數字圖像處理基礎頻域處理數字圖像處理基礎頻域處理內容一維離散傅立葉變換及其反變換二維離散傅立葉變換及其反變換傅里葉變換的性質頻域濾波圖像平滑圖像銳化內容一維離散傅立葉變換及其反變換2JeanBaptisteJosephFourier法國數學家傅立葉(生于1768年)在1822年出版的《熱分析理論》一書中指出:任何周期函數都可以表達為不同頻率的正弦和或余弦和的形式,即傅立葉級數。20世紀50年代后期,快速傅立葉變換算法出現,得到了廣泛的應用。JeanBaptisteJosephFourier3TheBigIdea=任何周期函數都可以表達為不同頻率的正弦和或余弦和的形式,即傅立葉級數。ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)TheBigIdea=任何周期函數都可以表達為不同頻率的4一維離散傅立葉變換及其反變換離散函數f(x)(其中x=0,1,2,…,M-1)的傅立葉變換:傅立葉變換是可逆的，F(u)的反變換的反變換:一維離散傅立葉變換及其反變換離散函數f(x)(其中x=0,15一維離散傅立葉變換及其反變換(cont…)觀察傅立葉反變換由歐拉公式則即，空域函數f(x)可表示為M個正弦(余弦)函數的累加，F(u)/M為對應頻率分量的幅度(系數),因此，F(u)覆蓋的域(u值)稱為頻率域。從另一角度,空域函數f(x)被表示為直流分量和交流分量F(0)/M對應的是直流分量的幅值,其余F(u)/M對應交流分量的幅值。一維離散傅立葉變換及其反變換(cont…)觀察傅立葉反變換6傅立葉變換的意義傅立葉變換可以看作數學的棱鏡,將函數基于頻率分成不同成分.當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函數。這是屬于線性濾波核心的重要概念。傅立葉變換的意義傅立葉變換可以看作數學的棱鏡,將函數基于頻率7二維離散傅立葉變換DiscreteFourierTransform(DFT)一個圖像尺寸為M×N的函數f(x,y)的離散傅立葉變換F(u,v):

(x=0,1,2…M-1andy=0,1,2…N-1)foru=0,1,2…M-1andv=0,1,2…N-1.二維離散傅立葉變換DiscreteFourierTran8DFT&Images二維圖像的DFT結果可由圖像各頻率成分的頻譜圖展示ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)DFTDFT&Images二維圖像的DFT結果可由圖像各頻率成9DFT&ImagesImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)DFT&ImagesImagestakenfrom10DFT&ImagesImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)DFT&ImagesImagestakenfrom11DFT&Images(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)DFTScanningelectronmicroscopeimageofanintegratedcircuitmagnified~2500timesFourierspectrumoftheimageDFT&Images(cont…)Imagestak12DFT&Images(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)DFT&Images(cont…)Imagestak13DFT&Images(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)DFT&Images(cont…)Imagestak14二維DFT反變換二維離散傅立葉逆變換:forx=0,1,2…M-1andy=0,1,2…N-1二維DFT反變換二維離散傅立葉逆變換:15二維DFT反變換(cont…)(u,v)=(0,0)位置的傅里葉變換值為即圖像f(x,y)各像素灰度級的和，F(0,0)/MN即為圖像灰度的均值。F(0,0)稱為頻率譜的直流分量(系數)，其它F(u,v)值稱為交流分量(交流系數)。二維DFT反變換(cont…)(u,v)=(0,0)位置的16二維DFT的極坐標表示頻率譜相位譜功率譜

二維DFT的極坐標表示17二維傅里葉變換的性質周期性傅里葉級數(DFS)有周期性M×N，反變換也是周期性的。DFT是其中的一個周期。二維傅里葉變換的性質周期性18二維DFT傅里葉變換的性質平移特性當u0=M/2,v0=N/2時通常在變換前用(-1)x+y乘以輸入圖像函數，實現頻域中心化變換：

二維DFT傅里葉變換的性質平移特性當u0=M/2,v0=N19數字圖像處理(頻域處理)ppt課件20頻率域的基本性質頻率域的基本性質：頻域的中心鄰域對應圖像中慢變化部分，較高的頻率開始對應圖像中變化較快的部分（如：物體的邊緣、線條等）。Matlab示例：example4_0.m頻率域的基本性質頻率域的基本性質：頻域的中心鄰域21頻域濾波卷積定理：

空間域的乘法對應頻域卷積頻域濾波卷積定理：22頻域濾波的折疊誤差干擾使用DFT進行濾波操作，圖像及其變換均視為周期性的。若周期關于函數的非零部分持續時間很靠近，則對周期函數執行卷積運算會導致相鄰周期間的干擾——折疊誤差干擾。通過使用零填充函數的方法避免折疊誤差干擾。Matlab示例：example4_1.m頻域濾波的折疊誤差干擾使用DFT進行濾波操作，圖像及其變換均23頻域濾波的步驟計算圖像的離散傅立葉變換F(u,v)用濾波函數H(u,v)乘以F(u,v)

計算乘積的離散傅立葉反變換ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)頻域濾波的步驟計算圖像的離散傅立葉變換F(u,v)Image24一些基本的頻域濾波器ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)LowPassFilterHighPassFilter一些基本的頻域濾波器ImagestakenfromGo25低通濾波器濾波結果ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)低通濾波器濾波結果ImagestakenfromGon26高通濾波器濾波結果ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)高通濾波器濾波結果ImagestakenfromGon27頻域平滑濾波器通過過濾掉頻域的高頻成分達到平滑目的濾波的基本模型: G(u,v)=H(u,v)F(u,v)其中F(u,v)

是圖像的傅立葉變換結果，

H(u,v)

稱為濾波器傳輸函數低通濾波器（Lowpassfilters）–僅保留低頻分量而過濾掉高頻分量。頻域平滑濾波器通過過濾掉頻域的高頻成分達到平滑目的28理想低通濾波器將頻域中所有與原點的距離超過D0的高頻分量截取掉改變距離D0將改變濾波器濾波效果ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)理想低通濾波器將頻域中所有與原點的距離超過D0的高頻分量截取29理想低通濾波器(cont…)理想低通濾波器的傳輸函數:其中D(u,v)

為:理想低通濾波器(cont…)理想低通濾波器的傳輸函數:30理想低通濾波器(cont…)左圖為原始圖像,右圖為其傅立葉變換結果，并在其上繪出半徑分別為5,15,30,80和230的低通濾波器。ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)理想低通濾波器(cont…)左圖為原始圖像,右圖為其傅立葉31理想低通濾波器(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)理想低通濾波器(cont…)Imagestakenfro32理想低通濾波器(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)理想低通濾波器(cont…)Imagestakenfro33理想低通濾波器(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)Original

imageResultoffilteringwithideallowpassfilterofradius5Resultoffilteringwithideallowpassfilterofradius30Resultoffilteringwithideallowpassfilterofradius230Resultoffilteringwithideallowpassfilterofradius80Resultoffilteringwithideallowpassfilterofradius15理想低通濾波器(cont…)Imagestakenfro34理想低通濾波器(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)Resultoffilteringwithideallowpassfilterofradius5理想低通濾波器(cont…)Imagestakenfro35理想低通濾波器(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)Resultoffilteringwithideallowpassfilterofradius15理想低通濾波器(cont…)Imagestakenfro36Butterworth低通濾波器截至頻率為D0

的n

階Butterworth

低通濾波器定義為:ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)Butterworth低通濾波器截至頻率為D0的n階B37Butterworth低通濾波器(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)Original

imageResultoffilteringwithButterworthfilteroforder2andcutoffradius5ResultoffilteringwithButterworthfilteroforder2andcutoffradius30ResultoffilteringwithButterworthfilteroforder2andcutoffradius230ResultoffilteringwithButterworthfilteroforder2andcutoffradius80ResultoffilteringwithButterworthfilteroforder2andcutoffradius15Butterworth低通濾波器(cont…)Images38Butterworth低通濾波器(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)Original

imageResultoffilteringwithButterworthfilteroforder2andcutoffradius5Butterworth低通濾波器(cont…)Images39Butterworth低通濾波器(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)ResultoffilteringwithButterworthfilteroforder2andcutoffradius15Butterworth低通濾波器(cont…)Images40Gaussian低通濾波器Gaussian低通濾波器的傳輸函數定義為:ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)Gaussian低通濾波器Gaussian低通濾波器的傳輸41Gaussian低通濾波器(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)Original

imageResultoffilteringwithGaussianfilterwithcutoffradius5ResultoffilteringwithGaussianfilterwithcutoffradius30ResultoffilteringwithGaussianfilterwithcutoffradius230ResultoffilteringwithGaussianfilterwithcutoffradius85ResultoffilteringwithGaussianfilterwithcutoffradius15Gaussian低通濾波器(cont…)Imagestak42Gaussian低通濾波器Matlab示例example4_4.mGaussian低通濾波器Matlab示例example4_43低通濾波器比較Resultoffilteringwithideallowpassfilterofradius15ResultoffilteringwithButterworthfilteroforder2andcutoffradius15ResultoffilteringwithGaussianfilterwithcutoffradius15ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)低通濾波器比較Resultoffilteringwi44低通濾波器的應用使用高斯低通濾波器連接斷裂的筆畫ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)低通濾波器的應用使用高斯低通濾波器連接斷裂的筆畫Images45低通濾波器的應用ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)低通濾波器的應用ImagestakenfromGonz46低通濾波器的應用(cont…)DifferentlowpassGaussianfiltersusedtoremoveblemishesinaphotographImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)低通濾波器的應用(cont…)Differentlowpa47低通濾波器的應用(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)低通濾波器的應用(cont…)Imagestakenfr48低通濾波器的應用(cont…)OriginalimageGaussianlowpassfilterProcessedimageSpectrumoforiginalimageImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)低通濾波器的應用(cont…)OriginalimageG49頻域銳化圖像中的邊緣等細節對應頻域的高頻分量高通濾波器（Highpassfilters）–僅保留高頻分量，截取低頻分量高通濾波器可通過低通濾波器獲得: Hhp(u,v)=1–Hlp(u,v)頻域銳化圖像中的邊緣等細節對應頻域的高頻分量50理想高通濾波器理想高通濾波器定義為:與低通濾波器類似，D0為截至頻率ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)理想高通濾波器理想高通濾波器定義為:Imagestaken51理想高通濾波器(cont…)ResultsofidealhighpassfilteringwithD0=15ResultsofidealhighpassfilteringwithD0=30ResultsofidealhighpassfilteringwithD0=80ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)理想高通濾波器(cont…)Resultsofideal52Butterworth高通濾波器Butterworth高通濾波器定義為:其中，n為階數，D0

為截至頻率ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)Butterworth高通濾波器Butterworth高53Butterworth高通濾波器(cont…)ResultsofButterworthhighpassfilteringoforder2withD0=15ResultsofButterworthhighpassfilteringoforder2withD0=80ResultsofButterworthhighpassfilteringoforder2withD0=30ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)Butterworth高通濾波器(cont…)Result54Gaussian高通濾波器Gaussian高通濾波器定義為:D0

為截至頻率ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)Matlab中繪制三維線框圖：example4_5.mGaussian高通濾波器Gaussian高通濾波器定義55Gaussian高通濾波器(cont…)ResultsofGaussianhighpassfilteringwithD0=15ResultsofGaussianhighpassfilteringwithD0=80ResultsofGaussianhighpassfilteringwithD0=30ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)Gaussian高通濾波器(cont…)Resultso56Gaussian高通濾波器Matlab示例example4_7.mGaussian高通濾波器Matlab示例example4_57高通濾波器比較ResultsofidealhighpassfilteringwithD0=15ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)高通濾波器比較Resultsofidealhighp58高通濾波器比較ResultsofButterworthhighpassfilteringoforder2withD0=15Imagestakenfro