④二項展開式的通項:③二項式系數:①項數：②次數：共有n＋1項

各項的次數都等于n，

字母a按降冪排列，次數由n遞減到0,

字母b按升冪排列，次數由0遞增到n

.二項式定理

④二項展開式的通項:③二項式系數:①項數：②次數：共有n＋11二項式定理

二項式定理2定理剖析1.二項式系數規律：2.指數規律：（1）各項的次數均為n；（2）二項展開式中a的次數由n降到0，b的次數由0升到n.3.項數規律：二項展開式共有n+1個項4.若a=2,b=x:則稱某一項除X外的代數式為項的系數如：第二項的系數為：，二項式系數為：定理剖析1.二項式系數規律：2.指數規律：（1）各項的3化簡:(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.變式練習公式的逆用！化簡:(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x4楊輝三角研究性課題：楊輝三角研究性課題：5計算(a+b)n展開式的二項式系數并填入下表n(a+b)n展開式的二項式系數12345616152015611510105114641133112111對稱性計算(a+b)n展開式的二項式系數并填入下表n(a+b)6(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6議一議1）請看系數有沒有明顯的規律？2）上下兩行有什么關系嗎？

3）根據這兩條規律，大家能寫出下面的系數嗎?(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)57①每行兩端都是1Cn0=Cnn=1②從第二行起，每行除1以外的每一個數都等于它肩上的兩個數的和Cn+1m=Cnm+Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++①每行兩端都是1Cn0=Cnn=1(a+b)1(a8第5行 1551第0行

1楊輝三角第1行 11第2行 121第3行 1331第4行 141第6行 161561第n-1行1第n行1………………………………

1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34第5行 159一.復習:楊輝三角的基本性質1）表中每個數都是組合數，第n行的第r+1個數是

2）三角形的兩條斜邊上都是數字1，而其余的數都等于它肩上的兩個數字相加，也就是3）楊輝三角具有對稱性

4）楊輝三角的第n行是二項式（a+b）n展開式的二項式系數即一.復習:楊輝三角的基本性質1）表中每個數都是組合數，第n行10二項式系數的性質

展開式的二項式系數依次是：

從函數角度看，可看成是以r為自變量的函數,其定義域是：

當時，其圖象是右圖中的7個孤立點．二項式系數的性質展開式的二項式系數依次11①對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．這一性質可直接由公式得到．圖象的對稱軸：二項式系數的性質①對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．122、若（a+b）n的展開式中，第三項的二項式系數與第七項的二項式系數相等，知識對接測查11、在(a＋b)６展開式中，與倒數第三項二項式系數相等是()A第２項B第３項C第４項D第５項則n=__________B82、若（a+b）n的展開式中，第三項的二項式系數與第七項的二13②增減性與最大值

由于：所以相對于的增減情況由決定二項式系數的性質由：即二項式系數前半部分是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。可知，當時，②增減性與最大值由于：所以相對于的增減情況由14因此,當n為偶數時,中間一項的二項式系數

取得最大值；

當n為奇數時,中間兩項的二項式系數相等，且同時取得最大值。②增減性與最大值

二項式系數的性質因此,當n為偶數時,中間一項的二項式系數15③各二項式系數的和

在二項式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項式系數的和等于：同時由于，上式還可以寫成：這是組合總數公式．

二項式系數的性質③各二項式系數的和在二項式定理中，令，則：16例證明在(a+b)n展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和。在二項式定理中，令，則：

賦值法證明：例證明在(a+b)n展開式中，奇數項的二項式系數的和等17中世紀意大利數學家斐波那契的傳世之作《算術之法》中提出了一個饒有趣味的問題：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以后每個月都生一對小兔子．設所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對剛出生的小兔一年內可以繁殖成多少對兔子？1.斐波那契“兔子繁殖問題”:二.引入:中世紀意大利數學家斐波那契的傳世之作《算術之18在游藝場，可以看到如圖的彈子游戲，小球(黑色)向容器內跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側第三層跌落，2.楊輝三角與彈子游戲如是，一直下跌，最終小球落入底層，根據具體區域獲得獎品。試問：為什么兩邊區獎品低于中間區獎品？在游藝場，可以看到如圖的彈子游戲，小球(黑色)向容器19“縱橫路線圖”是數學中的一類有趣的問題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處(只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？AB

3.楊輝三角與“縱橫路線圖”“縱橫路線圖”是數學中的一類有趣的問題：如圖是某城20從某種意義上說,發現問題更重要.從某種意義上說,21第5行 1551第0行

1第1行 11第2行 121第3行 1331第4行 141第6行 161561第n-1行1第n行1………………………………

1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34三.新課:楊輝三角蘊含的數字排列規律.第5行 15221.研究斜行規律：第一條斜線上：第二條斜線上：第三條斜線上：第四條斜線上：猜想：在楊輝三角中，第m條斜線（從右上到左下）上前n個數字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第m+1條斜線上的第n個數.1.研究斜行規律：第一條斜線上：第二條斜線上：第三條斜線上：231＋1＋1＋．．．＋1＝（第1條斜線）1＋4＋10＋．．．＋＝（第4條斜線）1＋3＋6＋．．．＋＝（第3條斜線）1＋2＋3＋．．．＋＝（第2條斜線）(n>r)?1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1條斜線24結論1：楊輝三角中，第m條斜(從右上到左下)上前n個數字的和，等于第m+1條斜線上第n個數即即根據楊輝三角的對稱性，類似可得：楊輝三角中，第m條斜(從左上到右下)上前n個數字的和，等于第m+1條斜線上第n個數。結論1：楊輝三角中，第m條斜(從右上到左下)上前n個數字的和25

125第5行 15101051第6行 1615201561第7行172135352171第1行 11第0行 1第2行 121第3行 1331第4行 14641……1381321342.如圖，寫出斜線上各行數字的和，有什么規律？第8行18285670562881從第三個數起，任一數都等于前兩個數的和;這就是著名的斐波那契數列。125第5行 1526中世紀意大利數學家斐波那契的傳世之作《算術之法》中提出了一個饒有趣味的問題：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以后每個月都生一對小兔子．設所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對剛出生的小兔一年內可以繁殖成多少對兔子？兔子繁殖問題也可以從楊輝三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．1.斐波那契“兔子繁殖問題”四.應用:中世紀意大利數學家斐波那契的傳世之作《算術之27在游藝場，可以看到如圖的彈子游戲，小球(黑色)向容器內跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側第三層跌落，如是，一直下跌，最終小球落入底層，根據具體區域獲得獎品。試問：為什么兩邊區獎品低于中間區獎品？“概率三角形”照這樣計算第n+1層有n+1個通道，彈子通過各通道的概率將是？與楊輝三角有何關系？2.楊輝三角與彈子游戲在游藝場，可以看到如圖的彈子游戲，小球(黑色)向容器28“縱橫路線圖”是數學中的一類有趣的問題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處(只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？AB

由此看來，楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯系3.楊輝三角與“縱橫路線圖”“縱橫路線圖”是數學中的一類有趣的問題：如圖是某城29楊輝三角的其它規律楊輝三角的其它規律30第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

14641第5行

15101051第6行

1615201561第n-1行

11第n行11…………………………………第7行

172135352171楊輝三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有數，則行數P是

質數(素數)第0行 1第1行 131

華羅庚（1910-1985）是一位具有世界聲譽的數學家，我國進入世界數學行列最杰出的代表,是中國數學競賽的創始人。他在數論、典型群、高維數值積分等方面作出了卓越的貢獻，撰寫了不少高質量專著、論文和科普著作。在他的科普著作《從楊輝三角談起》中，對楊輝三角的構成，提出了一種有趣的看法。華羅庚（1910-1985）是一位具有世界聲32（04.上海春季高考）如圖，在由二項式系數所構成的楊輝三角形中，第_____行中從左至右第14與第15個數的比為.34練習1:（04.上海春季高考）如圖，在由二項式系數所構成的楊輝三角33練習2：4774122343511