2006年全國碩士研究生入學考試數學(三)

-填空

?+1lY、(f"

(l)lim

”一>8n

⑵設函數/(x)在x=2的某領域內可導，且/'(x)=/(')"(2)=l,那么

,r(2)=_____

⑶設函數/(?)可微，且/'(0)=；,那么Z=/(4d-y2)在點(1,2)處的全微分

蜀0,2)=----------------

(4)設矩陣4=,E為2階單位矩陣，矩陣E滿足BA=B+2E,那么忸|=

⑸設隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區間［0,3］上的均勻分布，那么

P{max(X,y)<l}=

(6)設總體X的概率密度為〃尤)=?由(—8<%<+00),西,馬,……X,,為總體的簡單隨

機樣本，其樣本方差S2，那么ES2=

二選擇題

(7)設函數y=/(x)具有二階導數，且/'(%)>0,7"(%)>0,加:為自變量x在點玉)處

的增量,Ay與力分別為/(x)在點與處對應的增量與微分，假設Ar>0,那么()

(A)0〈辦vAu

(B)0<Ay<辦

(C)Ay<Jy<0

(D)<Ay<0

(8)設函數在x=0處連續，且斑以U=l,那么

(A)/(0)=0且￡(0)存在

(B)"0)=1且￡(0)存在

(C)/⑼=0且￡(o)存在

(D)〃o)=i?(o)存在

(9)假設級數￡%收斂，那么級數()

〃=1

(A)收斂

?=1

(B)￡(一1)"。"收斂

n=l

00

(C)\為%+1收斂

n=\

(D):一收斂

念4”2

(10)設非齊次線性微分方程y+4Vp=幺,)有兩個的解y(x),%(x),c為任意常數,

那么該方程通解是：

(A)c[x(X)—%(X)]收斂

⑻y(x)+C[x(x)-%(力]收斂

(C)C[y(x)+%(x)]收斂

(D)y](x)+C[y,(x)+y2(x)]收斂

(11)設〃x,y)與夕(x,y)均為可微函數，且0；(x,y)HO,(%,%)是f(x,y)在約束

條件0(x,y)=O下的一個極值點，以下選項正確的是()

(A)假設工'(%%)=0,貝版(務為)=0

(B)假設《'(%,%)=0,貝%

(C)假設＜'(%,％)。0,貝明'伍,為)=0

(D)假設/'(X°,%)H0,貝明1(為,%)/0

(⑵設……&,均為n維列向量,A是//X〃矩陣，以下正確的是()

(A)假設&,4,……我線性相關，那么&......4,線性相關

(B)假設&……&相關，那么&,4,……4s無關

(C)假設&,%，……我無關，那么&,&……&相關

(D)假設&,4,……我無關，那么&，&…….無關

(13)設A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B,再將B得第一列得一1倍加到第2

?10、

列得C^P=010，那么

、001,

(A)C=P'AP

(B)C=PAP-'

(C)C=PTAP

(D)C=PAPT

(14)設隨機變量X服從正態分布1隨機變量丫服從正態分布%(外,42),

且P{|X—_那么必有()

(A)<T,<<T2

(B)(T]>cr2

(C)Ai<%

(D)M>4

三解答題

,.nx

1-ysin——

(15)設=-------------^-,x>0,y>0,求

1+xyarctanx

(I)^(x)=lim/(x,y)

(II)limg(x)

(16)計算二重積分JJJ7二其中D是由直線^=%,丁=1,》=0,所圍成的平面

區域.

(17)證明:當Ocac/jcm^Ssin/j+Zcos/j+;rbAasina+Zcosa+Tra.

(18)在XOY坐標平面上，連續曲線L過點〃(1,0),其上任意點尸(乂①(*。0)處的切

線低斜率與直線OP的斜率之差等于火(常數a>0)

(I)求L的方程：

O

(H)當L與直線y=ax所圍成平面圖形的面積為1時，確定a的值.

X(_］丫"12"+1

(19)求哥級數——「的收斂域及和函數s(x).

念〃(2〃-1)

(20)設4維向量組

01=(1+。,1,1,1)，。2=(2,2+。,2,2)，83=(3,3,3+4,3)‘，“=(4,4,4,4+a)，問a為

何值時&,口，“，?線性相關?當“線性相關時，求其一個極大線性無關組，并將其

余向量用該極大線性無關組線性表出.

(21)設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量

是線性方程組Ax=0的兩個解.

(I)求A的特征值與特征向量

(II)求正交矩陣Q和對角矩陣A,使得AQ=A;

(HI)求A及(A——E)6,其中E為3階單位矩陣.

2

一,—1<x<0

2

1,o<%<2,令y=x2,/(x,y)為二維

(22)設隨機變量X的概率密度為fv(x)?

0,其它

隨機變量(X/)的分布函數，求:

(I)Y的概率密度人(y)

(II)cov(X,y)

(III)止;，力

e,o<x<i

(23)設總體X的概率