圖15.2彈塑性應力-應變￡=%+勺圖15.2彈塑性應力-應變￡=%+勺桿件的塑性變形15.1概述工程問題中絕大部分構件必須在彈性范圍內工作，不允許出現塑性變形。但有些問題確須考慮塑性變形。15.2金屬材料的塑性性質圖15.1是低碳鋼拉伸的應力-應變曲線。過屈服極限后，應力和應變的關系是非線性的有圖15.1低碳鋼拉伸的應力-應變曲線彈性范圍內，應力和應變之間是單值對應的。塑性階段卻并非如此，應力和應變不再是單值對應的關系（如圖15.2）o下面是兒種常見的塑性材料模型。

o5E.2lo.o.o=一一二=nnnn有時也把應力-應變關系近似地表為慕函數，慕強化材料的應力-應變關系曲線如圖o5E.2lo.o.o=一一二=nnnn<J=C￡n15.3拉伸和壓縮桿系的塑性分析現以圖15.8所示兩端固定的桿件為例來說明靜不定拉壓桿系的塑性分析,當載荷P逐漸增加時，桿件兩端的反力是(a)F力作用點的位移是R.aPabEAEA(a+b)(b)如力>。則&次。隨著P的增加,(a)AC段

如力>。則&次。隨著P的增加,(a)的應力將首先達到屈服極限。若相應的載荷為P',載荷作用點的位移為名，由兩式求得由平衡方程可知R2=P-A(j3載荷作用點。的位移為(c)(d)街段也進入塑性階段時，R=A%,由（。）式求出相應的載荷為圖(P-聯

EA(c)(d)街段也進入塑性階段時，R=A%,由（。）式求出相應的載荷為圖P2=2Abg載荷達到乙后，整個桿件都己進入塑性變形。例18.1在圖15.9。所示靜不定結構中，設三桿的材料相同，橫截面面積同為人。試求使結構開始出現塑性變形的載荷乙、極限載荷Pp。解：以M和州分別表AC和AO桿的軸力，叫表曲桿的軸力。令旦=瓦，

…“Peosta PM=M= z—,N3= —(e)l+2cos。 l+2cos。(e)當載荷逐漸增加時，AB桿的應力首先達到劉，這時的載荷即為由(。)式的第二式得N3=Act.=——5__1+2C0SQ由此解出Pi=Acrs(1+2cos3er)載荷繼續增加，中間桿的軸力憶保持為人氣，兩側桿件仍然是彈性的。直至兩側的桿件的軸力M也達到人久，相應的載荷即為極限載荷乙。這時由節點A的平衡方程知Pp=2Acrscosa+A(7s=A(7s(2cosa+1)加載過程中，載荷P與A點位移的關系已表示于圖15.9人中。15.4軸的塑性扭轉15.4軸的塑性扭轉圓軸受扭時，橫截面上的剪應力沿半徑按線性規律分布，即圖隨著扭矩的逐漸增加，截面邊緣處的最大剪應力首先達到剪切屈服極限八(圖15.10。)。若相應的扭矩為幻，由3)式知亍 1 3匕= =5勿尸％尸2 (b)極限扭矩7p,其值為T?=\^pTzdA取dA=&pdp代入上式后完成積分，得T?=2勿/二3 - (15.4)達到極限扭矩后，軸己經喪失承載能力。例18.2設材料受扭時剪應力和剪應變的關系如圖15.11"所示，并可近似地表為廣=By式中m和B皆為常量。試導出實心圓軸扭轉時應力和變形的計算公式。T(?)圖T(?)圖解：根據圓軸扭轉的平面假設，可以直接引用3.4中的（^）式，求得橫截而上任意點處的剪應變為(d)d（!）式中弘是扭轉角沿軸線的變化率，Q為橫截面上一點到圓心的距離，心即為該點剪應變。（d）式表明，沿橫截面半徑，各點的剪應變是按直線規律變化的（圖15.11^）□由（c）、（d）兩式求出或者寫成(f)4叩(f)ax橫截面上的扭矩應為r=J/"A取dA=宜pdp,并以（f）式代入上式,T="lB"為**婦如為2m+l3m+l川廠3mT="lB"為**婦如為2m+l3m+l川廠3m+1(g)從（八和（g）兩式中消去Idx），得剪應力的計算公式3川+1以房(h)令P=L得最大剪應力為

'maxT3/77+1_Tr3m+1,?■ ■?.，2幾戶m/p4/n當〃7=1時，材料變為線彈性的，上式變為Trmax/p由(。)式知max'maxT3/77+1_Tr3m+1,?■ ■?.，2幾戶m/p4/n當〃7=1時，材料變為線彈性的，上式變為Trmax/p由(。)式知max故有些=d_dxBr1Tr3〃7+1、二——?叭44m積分求得相距為/的兩個橫截面的相對扭轉為1(Tr3w?+1(b=—— —B[I?4m}r當〃7=1,B=G時，上式化為1G/p這就是公式(3.17)o15.5塑性彎曲和塑性釵15.5.1純彎曲根據平面假設，橫截面上距中性軸為y的點的應變為(a)式中Q是曲線的曲率。靜力方程:(b)jadA=0(b)(c)|y<ydA=M(c)在線彈性階段，有Myb=—-/ (d)若以財】表示開始出現塑性變形時的彎距，由(d)式知M、=性Ymax (e)載荷逐漸增加，橫截面上塑性區逐漸擴大，且塑性區內的應力保持為％(圖15.12b)。最后，橫截面上只剩下鄰近中性軸的很小區域內材料是彈性的。此時,無論在拉應力區或壓應力區，都有如以4和4分別表示中性軸兩側拉應力區和壓應力區的面積，則靜力方程(b)化為fadA=fa3dA-fazdA=az(A[-A2)=0JA JA] JA?A=a2若整個橫截面面積為a,則應有A1+A2=A故有A=^2=42 (15.5)極限情況下的彎矩即為極限彎矩Mp,由靜力方程（C）得本_-奇_樣(b)(■)(。)（力圖MP=「)9$〃=%LydA+ydA本_-奇_樣(b)(■)(。)（力圖MP=「)9$〃=%LydA+ydA=%31頊2+人1鳧)A27式中克和界分別是4和去的形心到中性軸的距離。利用公式（18.5）乂可把上式寫成“p=：人％（丸+必）“p=：人％（丸+必）(15.6)【例15.3】在純彎曲情況下，計算矩形截面梁和圓截面梁開始出現塑性變形時的彎矩和極限彎距"p。解：對矩形截面梁（圖15.13）,由（-）式得開始出現塑性變形的彎矩心】為ybh-A/i=—=—^扁x6由公式（15.13）求得極限彎矩Mp為圖Mp=：Abs（^+貝）二：冊％(hh-+-圖Mp=：Abs（^+貝）二：冊％(hh-+-U4bh2——氣4和財p之比為所以從出現塑性變形到極限情況，彎矩增加了50%。對圓截面梁,/crs 汗/虬=一=丁q>max4Mp （丸+貝）=：刀戶％Mp （丸+貝）=：刀戶％?4r4r)——+—3tt3/r；4/些=J.73勿從開始塑性變形到極限情況，彎矩增加70%。155.2橫力彎曲橫力彎曲情況下，彎矩沿梁軸線變化，橫截面上除彎矩外還有剪力。圖15.14〃中陰影線的部分，為梁內形成的塑性區。把坐標原點放在跨度中點，并將坐標為x的橫截面上的應力分布情況放大成圖15.14力。在這一截面的塑性區

內，b=bs；彈性區內,ycy=cyr-—〃為塑性區和彈性區的分界線到中性軸的距離。故截面上的彎矩應為A/=JyadA=2ya3-內，b=bs；彈性區內,ycy=cyr-—〃為塑性區和彈性區的分界線到中性軸的距離。故截面上的彎矩應為A/=JyadA=2ya3-bdy+2[y?crs—?bdyJo(15.7)還可由載荷及反力算出這一橫截面上的彎矩為—-x2)令以上兩式相等，得P(l\J/r——x=b—2U(f)這就是梁內塑性區邊界的方程。設開始出現塑性變形的截面的坐標為。，在（/）h〃=—式中，令x=a, 2,得P(I——a212bh2由此求得塑性區的長度為2a=11-bh2Mmax式中Plbh2Pl隨著載荷的增加，跨度中點截面上的最大彎矩最終達到極限值Mpo15.6梁的塑性分析mPI對圖15.14。中的靜定梁，跨度中點截面上的最大彎矩為皿"—3。當Mm”達

到極限彎矩“P時，梁就在最大彎矩的截面上出現塑性餃。這就是梁的極限狀態,

這時的載荷也就是極限載荷Pp。Mp=——二若梁的截面為矩形， 4。，于是極限載荷為對其他形式的靜定梁，也可按同樣的方法進行塑性分析。以圖15.15〃所示靜不定梁為例，說明靜不定梁塑性分析的特點。根據塑性鉉上的力偶矩為"p,并利用平衡方程，便可求得極限載荷。由圖15.15。/所示極限狀態為例，由段的平衡方程2＞上=0，得B/再由整條梁的平衡方程=0,得TOC\o"1-5"\h\z時 B(a)II ,~~1 T 1 1爰⑴ ‘^rffllTnTnTrTTTT^(d)圖心/一4?+州=0把Rb的值代入上式后，解出%件例15.4在均布載荷作用下的靜不定梁如圖15.16。所示。試求載荷0的極限值％。 一一 q (?> ；I1111I11I川I11I11川11川1川II川II川llllllllC { 1 { 1解：梁的極限狀態一般是跨度AB或跨度變成機構。現將上述兩種情況分別進行討論。要使跨變成機構，除人、8兩截面形成塑性餃外，還必須在跨度內的某一截面。上形成塑性釵(圖15.16力)。由于對稱的原因，塑性校D一定在跨度TOC\o"1-5"\h\zR=R=吸 _中點，且人B2。再由人。部分的平衡方程￡〃如=°，得/ q(l\Ra——2Mp一」一=0A2P2⑵將心代入上式，解出l~ (a)這是使AX跨達到極限狀態時的均布載荷。現在討論跨度BC。要使它變成機構，除支座截面B要成為塑性釵外，還要在跨度內的某一截面E上形成塑性釵。設截面E到支座。的距離為嘰這樣可把跨分成圖15.16d中的和EC兩部分。對這兩部分分別列出以下平衡方程:=0, Mp--a2z >ZmB=0, 2A/p—幺(/一。尸=02 (b)從以上兩式中消去Mp,得a2+2al-l2=QC7=(-1,土V2)/顯然應取VI前的正號，即ci=(V2—1)I將"的值代入(b)式的第一式，即q=7 —=11.6A/p/I2(V2-l；/2 (c)這是使跨達到極限狀態時的均布載荷。比較（a）、（c）兩式，可見整個靜不定梁的極限載荷是％=1166Mp〃二15.7殘余應力的概念載荷作用下的構件，當其某些局部的應力超過屈服極限時，這些部位將出現塑性變形，但構件的其余部分還是彈性的。如再將載荷解除，己經發生塑性變形的部分不能恢復其原來尺寸，必將阻礙彈性部分的變形的恢復，從而引起內部相互作用的應力，這種應力稱為殘余應力。例15.6在矩形截面梁形成塑性區后，將載荷卸盡，試求梁截面邊緣處的應力。設材料是理想彈塑性的。解：當矩形截面梁的橫截面上出現塑性區時，應力分布表示于圖15.14^0根據公式（15.7）,截面上的彎矩為M=b6匚匚s4 3這時梁內的最大應力為％。卸載過程相當于把與上列彎矩數值相等、方向相反的另一彎矩加于梁上，且它引起的應力按線彈性公式計算，即最大應力為M_6布=味圖15.M_6布=味圖15.18殘余應力疊加兩種情況，得截面邊緣處的殘余應力為h2由正彎矩引起的殘余應力，在上邊緣處為拉應力，下邊緣處為壓應力，如圖15.18所示。15.8塑性條件和塑性曲面受力構件一點處的應力狀態，由它的三個主應力來表示。按照第三強度理論，如對主應力的記號采取力2外2%的規定，材料開始屈服的塑性條件為公式（15.2）。如對主應力的記號不采取力2外2貝的規定,即中的任一個都可能是最大或最小的主應力，這時塑性條件（15.2）應寫成------2.3?1bcrb---在二向應力狀態下，馬=0,以上條件變為圖15.19當“3=°時的塑性條件圖15.19當“3=°時的塑性條件圖15.20在主應力空問中的特雷斯卡塑性條件(b)塑性條件（b）在％%平面中是一個六角形，如圖15.19所示。在三向應力的情況下，塑性條件（a）在應力空間中是六個平面。這就是特雷斯卡塑性條件的凡何表示。如圖15.20所示。柱面以內的點代表不發生塑性形變的應力狀態，而柱面上的點代表進入塑性形變的應力狀態