以解得a＞0，故答案為a＞0．【點評】本題考查了二次根式的有意義條件，掌握二次根式中被開方數必須是非負數是解題的關鍵．20．（2016?天水市一模）已知，則x的取值范圍是【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到x的取值范圍．【解答】解：因為所以解得x≥﹣2，故答案為x≥﹣2．【點評】本題考查了二次根式的有意義條件，掌握二次根式中被開方數必須是非負數是解題的關鍵．21．（2016?嘉興市一模）已知，則a的取值范圍是【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到a的取值范圍．【解答】解：因為所以解得a＞0，故答案為a＞0．【點評】本題考查了二次根式的有意義條件，掌握二次根式中被開方數必須是非負數是解題的關鍵．22．（2016?南昌市一模）已知，則a的取值范圍是【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到a的取值范圍．【解答】解：因為所以解得a＞0，故答案為a＞0．【點評】本題考查了二次根式的有意義條件，掌握二次根式中被開方數必須是非負數是解題的關鍵．23．（2016?南京市二模）已知，則x的取值范圍是【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到x的取值范圍．【解答】解：因為所以解得x≥﹣1，故答案為x≥﹣1．【點評】本題考查了二次根式的有意義條件，掌握二次根式中被開方數必須是非負數是解題的關鍵．24．（2016?南京市三模）已知，則a的取值范圍是【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到a的取值范圍．【解答】解：因為所以解得a＞0，故答案為a＞0．【點評】本題考查了二次根式的有意義條件，掌握二次根式中被開方數必須是非負數是解題的關鍵．25．（2016?南京市四模）已知，則x的取值范圍是【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到x的取值范圍．【解答】解：因為所以解得x＞﹣1，故答案為x＞﹣1．【點評】本題考查了二次根式的有意義條件，掌握二次根式中被開方數必須是非負數是解題的關鍵．26．（2016?泰州市一模）已知，則x的取值范圍是【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到x的取值范圍．【解答】解：因為所以解得x≥﹣2，故答案為x≥﹣2．【點評】本題考查了二次根式的有意義條件，掌握二次根式中被開方數必須是非負數是解題的關鍵．題目16：求|a-2|的值，直接利用二次根式的性質和絕對值的性質化簡求解，得到答案為3。正確掌握二次根式和絕對值的相關性質是解題的關鍵。題目17：根據等式規律，求出第n個等式和a1+a2+a3+...+an的值。根據題意可知，a1=-1，a4=-2，由此得出第n個等式的表達式。將每個等式化簡后，求和即可得到a1+a2+a3+...+an的值為-1。解題的關鍵在于分析數字的變化規律和分母的有理化。題目18：計算2-sqrt(3)的值。先將各個二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式進行合并求解，得到答案為-2。解題的關鍵在于掌握二次根式的化簡和同類二次根式的合并。題目19：計算(sqrt(5)+sqrt(3))(sqrt(5)-sqrt(3))的值。先套用平方差公式，得到表達式為2。根據二次根式的性質計算可得，最終答案為2。解題的關鍵在于掌握平方差公式和二次根式的性質。20.化簡：$\sqrt{a^2}-\sqrt{(1-a)^2}$。【分析】利用二次根式的性質，即$\sqrt{a^2}=|a|$，化簡后再利用平方差公式進行化簡。【解答】解：$\sqrt{a^2}-\sqrt{(1-a)^2}=|a|-(|1-a|)=\begin{cases}a-(1-a)=2a-1,&a\geq1/2\\a-(-(1-a))=2a,&a<1/2\end{cases}$故答案為：$\begin{cases}2a-1,&a\geq1/2\\2a,&a<1/2\end{cases}$。【點評】本題考查了二次根式的性質與平方差公式的應用，解答本題的關鍵在于熟練掌握二次根式的性質及平方差公式的應用。21.如果最簡二次根式$\sqrt{3a-8}+\sqrt{17-2a}$可以合并，那么使有意義的$x$的取值范圍是$x\leq10$。【分析】根據二次根式可合并，可得同類二次根式，根據同類二次根式，可得$a$的值，根據被開方數是非負數，可得答案。【解答】解：由最簡二次根式可得：$\sqrt{3a-8}+\sqrt{17-2a}=\sqrt{(3a-8)+(17-2a)+2\sqrt{(3a-8)(17-2a)}}$$=\sqrt{25-a}$因為被開方數是非負數，所以$25-a\geq0$，解得$a\leq25$，又因為$\sqrt{3a-8}$和$\sqrt{17-2a}$都有意義，所以$3a-8\geq0$且$17-2a\geq0$，解得$a\geq8/3$且$a\leq17/2$，綜合得$x\leq10$。故答案為：$x\leq10$。【點評】本題考查了同類二次根式和被開方數的非負性，解答本題的關鍵在于利用同類二次根式得出關于$a$的方程，并根據被開方數的非負性求解。22.已知$a$，$b$是正整數，且滿足$ab+1=15(a+b)$，則這樣的有序數對$(a,b)$共有7對。【分析】根據題意，$a$，$b$的取值范圍可以通過$ab+1=15(a+b)$進行限制，然后分別討論$a$，$b$的取值范圍，最后求解符合條件的有序數對個數。【解答】解：$ab+1=15(a+b)$可變形為$(a-15)(b-15)=224$，因為$a$，$b$是正整數，所以$224$的因數對$(a-15,b-15)$構成的有序數對即為符合條件的有序數對。$224=2^5\cdot7$，故共有$(5+1)(1+1)=12$個因數對$(a-15,b-15)$，但因為$a$，$b$是正整數，所以只有滿足$a-15>0$且$b-15>0$的因數對才是符合條件的有序數對。對于因數對$(1,224)$，$a=16$，$b=239$，不符合條件。對于因數對$(2,112)$，$a=17$，$b=30$，符合條件。對于因數對$(4,56)$，$a=19$，$b=20$，符合條件。對于因數對$(7,32)$，$a=22$，$b=17$，符合條件。對于因數對$(8,28)$，$a=23$，$b=16$，符合條件。對于因數對$(14,16)$，$a=29$，$b=15$，符合條件。對于因數對$(16,14)$，$a=31$，$b=15$，符合條件。綜上可得共有7對。故答案為：7。【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，難度較大，關鍵是根據題意分別討論及因數對的求解。23.對正實數$a$，$b$作定義$a*b=\sqrt{a^2+b^2+2ab}$，已知$2*x=a*b$，求$x$的值。【分析】根據定義把$2*x=a*b$化為普通方程，求解即可。【解答】解：$2*x=a*b=\sqrt{a^2+b^2+2ab}=\sqrt{(a+b)^2}=a+b$故$x=a+b/2$。【點評】本題考查了二次根式的定義和化簡求值，解答本題的關鍵在于熟練掌握二次根式的定義及化簡求值的方法。【解答】解：（1）驗證：∵∴∴∴∴∴（2）驗證：∵∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴（3）驗證：∵∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴（4）驗證：∵∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴（5）驗證：∵∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴（6）驗證：∵∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴