第七章第四節直接證明與間接證明內容索引0102強基礎?固本增分研考點?精準突破課標解讀衍生考點核心素養1.掌握直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程和特點.2.掌握間接證明的一種基本方法——反證法;了解反證法的思考過程和特點.1.綜合法證明2.分析法證明3.反證法1.邏輯推理2.數學運算強基礎?固本增分1.直接證明

方法綜合法分析法定義利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等,經過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結論

從要證明的結論出發,逐步尋求使它成立的

條件,直到最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止

證明思路由因導果執果索因證明流程P?Q1→Q1?Q2→…→Qn?QQ?P1→P1?P2→…→得到一個明顯成立的條件文字表達因為……所以……或由……得……要證……只需證……即證……成立

充分

微點撥分析法是執果索因,實際上是尋找使結論成立的充分條件;綜合法是由因導果,就是尋找已知的必要條件.2.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法.(1)反證法的定義:假設原命題

(即在原命題的條件下,結論不成立),經過正確的推理,最后得出

,因此說明假設錯誤,從而證明_________的證明方法.

(2)用反證法證明的一般步驟:①反設——假設命題的結論不成立;②歸謬——根據假設進行推理,直到推出矛盾為止;③結論——斷言假設不成立,從而肯定原命題的結論成立.不成立

矛盾

原命題成立

研考點?精準突破考點一綜合法證明例1.已知a>0,b>0,a2+b2=2.證明:(1)(a+b)(a3+b3)≥4;(2)a2b+b2a≤2.=a4+2a2b2+b4=(a2+b2)2=4,當且僅當a=b=1時取等號.(2)由題意可知,2=a2+b2≥2ab>0,∴0<ab≤1(當且僅當a=b=1時取等號).①∴0<a+b≤2(當且僅當a=b=1時取等號).②①×②可得a2b+b2a≤2.規律方法1.綜合法是“由因導果”的證明方法,它是一種從已知到未知(從題設到結論)的邏輯推理方法,即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發,經過一系列中間推理,最后導出所要求證結論的真實性.2.綜合法的邏輯依據是三段論式的演繹推理.對點訓練1在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求證:a,b,c成等差數列;(2)若C=,求證:5a=3b.證明:(1)由已知得sin

Asin

B+sin

Bsin

C=2sin2B,因為sin

B≠0,所以sin

A+sin

C=2sin

B,由正弦定理,得a+c=2b,即a,b,c成等差數列.(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以5a=3b.考點二分析法證明例2已知a,b,c,d都是正數.

只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+b2d2+a2d2+b2c2,即證2abcd≤a2d2+b2c2,即證0≤(bc-ad)2,而0≤(bc-ad)2顯然成立,故原不等式成立.規律方法1.逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推,逐步尋找使結論成立的充分條件.正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵.2.證明較復雜的問題時,可以采用兩頭湊的辦法,即通過分析法找出某個結論等價(或充分)的中間結論,然后通過綜合法由條件證明這個中間結論,從而使原命題得證.3.當已知條件與結論之間的聯系不夠明顯、直接,或證明過程中所需知識不太明確、具體時,往往采用分析法,特別是含有根號、絕對值的等式或不等式,從正面不易推導時,?？紤]用分析法.對點訓練2已知a,b∈R,可以得出:

根據上述不等式,寫出一個更一般的結論,并加以證明.

解:一般性結論為:已知a,b∈R,m,n均為正數,若m+n=1,則ma2+nb2≥(ma+nb)2.證明:要證ma2+nb2≥(ma+nb)2,即證ma2+nb2≥m2a2+n2b2+2mnab,即證m(1-m)a2+n(1-n)b2-2mnab≥0,因為m+n=1,所以即證mn(a2+b2-2ab)=mn(a-b)2≥0,因為m,n為正數,(a-b)2≥0,所以mn(a-b)2≥0顯然成立,所以原結論成立.考點三反證法所以ab=1,假設a2+a<2與b2+b<2同時成立,因為a2+a<2與b2+b<2的解集分別為{a|0<a<1},{b|0<b<1},所以0<ab<1,與ab=1矛盾,故假設不成立,即a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.規律方法反證法證明問題的一般步驟

反設假定所要證的結論不成立,而設結論的反面(否定命題)成立;(否定結論)歸謬將“反設”作為條件,由此出發經過正確的推理,導出矛盾——與已知條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾;(推導矛盾)結論因為推理正確,所以產生矛盾的原因在于“反設”的謬誤.既然原命題結論的反面不成立,從而肯定了原命題成立.(命題成立)對點訓練3若a,b,c∈R,求證:一元二次方程x2+ax+b-1=0,x2+bx+c-1=0和x2+cx+a-1=0中至少有一個方程有實根.證明:假設這三個方程都沒有實數根,則三個方程的判別式分別滿足Δ1=a2-4b+4<0,Δ2=b2-4c+4<0,Δ3=c2-4a+4<0,不等式兩邊分別相加,得a2+b2+c2-4b-4c-4a+12<0,即a2-4a+4+b2-4b+4+c2-4c+4<