第一章計(jì)數(shù)原理1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第一章計(jì)數(shù)原理1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)1狐貍想從草地逃到小島，可以走水路,也可以走陸路，走水路有2艘船，走陸路有3輛車子，問：乘坐這些交通工具,一共有多少種不同的方法，可以從草地逃回到小島狐假虎威后續(xù)狐貍想從草地逃到小島，可以走水路,也可以走陸路，走水路2安全地引例1:草地狐貍總共有多少種方法逃到安全地？問題剖析(1)要我們做什么事情完成這個(gè)事情有幾類方法每類方法能否獨(dú)立完成這件事情每類方法中分別有幾種不同的方法完成這件事情共有多少種不同的方法草地到安全地2類能2種3種2+3=5種水路2種陸路3種如果狐貍還有4輛自行車可以選擇呢?2+3+4=9種安全地引例1:草地狐貍總共有多少種方法逃到安全地？31.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理一般歸納：

完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有

N=m1+m2+…+mn種不同的方法.分類加法計(jì)數(shù)原理

1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理一般歸納：分4例1:書架的第一層有6本不同的數(shù)學(xué)書,第二層有7本不同的英語書,第三層有10本不同的語文書,現(xiàn)想從書架上取一本書,共有多少種不同的方法？加問：若第四層中還有８本不同的物理書，第五層中還有９本不同的生物書，又會(huì)如何呢？從書架上拿一本書有三類方法能6種,7種,10種6+7+10=23種40種問題剖析(1)要我們做什么事情完成這個(gè)事情有幾類方法每類方法能否獨(dú)立完成這件事情每類方法中分別有幾種不同的方法完成這件事情共有多少種不同的方法例1:書架的第一層有6本不同的數(shù)學(xué)書,第二層有7本不同的英語5狐貍有一共有多少種不同的方法，可以從小島逃回到自己的房子（安全地）狐假虎威后續(xù)1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理狐貍有一共有多少種不同的方法，可以從小島逃回到自己的房子6狐貍有一共有多少種不同的方法，可以從草地逃回到自己的房子（安全地）狐假虎威后續(xù)1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理狐貍有一共有多少種不同的方法，可以從草地逃回到自7引例2:草地

5種方法小島安全地2種方法問題剖析(2)要我們做什么事情完成這個(gè)事情要分幾步每步方法能否獨(dú)立完成這件事情每步方法中分別有幾種不同的方法完成這件事情共有多少種不同的方法草地到安全地2步不能5種2種5×2=10種a1a2

a3a4a5b1

b21.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理引例2:草地5小島安全地2種問題剖析81.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事情，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的法，……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情有

N=m1×m2×…×mn種不同的方法.分步乘法計(jì)數(shù)原理1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件9例2:書架的第一層有6本不同的數(shù)學(xué)書，第二層有7本不同的英語書，第三層有10本不同的語文書，現(xiàn)從書架第一層、第二層、第三層各取一本書，共有多少種不同的方法？解：從書架１,２,３層各取一本,可以分成三個(gè)步驟完成：第一步從第1層取1本數(shù)學(xué)書，有6種方法，第二步從第2層取1本英語書，有7種方法，第三步從第3層取1本語文書，有10種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得不同的取法有：N=m1×m2×m3=6×７×１０＝420答:從書架的第１,２,３層個(gè)取一本書,有420種不同的方法1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理例2:書架的第一層有6本不同的數(shù)學(xué)書，第二層有7本不同的英10

原理的聯(lián)系、區(qū)別及特點(diǎn)：

分類法：相互獨(dú)立，每種方法均能獨(dú)立完成這件事

分步法：各步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事：都要有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn),分類時(shí)要徹底,無交叉,分步時(shí)要恰到好處。:都是有關(guān)做一件事情的不同方法的種數(shù)的問題。聯(lián)系區(qū)別特點(diǎn)1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理原理的聯(lián)系、區(qū)別及特點(diǎn)：分類11例：某藝術(shù)組有9人，每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的一種樂器，其中7人會(huì)鋼琴，3人會(huì)小號(hào)，從中選出會(huì)鋼琴與會(huì)小號(hào)的各1人，有多少種不同的選法？第一類：多面手入選，另一人只需從其他8人中任選一個(gè)，故這類選法共有8種．1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理解：由題意可知，在藝術(shù)組9人中，有且僅有一人既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)，只會(huì)鋼琴的有6人，只會(huì)小號(hào)的有2人，把會(huì)鋼琴、小號(hào)各1人的選法分為兩類：第二類：多面手不入選，則會(huì)鋼琴者只能從6個(gè)只會(huì)鋼琴的人中選出，會(huì)小號(hào)的1人也只能從只會(huì)小號(hào)的2人中選出，放這類選法共有6×2＝12種，故共有20種不同的選法．例：某藝術(shù)組有9人，每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的一種樂器，其中712§10.2排列與組合要點(diǎn)梳理1.排列（1）排列的定義：從n個(gè)

的元素中取出m(m

≤n)個(gè)元素，按照一定的

排成一列，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.（2）排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的

的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用A表示.不同順序所有不同排列基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)§10.2排列與組合不同順序所有不同排列基礎(chǔ)知識(shí)自主13（3）排列數(shù)公式：A=

.（4）全排列：n個(gè)不同的元素全部取出的

，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，A=n·(n-1）·（n-2）·…·2·1=

.于是排列數(shù)公式寫成階乘的形式為

，這里規(guī)定0！=

.2.組合（1）組合的定義：從n個(gè)

的元素中取出m（m≤

n）個(gè)元素

叫做從n個(gè)不同的元素中取出

m（m≤n）個(gè)元素的一個(gè)組合.n(n-1)(n-2)…(n-m+1)排列n！1不同合成一組（3）排列數(shù)公式：A=14（2）組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同的元素中取出m（m

≤n）個(gè)元素的

的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的組合數(shù)，用C表示.（3）組合數(shù)的計(jì)算公式：

=

，由于0！=

，所以C=

.（4）組合數(shù)的性質(zhì)：①C=

；②C=+

.所有不同組合11（2）組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同的元素中取出m（m所有不同組合15基礎(chǔ)自測(cè)1.從1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字中，選出一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有 （ ）A.9個(gè) B.24個(gè) C.36個(gè) D.54個(gè)

解析選出符合題意的三個(gè)數(shù)有=9種方法，每三個(gè)數(shù)可排成=6個(gè)三位數(shù)，∴共有9×6=54個(gè)符合題意的三位數(shù).D基礎(chǔ)自測(cè)D162.已知{1，2}X{1,2,3,4,5}，滿足這個(gè)關(guān)系式 的集合X共有 （ ）A.2個(gè) B.6個(gè) C.4個(gè) D.8個(gè)

解析由題意知集合X中的元素1，2必取，另外， 從3，4，5中可以不取，取1個(gè)，取2個(gè)，取3個(gè).故有=8（個(gè)）.D2.已知{1，2}X{1,2,3,4,5}，滿足這個(gè)關(guān)系173.某中學(xué)要從4名男生和3名女生中選派4人擔(dān)任奧運(yùn)會(huì)志愿者，若男生甲和女生乙不能同時(shí)參加，則不同的選派方案共有 （）A.25種 B.35種 C.840種 D.820種

解析若選男生甲，則有=10種不同的選法；同理，選女生乙也有10種不同的選法；兩人都不選有=5種不同的選法，所以共有25種不同的選派方案.A3.某中學(xué)要從4名男生和3名女生中選派4人擔(dān)任奧A184.（2009·湖南理，5）從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人 擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒 有入選的不同選法的種數(shù)為 （ ）A.85 B.56 C.49 D.28

解析丙不入選的選法有=84（種）,甲乙丙都不入選的選法有=35（種）.所以甲、乙至少有一人入選，而丙不入選的選法 有84-35=49種.C4.（2009·湖南理，5）從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人C195.有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有 （ ）A.36種 B.48種 C.72種 D.96種

解析恰有兩個(gè)空位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插空.從而共·=72種排法.C5.有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的20題型一排列問題【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).（1）選其中5人排成一排；（2）排成前后兩排，前排3人，后排4人；（3）全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；（4）全體排成一排，女生必須站在一起；（5）全體排成一排，男生互不相鄰；（6）全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3人.題型分類深度剖析題型一排列問題題型分類深度剖析21

思維啟迪

無限制條件的排列問題，直接利用排列數(shù)公式即可.但要看清是全排列還是選排列；有限制條件的排列問題，常見類型是“在與不在”、“鄰與不鄰”問題，可分別用相應(yīng)方法.

解（1）從7個(gè)人中選5個(gè)人來排列，有=7×6×5×4×3=2520種.（2）分兩步完成，先選3人排在前排，有種方法，余下4人排在后排，有種方法，故共有·=5040種.事實(shí)上，本小題即為7人排成一排的全排列，無任何限制條件.思維啟迪無限制條件的排列問題，直接利用排列數(shù)公式即可22（3）（優(yōu)先法）

方法一甲為特殊元素.先排甲，有5種方法；其 余6人有種方法，故共有5×=3600種.

方法二排頭與排尾為特殊位置.排頭與排尾從非 甲的6個(gè)人中選2個(gè)排列，有種方法，中間5個(gè)位 置由余下4人和甲進(jìn)行全排列有種方法，共有×=3600種.（4）（捆綁法）將女生看成一個(gè)整體，與3名男生 在一起進(jìn)行全排列，有種方法，再將4名女生進(jìn) 行全排列,也有種方法,故共有=576種.（3）（優(yōu)先法）23（5）（插空法）男生不相鄰，而女生不作要求， 所以應(yīng)先排女生，有種方法，再在女生之間及首 尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生，有種方 法，故共有×=1440種.（6）把甲、乙及中間3人看作一個(gè)整體，第一步先 排甲、乙兩人有種方法，再從剩下的5人中選3 人排到中間，有種方法，最后把甲、乙及中間3 人看作一個(gè)整體，與剩余2人全排列，有種方 法，故共有··=720種.（5）（插空法）男生不相鄰，而女生不作要求，24探究提高

排列問題的本質(zhì)就是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制主要表現(xiàn)在：某些元素“排”或“不排”在哪個(gè)位子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰”.對(duì)于這類問題在分析時(shí)，主要按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子.[高三數(shù)學(xué)]復(fù)習(xí)PPT課件-計(jì)數(shù)原理排列與組合25知能遷移1用0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)分別符合下列條件的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)：（1）奇數(shù)；（2）偶數(shù)；

解（1）先排個(gè)位，再排首位，共有··=144（個(gè)）.（2）以0結(jié)尾的四位偶數(shù)有個(gè)，以2或4結(jié)尾的四位偶數(shù)有··個(gè)，則共有··=156（個(gè)）.

知能遷移1用0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字，可以組成多26題型二組合問題【例2】

（12分）男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；（2）至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；（3）隊(duì)長中至少有1人參加；（4）既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員.題型二組合問題27思維啟迪

（1）分步.（2）可分類也可用間接法.（3）可分類也可用間接法.（4）分類.解（1）第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有種選法.第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有種選法.共有·=120種選法. 3分（2）方法一至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為=246種. 6分思維啟迪（1）分步.（2）可分類也可用間接法.28方法二“至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”可用間接法求解.從10人中任選5人有種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有種.所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法為=246種.6分（3）方法一可分類求解：“只有男隊(duì)長”的選法為；“只有女隊(duì)長”的選法為；“男、女隊(duì)長都入選”的選法為；所以共有2+=196種選法. 9分方法二“至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)29方法二間接法：從10人中任選5人有種選法.其中不選隊(duì)長的方法有種.所以“至少1名隊(duì)長”的選法為-=196種. 9分（4）當(dāng)有女隊(duì)長時(shí)，其他人任意選，共有種選法.不選女隊(duì)長時(shí)，必選男隊(duì)長，共有種選法.其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有種，所以不選女隊(duì)長時(shí)的選法共有-種選法.所以既有隊(duì)長又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有+-=191種. 12分方法二間接法：30

探究提高

解組合題時(shí)，常遇到“至多”、“至少”問題，可用直接法分類求解，也可用間接法求解以減少運(yùn)算量.當(dāng)限制條件較多時(shí)，要恰當(dāng)分類，逐一滿足.探究提高解組合題時(shí)，常遇到“至多”、“至少”問題，可31知能遷移2在7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種？（1）A，B必須當(dāng)選；（2）A，B必不當(dāng)選；（3）A，B不全當(dāng)選；（4）至少有2名女生當(dāng)選；（5）選取3名男生和2名女生分別擔(dān)任班長、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔(dān)任，班長必須由女生擔(dān)任.知能遷移2在7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條32解（1）由于A，B必須當(dāng)選，那么從剩下的10人中選取3人即可，∴有=120種.（2）從除去的A，B兩人的10人中選5人即可，∴有=252種.（3）全部選法有種，A，B全當(dāng)選有種，故A，B不全當(dāng)選有-=672種.解（1）由于A，B必須當(dāng)選，那么從剩下的10人中33（4）注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或沒有女生，故可用間接法進(jìn)行，∴有=596種選法.（5）分三步進(jìn)行：第一步：選1男1女分別擔(dān)任兩個(gè)職務(wù)為·；第二步：選2男1女補(bǔ)足5人有·種；第三步：為這3人安排工作有.由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有=12600種選法.（4）注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名34方法與技巧1.解排列、組合混合題一般是先選元素、后排元素、或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個(gè)基本原理作最后處理.2.對(duì)于較難直接解決的問題則可用間接法，但應(yīng)做到不重不漏.3.對(duì)于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意等價(jià)答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析答案的形式，錯(cuò)誤的答案都是犯有重復(fù)或遺漏的錯(cuò)誤.思想方法感悟提高方法與技巧思想方法感悟提高35一、選擇題1.（2009·遼寧理，5）從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中 選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女 醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有 （ ）A.70種 B.80種C.100種 D.140種

解析對(duì)此問題可分類：男2女1和男1女2，故總 共有=70種不同的組隊(duì)方案.A定時(shí)檢測(cè)一、選擇題A定時(shí)檢測(cè)362.（2009·北京理，7）用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為 （ ）A.324 B.328 C.360 D.648

解析若組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，可分為兩種情況：①當(dāng)個(gè)位上是0時(shí)，共有9×8=72種情況；②當(dāng)個(gè)位上是不為0的偶數(shù)時(shí)，共有4×8×8=256種情況.綜上，共有72+256=328種情況.B2.（2009·北京理，7）用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒373.高三（一）班學(xué)生要安排元旦晚會(huì)的4個(gè)音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是 （ ）A.1800 B.3600 C.4320 D.5040

解析4個(gè)音樂節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的排列共種.兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，用插空法，不同的排法種數(shù)是=3600.B3.高三（一）班學(xué)生要安排元旦晚會(huì)的4個(gè)音樂節(jié)目，2個(gè)B384.攝影師要為5名學(xué)生和2位老師拍照，要求排成一排，2位老師相鄰且不排在兩端，不同的排法共有 （ ）A.1440種 B.960種C.720種 D.480種

解析2位老師作為一個(gè)整體與5名學(xué)生排隊(duì)，相 當(dāng)于6個(gè)元素排在6個(gè)位置，且老師不排兩端，先安 排老師，有種排法，5名學(xué)生排在剩下的5個(gè) 位置,有種，所以共有··=960種排法.B4.攝影師要為5名學(xué)生和2位老師拍照，要求排成一排，B395.（2009·廣東理，7）2010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要 從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選 派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同 工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其 余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共 有 （ ）A.36種 B.12種 C.18種 D.48種

解析小張和小趙選派一人參加有=24種 方案，小張和小趙都參加有=12種方案，∴共有不同的選派方案24+12=36種.A5.（2009·廣東理，7）2010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要A406.2008年北京奧運(yùn)會(huì)期間，計(jì)劃將5名志愿者分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場(chǎng)館參加接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為 （ ）A.540 B.300 C.150 D.180

解析每個(gè)場(chǎng)館至少一名志愿者，相當(dāng)于將5人分 成三組，然后排列，三組的人數(shù)分別為3，1，1或 2，2，1，這樣,分組方法共有種，然后 三組進(jìn)行排列，有種.所以共有=150種方案.C6.2008年北京奧運(yùn)會(huì)期間，計(jì)劃將5名志愿者分配到C41二、填空題7.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五種不同的商品在貨 架上排成一排，其中甲、乙兩種必須排在一起，而丙、 丁兩種不能排在一起，不同的排法共有

種.

解析甲、乙排在一起，用“捆綁”排列，丙丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有=24種.24二、填空題24428.宿舍樓內(nèi)的走廊一排有8盞燈，為節(jié)約用電又不影 響照明，要同時(shí)熄掉其中3盞，但這3盞燈不能相 鄰，則不同的熄燈方法種數(shù)為

.（用數(shù)字作答）

解析可以先將五盞燈排列，然后將3盞將要熄滅 的燈分成三組插空，共有20種不同的熄燈方法.208.宿舍樓內(nèi)的走廊一排有8盞燈，為節(jié)約用電又不影20439.（2009·浙江理，16）甲、乙、丙3人站到共有7 級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階 上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（用數(shù)字作答）.

解析當(dāng)每個(gè)臺(tái)階上各站1人時(shí)有種站法， 當(dāng)兩個(gè)人站在同一個(gè)臺(tái)階上時(shí)有種站法， 因此不同的