2022年高考數學理科全真模擬試卷及答案（一）

第一部分選擇題（共40分）

一、本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|x=a+（a2-l）i,aeR,i是虛數單位},若A=貝1Ja=（）

A.1B.-1C.±1D.0

解析：若貝故選C.

2.若四邊形A3CD滿足通+而=5,（赤-而）.n=0,則該四邊形，一定是

（）

A.直角梯形B..菱形C.矩形D.正方形

解析：由次+麗=萬可得四邊形ABCD的一組對步:,行且相等，由（運-麗）.而=0可得

四邊形488的對角線互相垂直，所以四邊正為菱形,故選

3.為了解某商品銷售量y（件）與銷售價格x（元/

件）的關系，統計了（x,y）的10組值，并畫

成散點圖如圖，則其回歸方程可能是（）

A.y=-10x-198B.y=-10x+198

C.y=10x+198D.y=10x-198

解析：由歌點圖可知商品銷售量y（代與銷售價格x（元杵）?

具有用續件相關的去系，易知＞“

4.如圖2,正三棱柱ABC-A4G的主視圖（又稱正

視圖）是邊長為4的正方形，

則此正三棱柱的側視圖（又稱左視圖）的面積為

國2

A.16B.273C.4百D.873

解析：其側視圖是長2行寬為4的矩形，故選D.

5.函數y=Asin((yx+°)+&(A>0,0>0,|0|<eR)的部分

圖象如圖所示，則函數表達式為()一

AA.y=c2s?m(/—4x-7-C-.)+{1B.y=2sin(^x-y)

36

C.y=2sm(—x+—)+1D.y-2sm(—x+—)+1

3663

解析：A幺=&--辿.=2,k=Jw士Jmin=1,^T=—-2=

2242

c7TF"2.多一令十】

1y=2sin(gx+同+1,—X2+0=萬,0=

X

6.已知函數f(x)-log3X,若實數與是方程/(x)=0的解,且0＜為＜%o,

則/G)的值()

A.恒為負B.等于零C.不大于零D.恒為

正

解析：在同一坐標系中畫出g(x)=q『與/z(x)=log3”的圖像，易知：

.0<X<X。時，g(x)的圖像恒在〃(x)的圖像上方，故選D.

x>1,

7.已知點M(x,y)滿足.x->+120,若?+y的最小值為3,則a的值為

2x-y-2<Q.

A.1B.2C.3

D.4

解析：由各選項知a取正值，設分+y=z,結合圖形易得當直線y=-tir+z過

點(1,0)時，or+y取得最小值，故a=3,故選C.

8.對于任意實數x,符號表示x的整數部分，即口］是不超過x的最大整

數”。在實數軸R(箭頭向右)上［x］是在點x左側的第一個整數點，當x是

整數時［X］就是X。這個函數［X］叫做“取整函數已知流程圖如右圖所示，

該程序運行后，為使輸出的S值為10,則循環體的判斷框內①處應填

A.5B.6C.7D.8

解析：B當a=l時，S=0；當a=2時，S=l；當a=3時，S=2；當a=4

時，S=4；當a=5時，S=7；當a=6時，S=10.

第二部分非選擇題(110分)

二.填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分。

(―)必做題(9?13題)

9.已知等差數列｛4｝的前10項之和為30,前20項之和為100,則

+〃28-----------------,

a

解析:an+42+……+20=70,,4]+a20=a3+a28=14

22

10.若點P在曲線C]：二=1上，點。在曲線C2：(%-5)2+y2=i上，點

R在曲線C3：(%+5)2+>2=1上，則|PQ|_|pR|的最大值

是.

解析：由雙曲線定義可得：(|PQ|-|PR|)

-=附LxT4L=+i-(|pq-D=io

11.有8本互不相同的書，其中數學書3本，外文書3本，文學書2本.若將

這些書排成一列放在書架上，則數學書恰好排在一起，外文書也恰好排在

一起的排法共有種.(結果用數值表示)

解析：數學書恰好排在一起，外文書也恰好排在一起的排法共有

國?國.A：=864種.

12.在數列｛4｝中，已知q=l,a“+i若不等式3m-224對任何〃eM恒

4+2

成立，則實數m的取值范圍是.

解析：由q=1,%+]=一^?可得：+1=2('+l)n。“=一■"；■<1,不等式

+2%用a,,2-1

n

y-2>an對任何〃wN*恒成立即：

3,n-2>(.—ax=1,故根的取值范圍是

13.某一隨機變量J的概率分布如右表，且云=1.5,則工+2的最小值是

yz

40123

x+

pyz

y

解析；x=—y=z=-由x>0,y>0,z>0;2xi-2y+z=-1,2x+3y+3z=1.5得：y+2z=0.5,i

4r6

112(5+2,匕「產8當丁.時取得等號i,得x=1

故工+—=2tj+2zJ—+-Z=—

yzIyz6

(二)選做題(14?15題，考生只能從中選做一題)

x=4cos^,._,.AG

14.P是橢圓（處J參數）上一點，且在第一象限，0P(0為坐標

y=2y/3sin0

原點)的傾斜角為?，則點尸的直角坐標為

解析：轉化到直角坐標研究易得：P即為

22

橢圓三+匕=1與直線y=在第一象限的交點

1612

/V54岳、

15.如圖，AB是圓O的直徑，CB切圓O于點B,CD

切圓O于點D,交BA延長線于點E,若ED=6,

ZADE=30°,則ABDC的外接圓的直徑為.

解析：連接BD,ED=Q,ZA￡>￡=30。可得NDBA=NDEA=30。

ZDBC=ZBCD=60°,AD=LBD=?：.2R=———=2

sinZBCD

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明

過程和演算步驟.

16.（本題滿分12分）

已知向量加=（sinA2）與〃=（3,sinA+有cosA）共線，其中A是AA5C的內角。

2

（1）求角A的大小；（2）若BC=2,求AABC面積S的最大值.

(1),:m//n.:.sin，,(sinA4/3cosA)—:0........2分

?1—cos2AvG3/八

??-濟-+%2oAA-3一(>A,...4分

BP'^sin2A-leos2AI.即、in(2A-：)=I........5分

LLO

■:AW(0?靠)?：?2A—：￡(—:

oo

故2A=……7分

(2)VBC=2?由余弦定理禮1+/-bc=4?……8分

又h"4C?>2IH.:.bc<M當且僅當bnc時等吩成立)....10分

從而SAAK\bciiiA='；bc&'：X4^\/3.

即△ABC面積S的最大維為箝.……12分

17、（本小題滿分12分）

一種光電打孔識別機對一個七位圓碼進行打孔識別，當某圓處被打穿

時，識別讀為1,當未被打穿時，識別機讀為0,而圓孔是否打穿的概

率是相等的.

（1）求有5個孔被打穿的概率.

（2）如果前兩個孔的讀數是一樣的，求共有5個孔被打穿的概率.

OOOOOOO

解：（1）設事件：有5個孔被打空為A,卿在7次打得中鄴見5次打穿，2次未打穿.

因為打穿與否的概率是相等的，且為2……1分~

9

根據獨立重復試驗概率公式產（工）=?（……5分"

（2）若前兩次的讀數一樣，則可能是前兩次都打卻了，或都未打穿.。

若前2次都打穿，則必須在后〈次中有3次七一,2次未打穿，，

其概率為々§）3（勺2=工……$分"

若前2次都未打穿，則必須在后》次中有5次打穿，P

其概率為舄=工（工）5=_L

,11分〃

42128

：產=月+舄=上+_1_=工

12分a

126410只12只

18.（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,

ZADC=90°,平面，底面ABCD,。為AD的

中點，M是棱尸。上的點，PA=PD=2,BC=-AD=1,

2

CD=6.

（1）若點M是棱尸C的中點，.求證：PA.11平

面BMQ；

（2）求證：平面PQ3_L平面用Q；

（3）若二面角M-BQ-C為30。，設尸試確定f的值.

解：證明：(1)連接AC,交BQ于N,連接MN.。且

即BC&AQ.……2分

四邊形3CQA為平行四邊形，且N為AC中點，

又?.?點M在是棱FC的中點，MN//PA……3分

MNu平面用二平面MQB,朋〃平面MBQ.……4分

(2)VAD//BC,BC=^AD,。為AD的中點，.二四邊形3CQQ為平行

四邊形，...CO〃3。.

ZADC=90°，ZAQB=900即QBLAQ.……6分

又?.?平面弘力,平面ABCD且平面陰。0平面48。。=4。，平面

PAD........7分

,.,BQu平面PQ8,二.平面PQ3_L平面出O.……8分

另證：AD//BC,BC=^AD,。為4D的中點BC//DQ且80。。，

二四.邊形BCQQ為平行四邊形，...CQ〃8Q.……5分

ZADC=90°，ZAQB=900即QBLAD.

'：PA=PD,：.PQLAD.'：PQHBQ=Q,.,.AC平面P3Q........7

分

4Qu平面雨。，平面尸Q?J_平面廿1。.……8分

(3)'：PA=PD,。為AZ)的中點，PQLAD.

?.?平面玄平面ABCD,且平面附DG平面ABCD=AD,平面

ABCD.

(不證明PQ_L平面ABC。直接建系扣1分)如圖，以。為原點建立空間

直角坐標系....9分

則平面BQC的法向量為7=(0,0,1)；

e(0,0,0),P(0,0,百)，8(0,G,o),Ci

設M(x,y,z),貝ljPAY=(x,y,z-G),A

VPM=tMC,：.iy=t(y/3-y),：.

z-y/3-t(-z)

在平面MB。中，QB=(0,V3,0),QN.

...平面MBQ法向量為而=(6,0j).

,二面角M-3Q-C為30。，330。=四=/'=昱，：.，=3.

〃向J3+0+產2

14分

19.（本小題滿分14分）

某公司通過競爭獲得某種品牌產品的經銷權，該品牌產品每件產品的成本

為3元，并且每件產品需向有關機構交a元（3<?<5）的管理費，預計當

每件產品的售價為％元（9人11）時，一年的銷售量為（12-%）2萬件.

（1）求該公司在該項目一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價%的函數

關系式；

（2）當每件產品的售價為多少元時，該公司一年的利潤L最大，并求出

L的最大值Q（a）.

解：(1)該公司一年的利潤L(萬元)與售價x的函數關系式為：，

Z=(x-3-a)(12-x)2,xe[9,ll]3分,

(2)￡,(x)=(12-x)a-2(x-3-a)(12-x)=(12-X)(18+2a-3x).....4分“

2—

令￡'=0得x=6+三《或x=12(不合題意，舍去)....5分8

3

2OR9

-/3<a<5,：,8<6+-a<—.在x=6+上。兩側￡'的值由正變負..........6分〃

333

(I)當846+：a<9即34a時，L(x)<0,=(x)在[9,11]上單調逐遍，……7分。

4ttx=L(9)=(9-3-a)(12-力一=9(6-a).……8分”

9OQQ

(口)當946+為<竺即二時，……9分。

332

xe9,6+|a時，L'(x)>0,￡(外*增；xe15-a.ll時，門(為<0,￡(x)遞減；……io

分。

41K=￡(6+于)=(6+$-二一+=4(3-ga)，……11分,

C

9(6-a),34人不，

2a

所以Q(a)=,13分答:若3<a<:，則當每件售價為9

2

4a<5

2

元時，該公司一年的利潤￡最大值23）=9（6-。）（萬元）；若g4a45’則當每件售價為

6+ga）元時，該公司一年的利潤￡最大值2（a）=（萬元）......14分。

20.（本小題滿分14分）

已知直線/過拋物線/=2pyS>0）的焦點F,且與拋物線交于A,B兩點，Q

是線段AB的中點，M是拋物線的準線與y軸的交點，O是坐標原點.

Q）要件理點分別作該拋物線的切線，兩切線相交于N點，求證：

NQ//OF,MN1OF

（2）若p是不為1的正整數，當蘇./=4p2,AABN的面積的取值范圍

為卜石,20石］時，求：該拋物線的方程.

解：設直線AB的方程為片矮哼,A（xi,yD，B（X2,y2）........1分“

221

由<y-kx+工,^-x-2pkx-p=0,所以X]+X2=2p上，Xj-x2=-p........2分，

x2=2py

11

拋物線的方程可化為y=—x9y=—x9所以以《='，=—>。

2PpP

所以切線NA的方程為歹=至工-紅，切線NB的方程為歹=區X-^L,4分。

P2PP2P

兩方程聯立得及（立父,生土.

,），從而可知N；W，Q點四盤坐標相同，但縱坐標不同，/

22P

所以而〃礪.16分"

又占+向=2pk,Xj-町=~P2，所以N（戚—-）而M..MN=?先,0)?

又0萬=。2），二項麗=0,二痂JL麗.......?7分6

2

（2）因為2164^/3=工1工2+（必+9（丫，「-〈1+上'）工，9+煙（々+芻）+/=7僅2,8

分匚

又肱4.加3=40',/.=4p?9所以2"期-2........9分3

卜公卜y2+乃+。=上（勺+叼）+2p-2k"p+>p=10尹10分d

N（被，—巳）到直線AB片"+工距離d=空,+衛=外華+1=6p

11分/

222JM+1

（或證明沛麗=（句一句）（一尸上+〃左）=0,礪，益.又NF=』p2M+p*=&…???11

分）〃

:￡山=］加|卜母=1島10衣=5島2.……12分P

而Ss的取值范圍是B石,20石］,5不工5而2420、行,即1W/W4.……13分.，

而戶>0,所以l<p<2.又p是不為1的正整數，所以p=2〃

故拋物線的方程為三=4,.……14分〃

21、（本小題滿分14分）

已知函數/。）=92+3,數列｛q｝的前11項和為50,點（〃,5“）（〃€叱）均在函數y=/（x）

的圖象上。

（1）求數列｛4｝的通項公式小

(2)令2=含，求數列電｝的前幾項和。

⑶證明：對一切neN*,都有也＜』一＜V3.

an-1

解：(D?.?點5，SJ宙(x)的圖象上,正。

當正之2時，aK=SK-=?4-1；...1分v

當力=1時，工