第7章數學形態學在圖像處理中的應用第7章數學形態學在圖像處理中的應用17.1數學形態學簡介7.1數學形態學簡介2

7.1數學形態學簡介

7.1數學形態學簡介37.1數學形態學簡介7.1數學形態學簡介4

集合論概念在數字圖像處理的數學形態學運算中，把一幅圖像稱為一個集合，對于一幅圖像A，如果點a在A的區域以內，那么就說a是A的元素，記為a∈A，否則，記作。元素與集合間的關系1.基本符號和定義7.1數學形態學簡介集合論概念元素與集合間的關系1.基本符號和5兩個圖像集合A和B的公共點組成的集合稱為兩個集合的交集，記為A∩B，即A∩B={a｜a∈A且a∈B}。兩個集合A和B的所有元素組成的集合稱為兩個集合的并集，記為A∪B，即A∪B={a｜a∈A或a∈B}。集合的交集與并集集合論概念兩個圖像集合A和B的公共點組成的集合稱為兩個6集合論概念集合論概念77.1數學形態學簡介7.1數學形態學簡介83.平移和對稱集

(1)平移設A是一幅數字圖像，b是一個點，那么定義A被b平移后的結果為A＋b＝{a＋b|a∈A}，即取出A中的每個點a的坐標值，將其與點b的坐標值相加，得到一個新的點的坐標值a+b，所有這些新點所構成的圖像就是A被b平移的結果，記為A+b。7.1數學形態學簡介3.平移和對稱集7.1數學形態學簡介9

3.平移和對稱集

（2）對稱設有一幅圖像B，將B中所有元素的坐標取反，即令(x，y)變成(-x，-y)，所有這些點構成的新的集合，稱為B的對稱集，記作Bv，也稱為反射或映像，記為7.1數學形態學簡介3.平移和對稱集7.1數學形態學簡介107.1數學形態學簡介7.1數學形態學簡介117.1數學形態學簡介結構元素7.1數學形態學簡介結構元素12

7.2圖像處理和數學形態學

7.2圖像處理和數學形態學137.2圖像處理和數學形態學7.2圖像處理和數學形態學147.3基本概念和運算7.3基本概念和運算157.3基本概念和運算7.3基本概念和運算167.3基本概念和運算7.3基本概念和運算17

對于任意一個在陰影部分的點a，Ba包含于X，所以X被B腐蝕的結果就是那個陰影部分。陰影部分在X的范圍之內，且比X小，就象X被剝掉了一層似的，這是叫腐蝕的原因

腐蝕在數學形態學運算中的作用是消除物體邊界點和根據尺寸從二值圖像中消除不相關的細節。7.3基本概念和運算對于任意一個在陰影部分的點a，Ba包含于X，187.3基本概念和運算7.3基本概念和運算19腐蝕示例7.3基本概念和運算腐蝕示例7.3基本概念和運算20腐蝕示例7.3基本概念和運算腐蝕示例7.3基本概念和運算21

7.3基本概念和運算7.3基本概念和運算227.3基本概念和運算7.3基本概念和運算23

圖中X是被處理的對象，B是結構元素，對于任意一個在陰影部分的點a，Bva擊中X，所以X被B膨脹的結果就是陰影部分。就象X膨脹了一圈似的，這就是為什么叫膨脹的原因。膨脹示例7.3基本概念和運算圖中X是被處理的對象，B是結構元素，對于任意24膨脹示例7.3基本概念和運算膨脹示例7.3基本概念和運算25膨脹示例7.3基本概念和運算膨脹示例7.3基本概念和運算26

膨脹的作用是把圖像區域周圍的背景點合并到圖像區域中，其結果是使圖像區域的面積增大相應數量的點。膨脹對填補分割后物體中的空洞很有效。膨脹的作用7.3基本概念和運算膨脹的作用是把圖像區域周圍的背景點合并到圖像27

(a)原始圖像(b)4鄰域膨脹(c)8鄰域膨脹

膨脹處理效果圖膨脹示例7.3基本概念和運算(a)原始圖像28(a)(b)(c)(a)帶有間斷字符的低分辨率示例文本（放大圖），(b)結構元素，(c)通過(b)對(a)膨脹。斷線被連接起來了。膨脹示例7.3基本概念和運算(a)(b)(c)(a)帶有間斷字符的低分辨率示例文本（放大297.3基本概念和運算7.3基本概念和運算30結合律很重要，因為計算膨脹所需要的時間正比于結構元素中的非零像素的個數。例如，考慮一個結構元素大小為5*5，且其元素為1的數組膨脹：這個結構元素可分解為一個值為l的5元素行矩陣和一個值為l的五元素列矩陣。4.結構元素的分解結合律很重要，因為計算膨脹所需要的時間正比于31１)開運算

先腐蝕后膨脹的運算稱為開運算。利用結構元素S對圖像X做開運算，用表示，定義為開運算可以用以下的等價方程表示為開運算可以通過計算所有可以填入圖像內部的結構元素平移的“并”得到。即對每一個可填入做標記，計算結構元素平移到每一個標記位置時的“并”，便可得到開運算結果。5.開運算與閉運算7.3基本概念和運算5.開運算與閉運算7.3基本概念和運算32開運算示例7.3基本概念和運算開運算示例7.3基本概念和運算33二值圖像開運算示意圖開運算示例7.3基本概念和運算二值圖像開運算示意圖開運算示例7.3基本概念和運算347.3基本概念和運算7.3基本概念和運算357.3基本概念和運算7.3基本概念和運算36

閉運算沿圖像的外邊緣轉動圓盤。閉運算對圖像的外部作濾波，僅僅磨光了凸向圖像內部的尖角。閉運算示例7.3基本概念和運算閉運算沿圖像的外邊緣轉動圓盤。閉運算對圖像的377.3基本概念和運算7.3基本概念和運算387.4圖像處理基本形態學算法7.4圖像處理基本形態學算法39

7.4.1腐蝕與膨脹7.4.1腐蝕與膨脹40

其效果相當于半圓形結構元素在被腐蝕函數的下面“滑動”時，其圓心畫出的軌跡。但是，這里存在一個限制條件，即結構元素必須在函數曲線的下面平移。從圖中不難看出，半圓形結構元素從函數的下面對函數產生濾波作用，這與圓盤從內部對二值圖像濾波的情況是相似的。

7.4.1腐蝕與膨脹其效果相當于半圓形結構元素在被腐蝕函數的下面41(a)(b)(c)(a)一個簡單函數，(b)高度A的結構元素，(c)使用(b)中的結構元素對f進行腐蝕7.4.1腐蝕與膨脹(a)(b)(c)(a)一個簡單函數，(b)高度A的結構元素42

采用了一個扁平結構元素對上圖的函數作灰值腐蝕。扁平結構元素是一種在其定義域上取常數的結構元素。注意這種結構元素產生的濾波效果。從上圖可以看到灰度值腐蝕與二值腐蝕之間的一個基本關系：被灰度值腐蝕的定義域等于利用結構元素的定義域作為結構元素，對函數的定義域做二值腐蝕所得到的結果。7.4.1腐蝕與膨脹采用了一個扁平結構元素對上圖的函數作灰值腐蝕43

7.4.1腐蝕與膨脹7.4.1腐蝕與膨脹447.4.1

腐蝕與膨脹7.4.1腐蝕與膨脹45

7.4.2開運算與閉運算7.4.2開運算與閉運算467.4.2開運算與閉運算7.4.2開運算與閉運算477.4.2開運算與閉運算7.4.2開運算與閉運算487.4.2開運算與閉運算7.4.2開運算與閉運算497.4.2開運算與閉運算7.4.2開運算與閉運算507.5形態學的應用7.5形態學的應用511.邊界提取集合A的邊界表示為β(A)，它可以通過先由適當的結構元素B對A腐蝕，而后用A減去腐蝕得到。即：

7.5.1二值形態學算法1.邊界提取7.5.1二值形態學算法527.5.1二值形態學算法7.5.1二值形態學算法532.區域填充一種基于集合膨脹、求補和取交集的區域填充的簡單算法。圖中，A表示一個包含一個子集的集合，子集的元素為8字形的連接邊界的區域。從邊界內的一點p開始，用1填充整個區域。假定所有的非邊界元素（背景）均標記為0，則以將值1賦給p點開始。下列過程將整個區域用1填充：這里X0=p，B是圖中(C)所示的結構元素。如果Xk=Xk-1，則算法在迭代的第k步結束。Xk和A的并集包含被填充的集合和它的邊界。7.5.1二值形態學算法2.區域填充7.5.1二值形態學算法54abcdefghi(a）集合A，(b)A的補集，(c)結構元素B，(d)邊界內的起始點，(e)~(h)運算的各個步驟，(i)最后的結果[(a)和(h)的并集]7.5.1二值形態學算法abc(a）集合A，(b)A的補集，(c)結構元素B，(d)55(a)二值圖像(區域內部的白色點表示區域填充算法的起點)，(b)區域填充的結果，(c)填充所有區域的結果7.5.1二值形態學算法(a)二值圖像(區域內部的白色點表示區域填充算法的起點)，(563.連通分量的提取在二值圖像中提取連通分量是許多自動圖像分析應用中所關注的問題。令Y表示一個包含于集合A中的連通分量，并假設Y中的一點p是已知的。則下面的迭代表達式可得到Y中的所有元素。

這里X0=p，B是一個適當的結構元素。如果Xk=Xk-1，則算法收斂，并且令Y=Xk。7.5.1二值形態學算法3.連通分量的提取7.5.1二值形態學算法57(a)顯示了起始點p的集合A(所有陰影點值為1，但與p的表示不同，以說明這些點還沒有被算法找到)，(b)結構元素，(c)第一次迭代的結果，(d)第2步結果，(e)最終結果7.5.1二值形態學算法(a)顯示了起始點p的集合A(所有陰影點值為1，但與p的表示587.5.2灰度形態學應用7.5.2灰度形態學應用59形態學濾波示例形態學濾波示例60形態學濾波示例形態學濾波示例61

7.5.2灰度形態學應用7.5.2灰度形態學應用62

(a)原始圖像(b)形態學梯度7.5.2灰度形態學應用(a)原始圖像(b)形態學梯度637.5.2灰度形態學應用7.5.2灰度形態學應用643.紋理分割3.紋理分割65

(a)原圖像(b)顯示不同紋理區域間邊界的圖像3.紋理分割(a)原圖像667.5.2灰度形態學應用7.5.2灰度形態學應用677.5.2灰度形態學應用7.5.2灰度形態學應用687.5.2灰度形態學應用7.5.2灰度形態學應用697.5.2灰度形態學應用7.5.2灰度形態學應用707.5.2灰度形態學應用7.5.2灰度形態學應用71