素能培優(yōu)(六)破解基于問題情境的數(shù)列問題第六章基于問題情境的數(shù)列問題是高考的熱點內(nèi)容,通過具體的問題背景,考察數(shù)列的應(yīng)用,以此來檢驗學(xué)生的核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識.解決情境下的數(shù)列問題,常用的解題思路是:審題、建立數(shù)列模型、研究模型、解決實際問題.建立數(shù)列模型時需注意分析:問題中有哪些量,這些量之間的關(guān)系和規(guī)律是什么,是否符合等差、等比數(shù)列的定義,它們之間的遞推關(guān)系是什么等,有時還需要從特殊到一般進行歸納總結(jié).只要建立起恰當(dāng)?shù)臄?shù)列模型,就可運用數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及相關(guān)的性質(zhì)、方法解決問題.一、實際生活中的數(shù)列問題實際生產(chǎn)生活中的許多問題都與數(shù)列問題緊密相關(guān),解決這些問題的關(guān)鍵是弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)列模型,抽象出通項公式或遞推關(guān)系式,然后利用數(shù)列知識解決問題.

對點訓(xùn)練1(2023·江蘇蘇州高三月考)“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州,作為一種民間的數(shù)字符號曾經(jīng)流行一時,廣泛應(yīng)用于各種商業(yè)場合.“蘇州碼子”0~9的寫法如下:○0,〡1,〢2,〣3,〤4,〥5,〦6,〧7,〨8,〩9.為了防止混淆,有時要將“〡”“〢”“〣”橫過來寫.已知某鐵路的里程碑所刻數(shù)字代表距離始發(fā)車站的里程,每隔2千米擺放一個里程碑,若在A點處里程碑上刻著“〣〤”,在B點處里程碑上刻著“〩〢”,則從A點到B點的所有里程碑上所刻數(shù)字之和等于

.

答案

1890解析

根據(jù)題意知,A點處里程碑上刻著數(shù)字34,B點處里程碑上刻著數(shù)字92,里程碑上刻的數(shù)字成等差數(shù)列,公差為2,因此從A點到B點的所有里程碑個二、數(shù)學(xué)文化中的數(shù)列問題對于以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列問題,解題時常常受困于背景陌生,閱讀受阻,無法獲得解題思路.解題時應(yīng)認(rèn)真審題,從問題背景中提取相關(guān)信息并分析歸納,從中構(gòu)建等差數(shù)列或等比數(shù)列模型,再根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的有關(guān)公式求解作答,必要時進行檢驗.例2(多選)(2023·福建寧德高三月考)我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主人應(yīng)分別償還a升,b升,c升粟,1斗為10升,則下列判斷正確的是(

)答案

BD對點訓(xùn)練2(2023·山東濟南高三模擬)在中國古代詩詞中,有一道“八子分綿”的名題:“九百九十六斤綿,贈分八子做盤纏,次第每人多十七,要將第八數(shù)來言”.題意是把996斤綿分給8個兒子做盤纏,按照年齡從大到小的順序依次分綿,年齡小的比年齡大的多分17斤綿,則第8個兒子分到的綿是

斤.

答案

184解析

設(shè)8個兒子從大到小依次分綿a1斤,a2斤,a3斤,…,a8斤,則數(shù)列{an}是公差為17的等差數(shù)列.因為共有996斤綿,所以S8=8a1+×17=996,解得a1=65.則a8=65+7×17=184,故第8個兒子分到的綿是184斤.三、數(shù)陣或圖表中的數(shù)列問題從數(shù)列到數(shù)陣或圖表,盡管數(shù)的排列形式發(fā)生了變化,但問題的本質(zhì)仍然是數(shù)列問題,只要抓住每行(每列)的首項,找準(zhǔn)每行(每列)的變化規(guī)律,從數(shù)陣中構(gòu)造出新數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列、周期數(shù)列等),那么解決問題的思想和方法仍然不變.例3(2023·山西大同高三月考)楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列,在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).在歐洲,帕斯卡在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律,比楊輝要遲了393年.如圖所示,在楊輝三角中,從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個“鋸齒形”數(shù)列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,則在該數(shù)列中,第37項是(

)A.153 B.171

C.190

D.210答案

C解析

由題意可得從第4行起的每行第三個數(shù):3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,所以第k(k≥4)行的第三個數(shù)為1+2+…+(k-2).在該數(shù)列中,第37項為第21行第三個數(shù),所以該數(shù)列的第37項為1+2+…+19==190.故選C.對點訓(xùn)練3(2023·遼寧沈陽高三月考)數(shù)列{an}中的項按順序可以排列成如圖的形式,第一行1項,排a1;第二行2項,從左到右分別排a2,a3;第三行3項,……,以此類推,設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則滿足Sn>1000的最小正整數(shù)n的值為(

)A.22

B.21

C.20

D.19

4, 4,4×3, 4,4×3,4×32, 4,4×3,4×32,4×33, …答案

C解析

第i行的和為

=2(3i-1),設(shè)滿足Sn>1

000的最小正整數(shù)為n,由于an在圖中排在第i行第j列(i,j∈N*且j≤i),所以有Sn=2(3-1)+2(32-1)+…+2(3i-1-1)+2(3j-1)=2(3+32+33+…+3i-1)-2(i-1)+2(3j-1)=3i-3-2(i-1)+2(3j-1)=3i+2·3j-2i-3>1

000,則i≥6,j≥5,即圖中從第6行第5列開始,和大于1

000.因為到第6行第5列共有1+2+3+4+5+5=20項,所以最小正整數(shù)n的值為20.故選C.四、數(shù)列中的新定義問題以數(shù)列為背景的新定義問題是高考的熱點,解決新定義問題,首先要注意對新定義的理解,其次要能將新定義數(shù)列和已學(xué)過的等差數(shù)列、等比數(shù)列進行聯(lián)系,搞清定義的本質(zhì),在新情境下靈活運用已有知識,從而找到解決問題的方法.答案

A對點訓(xùn)練4(多選)(2023·山東煙臺高三月考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對任