1隨機信號隨機變量試驗A的結果隨機出現，稱為隨機變量X，它任意一個取值為x。隨機變量的分布函數定義：FX(x)=P(X

x)離散隨機變量的分布函數設X的取值為：x1

x2…xixn，其取值的概率分別為p1,p2,…,pi,…,pn，則有2連續隨機變量的分布函數：

當x連續時，由定義分布函數定義

FX(x)=P(X

x)

可知，FX(x)為一連續單調遞增函數：32.3.2

隨機變量的概率密度連續隨機變量的概率密度pX(x)pX(x)的定義：pX(x)的意義：pX(x)是FX(x)的導數，是FX(x)曲線的斜率能夠從pX(x)求出P(a<X

b)：4常見隨機變量分布正態分布隨機變量定義：概率密度式中，

>0,a=常數概率密度曲線：5均勻分布隨機變量定義：概率密度

式中，a，b為常數概率密度曲線：bax0pA(x)6第六章基本的數字調制系統6.1帶通調制載波調制：用基帶數字信號去調制載波載波的振幅、頻率、相位可用于攜帶基帶信號正余弦載波 或 式中，A

－振幅(V)；f0

－頻率(Hz)；

0=2f0

－角頻率(rad/s)；

為初始相位(rad)。3種基本調制：振幅調制（鍵控）ASK頻移調制（鍵控）FSK相移調制（鍵控）PSK7“1”“1”“0”TTT“1”“1”“0”86.2二進制振幅鍵控(2ASK)

6.2.1基本原理表示式：其中振幅為基帶碼元波形，例單極性矩形波：

二種調制方法:相乘電路：基帶碼元波形可以是非矩形的開關電路：基帶波形是矩形的相乘器cos0ts(t)A(t)cos0ts(t)A(t)9解調方法：包絡檢波法（非相干解調）－不利用載波相位信息：包絡檢波器全波整流帶通濾波低通濾波抽樣判決定時脈沖s(t)A(t)相干解調法－利用載波相位信息：10相干載波cos0t相乘電路帶通濾波低通濾波抽樣判決定時脈沖s(t)A(t)116.2.2調制信號頻譜----功率密度譜

功率譜密度其中ST(f)是信號的幅度密度譜2ASK信號 則可得出：其中PA(f)－基帶信號A(t)的功率譜密度；

Ps(f)－調制信號s(t)的功率譜密度。12PA(f)的推導：由式(5.5-29)： 式中，fc

＝1/T

基帶單極性波形為：

設基帶信號為矩形脈沖，

當n

0時，G(nfc)=0。當P=1/2時，f/fcPA(f)(a)功率譜密度PA(f)的曲線13則Ps(f)調制信號頻譜分析調制信號帶寬是原信號帶寬的兩倍是碼元速率的兩倍

(b)功率譜密度Ps(f)的曲線146.2.3誤碼率 接收信號:

式中，s(t)是調制信號，n(t)是噪聲∵n(t)是一個窄帶高斯過程，可分解為

代入，得到y(t)：15

相干解調法的誤碼率： 抽樣判決處的電壓x(t)為 式中，nc(t)－高斯過程。

∴當發送“1”時，x(t)的概率密度等于： 當發送“0”時，x(t)的概率密度等于：h*Pe0p0(x)p1(x)Pe1hA16令h為判決門限發送的“1”錯判為“0”的概率等于：“0”錯判為“1”的概率等于：當發送1和0的概率各為1/2，總誤碼率為：最佳門限值h*=A/2當信噪比r>>1時h*Pe0p0(x)p1(x)Pe1hA17包絡檢波法的誤碼率

∵輸出是其輸入電壓y(t)的包絡，故有

假定判決門限值等于h，并規定當V>h時，判為收到“1”；當V

h時，則判為“0”。可以計算出，當大信噪比時，誤碼率為：186.3二進制頻移鍵控(2FSK) 6.3.1基本原理表示式：產生方法：調頻法： 相位連續開關法： 相位不連續19調頻器A(t)s(t)A(t)開關電路頻率源1頻率源0s(t)f1f020接收方法：相干接收：非相干接收：包絡檢波法：定時脈沖低通濾波低通濾波抽樣判決輸出帶通濾波f0帶通濾波f1輸入相乘相乘cos0tcos1tV0(t)V1(t)y1(t)y0(t)帶通濾波f0帶通濾波f1包絡檢波包絡檢波抽樣判決定時脈沖輸入輸出V0(t)V1(t)21過零點檢測法帶通濾波放大限幅低通微分整流脈沖展寬abcedf22 6.3.2功率譜密度

∵開關法產生的2FSK信號可以看作是兩個不同頻率2ASK信號的疊加： 式中，

∴2FSK信號的功率譜密度是兩個不同頻率2ASK信號的功率譜密度之和

∵2ASK信號的功率譜密度可以表示為：

∴2FSK信號的功率譜密度可以表示為：23曲線：帶寬：fsfs=(f0+f1)/2ff1+fcf0-fcf0f12fcf1fsff0fs=(f0+f1)/2fcf1+fcf0-fcfs=(f0+f1)/2f1+fcf0-fc24 6.3.3最小頻率間隔----兩個載頻頻率的最小間隔 在原理上，若兩個信號互相正交，就可以把它完全分離。2FSK信號為 為滿足正交條件： 可推出： 上式積分結果為： 第1和3項近似等于零，則化簡為25對于非相干解調：1和0任意，故須滿足： 和即： 和 為了同時滿足這兩個要求，應當令 即所以，最小頻率間隔為1/T。對于相干解調：可令于是，式化簡為：因此，要求滿足：即，最小頻率間隔等于1/2T

。266.3.3相干檢測法的誤碼率

2FSK調制信號為：若信道無噪聲，則接收以后：發送1時，f1這路的輸出V1=A；f0這路的輸出V0=0發送0時，f1這路的輸出V1=0；f0這路的輸出V0=A由于噪聲必然存在：

因此，抽樣判決是比較兩路電壓V1

與

V0的高低。

若V1

>V0，則判斷f1這路有信號；反之，則f0這路有信號。定時脈沖低通濾波低通濾波抽樣判決輸出帶通濾波f0帶通濾波f1輸入相乘相乘cos0tcos1tV0(t)V1(t)y1(t)y0(t)27

噪聲干擾后的接收信號以發送碼元1為例，兩路接收信號為：它們和本地載波相乘，并經過低通濾波后，得出 和若V1<V0時，將發生誤碼：28

V1的均值為A，方差為n2；V0的均值為0，方差也為n2

。

令(A+n1c-n0c)=z，則z也是高斯隨機變量，其均值等于A，方差為

于是，有

式中，

∵Pe0和Pe1相等，故總誤碼率為：296.4二進制相移鍵控(2PSK) 6.4.1基本原理表示式： 式中， 或30波形－“101”整數個周期：圖a和c

相位不連續多半個周期：圖b和d

相位連續TTT“1”“1”“0”(c)(d)TTT(a)(b)“1”“0”“1”31產生方法：相乘法： 用雙極性不歸零信號A(t)去和載波相乘。選擇法：用開關電路去選擇相位相差的同頻載波。32解調方法：必須采用相干接收法。難點：第一，接收端需要同頻同相的載波。 第二，波形長時間連續時，無法辨認碼元的起止時刻。解決辦法： 采用差分相移鍵控(DPSK)體制。本地載波提取帶通濾波低通濾波相乘抽樣判決V(t)33 6.4.2功率譜密度

2PSK信號表示式 可見它是兩個同載頻2ASK信號的和，振幅分別取A和-A。

與2ASK信號（基帶為單極性）對比： 式中，Vs.

34

同樣，設“1”和“0”等概率出現，P=?

且都基帶信號都為矩形脈沖。

可得到2PSK信號功率譜：1.基帶為雙極性，因此無直流；則調制后無離散譜2.連續譜部分相同，帶寬相同

對比2ASK信號功率譜

35(a)2ASK信號的功率譜密度(b)2PSK信號的功率譜密度362PSK和2ASK信號波形關系A2AA(a)2ASK(c)載波(b)2PSK37 6.4.3誤碼率

抽樣判決電壓為

由于噪聲是高斯分布，可以得到抽樣電壓的概率密度圖為： 與2ASK相同，最佳判決電平為曲線交界點：V=0本地載波帶通低通相乘抽樣判決V(t)0A-APe0Pe1V38

將“0”（發送電壓為A）錯判為“1”的概率等于 將“1”(發送電壓為-A)錯判為“0”的概率等于

可見：Pe0=Pe1，陰影面積相等。

圖中左半陰影面積為：

因此，總誤碼率等于：或

396.5二進制差分相移鍵控(2DPSK)

6.5.1基本原理表示式： 設為當前碼元和前一碼元的相位之差： 則，信號可以表示為 式中，0

＝2f0為載波的角頻率；

為前一碼元的相位。 例：000000

0

0

02DPSK碼元相位(+)0初始相位

00

0

00

0111001101111001101基帶信號40

矢量圖A方式：可能長時間無相位突跳點B方式：相鄰碼元之間必定有相位突跳。000/2-/2參考相位參考相位(a) A方式 (b)B方式41間接法產生2DPSK信號從接收碼元觀察：不能區分2DPSK和2PSK信號 若碼元相位為：

0

0

0

發2DPSK信號時:A=111001101（初相0） 發2PSK信號時：B= 101110110（1）若將待發送的序列A，先變成序列B，再對載波進行2PSK調制，結果和用A直接進行2DPSK調制一樣:

基帶序列： A= 111001101 （絕對碼） 變換后序列：B=(0)101110110 （相對碼）2PSK調制后的相位:(0)000變換規律： 絕對碼元“1”使相對碼元改變； 絕對碼元“0”使相對碼元不變。42變換方法：用一個雙穩態觸發器間接法2DPSK信號調制器原理方框圖碼變換器（雙穩觸發器）絕對碼相對碼A(t)載波移相s(t)碼變換432DPSK信號的解調相位比較法： 缺點：對于延遲單元的延時精度要求很高，較難作到。相干解調法：先把接收信號當作絕對相移信號進行相干解調，解調后是相對碼，再將此相對碼作逆碼變換，還原成絕對碼。s0(t)相乘帶通濾波低通濾波抽樣判決V(t)延遲Ts(t)A(t)s1(t)本地載波提取相乘帶通濾波低通濾波抽樣判決逆碼變換44逆碼變換器脈沖展寬逆碼變換器微分整流cbabc 111001101（絕對碼）a (0)101110110（相對碼）(a)原理方框圖(b)波形圖456.5.2功率譜密度

2DPSK信號的功率譜密度和2PSK信號的功率譜密度完全一樣。6.5.3誤碼率相位比較法的誤碼率：相比較的相鄰碼元都含有噪聲。 設連續接收兩個碼元“00”，則有 式中，s0(t)－前一接收碼元經延遲后的波形；

s1(t)－當前接收碼元波形。s0(t)相乘帶通濾波低通濾波抽樣判決V(t)延遲Ts(t)A(t)s1(t)46

這兩個碼元，經過相乘和低通濾波后，得到 規則判決： 若V>0，則判為“0”，即接收正確； 若V<0，則判為“1”，即接收錯誤。 所以，在當前發送碼元為“0”時，錯誤接收概率等于 利用恒等式 上式可以改寫為 或者寫為： 式中，47

－服從廣義瑞利分布： －服從瑞利分布： 將f(R1)式和f(R2)式代入 得出 積分結果等于： 式中，48

當發送碼元“1”時，誤碼率相同，故有

∴當發送“0”和“1”的概率相等時，總誤碼率為49相干解調（極性比較）法的誤碼率： 由上圖可見，解調過程的前半部分和相干解調方法的完全一樣，故現在只需考慮由逆碼變換器引入的誤碼率。

本地載波提取相乘帶通濾波低通濾波抽樣判決逆碼變換50逆碼變換規律：無誤碼時： 輸出絕對碼元是相鄰兩個相對碼元取值的?！?”和。有1個誤碼時： 將產生兩個誤碼有2個誤碼時： 仍將產生兩個誤碼有一串誤碼時： 仍將產生兩個誤碼111001101(絕對碼)(0)101110110(相對碼)110

011101(絕對碼)(0)100

010110(相對碼)110

101101（絕對碼）(0)100110110（相對碼）110

001100

(絕對碼)(0)100

0

0

1

0

00（相對碼）(a)無誤碼時(b)有1個誤碼時(c)有2個誤碼時(d)有一串誤碼時51由逆碼變換器引入的誤碼率 設：Pn

－逆碼變換器輸入n個連續錯碼的概率，

Pe－逆碼變換器輸出端的誤碼率，則有

∵Pn是剛好連續n個碼元出錯的概率。這意味著，在這出錯碼元串外兩端的相鄰碼元必須是不錯的碼元，∴

式中，Pe為逆碼變換器輸入信號的誤碼率。將上式代入Pe表示式，得到： 將等比級數公式 代入上式，得到： 當Pe很小時， 當Pe很大時，即Pe1/2時，

52相干解調（極性比較）法的最終誤碼率 將2PSK信號相干解調時的誤碼率公式 代入 得到 或 當Pe很小時，有

53【例6.3】假設要求以1Mb/s的速率用2DPSK信號傳輸數據，誤碼率不超過10-4，且在接收設備輸入端的白色高斯噪聲的單邊功率譜密度n0等于110-12W/Hz。試求：（1）采用相位比較法時所需接收信號功率；（2）采用極性比較法時所需接收信號功率。

解：現在碼元速率為1MB。2DPSK信號的帶寬和2ASK信號的帶寬一樣，所以接收帶通濾波器的帶寬等于

B

2/T=2106Hz

帶通濾波器輸出噪聲功率等于采用相位比較法時：按照要求

從而得到要求信噪比:

及要求信號功率:54采用極性比較法時：按照同樣要求 即 由誤差函數表查出要求： 故要求信號功率556.6二進制數字鍵控傳輸系統性能比較誤碼率曲線-6-30369121518信噪比r(dB)110-110-210-310-410-510-610-7Pe非相干ASK相干ASK非相干FSK相干FSK相干DPSK非相干DPSKPSK56誤碼率公式

式(6.4-13)相干2PSK

式(6.5-25)相干2DPSK

式(6.5-15)非相干2DPSK

式(6.3-28)相干2FSK

式(6.3-37)非相干2FSK

式(6.2-28)相干2ASK

式(6.2-49)非相干2ASK誤碼率公式鍵控方式576.7多進制數字鍵控

6.7.0

碼元信噪比r： －信號碼元功率和噪聲功率之比 －碼元能量和噪聲單邊功率譜密度之比 對于M進制，1碼元中包含k比特的信息：k=log2

M

碼元能量E平均分配到每比特的能量Eb等于E/k，故有 式中，rb是每比特的能量和噪聲單邊功率譜密度之比。 在研究不同M值下的誤碼率時，適合用rb為單位來比較。586.7.1多進制振幅鍵控(MASK)多電平單極性不歸零信號

MASK信號 （圖a圖b）多電平雙極性不歸零信號 抑制載波MASK信號 （圖c圖d）圖示為4ASK信號： 每碼元含2比特(a)基帶多電平單極性不歸零信號(b)MASK信號0010110101011110000t0t0101101010111100000101101010111100000t00000t01011010101111(c)基帶多電平雙極性不歸零信號(d)抑制載波MASK信號59MASK信號帶寬

MASK信號可以看成是多個2ASK信號的疊加。

∴兩者帶寬相同。MASK信號的頻帶利用率，超過奈奎斯特準則： 基帶信號－2b/sHz 2 ASK信號－1b/sHzMASK信號缺點： 受信道衰落影響大。0t0101101010111100000t01011010101111000001010t10101011110000001t1010101111000060抑制載波MASK信號的誤碼率 式中，M－進制數，或振幅數；

r－信號平均功率與噪聲功率比。當M=2時，上式變成 即2PSK相干解調誤碼率公式。110-110-210-310-410-510-6Per(dB)616.7.2多進制頻移鍵控(MFSK)基本原理MFSK的碼元采用M個不同頻率的載波。設f1為其最低載頻，fM為其最高載頻，則MFSK信號的帶寬近似等于fM-f1+f，其中f是單個碼元的帶寬，它決定于信號傳輸速率。TTTTf3f1f2f462非相干解調時的誤碼率MFSK信號非相干解調器的原理方框圖M個帶通濾波器的輸出中僅有一個是信號加噪聲，其他各路都是只有噪聲。故這(M-1)路噪聲的包絡都不超過某個門限電平h的概率等于 式中，P(h)－1路濾波器的輸出噪聲包絡h的概率。V1(t)帶通濾波f1抽樣判決包絡檢波帶通濾波fM包絡檢波定時脈沖輸入輸出VM(t)::63設M路帶通濾波器中的噪聲是互相獨立的窄帶正態分布噪聲，則其包絡服從瑞利分布。由瑞利分布公式，有 式中，N－濾波器輸出噪聲的包絡；

n2

－濾波器輸出噪聲的功率。若有任意1路或1路以上輸出噪聲的包絡超過門限h就將發生錯誤判決，則此錯判的概率將等于h值如何決定?

有信號的帶通濾波器的輸出電壓是信號和噪聲之和，其包絡服從廣義瑞利分布： 式中，x－輸出信號和噪聲之和的包絡；

A－輸出信號振幅；n2

－輸出噪聲功率。64

若其他任何路的輸出電壓值超過了這路有信號的輸出電壓值就將發生錯判，故輸出信號和噪聲之和x就是上面的門限值h。發生錯誤判決的概率： 將前3式代入上式，得到：上式是一個正負交替的多項式，可以證明它的第1項是它的上界，即有

65

可以改寫為

將r=krb，代入上式得出 在上式中用M代替(M-1)/2，右端的值將增大，但是此不等式仍然成立，所以有式中利用了關系：由上式可以看出，當k

時，Pe按指數規律趨近于0，但要保證：上式條件要求信噪比rb保證大于1.39。66碼元錯誤率Pe和比特錯誤率Pb之間的關系 假設：當一個M進制碼元發生錯誤時，將隨機地錯成其他(M-1)個碼元之一。 在任一給定比特的位置上，出現“1”和“0”的碼元各占一半，即出現信息“1”的碼元有M/2種，出現信息“0”的碼元有M/2種。

例：M

＝8，M=2k，k=3， 在任一列中均有4個“0”和4個“1”。 一般而言，在一個給定的碼元中，任一比特 位置上的信息和其他(2k-1–1)種碼元在同一位置 上的信息相同，和其他2k-1種碼元在同一位置上 的信息則不同。所以，比特錯誤率Pb和碼元錯誤 率Pe之間的關系為 當k很大時，M＝80000100120103011410051016110711167Pe~rb

曲線rb(dB)Pe68相干解調時的誤碼率：計算結果如下由圖可見，當信息傳輸速率和誤碼率給定時，增大M值可以降低對信噪比rb的要求。誤碼率上界：非相干和相干接收 誤碼率比較： 當k>7時，兩者的區別可以忽略。Perb(dB)69 6.7.3多進制相移鍵控(MPSK)基本原理：MPSK信號碼元可以表示為 式中，k－受調制的相位，其值決定于基帶碼元的取值；

A－信號振幅，為常數；

k=1,2,…,M。 令A=1，然后將其展開寫成 式中， 由上式看出，M-PSK信號碼元可以看作是兩個正交的MASK信號碼元之和。因此，其帶寬和后者的帶寬相同。70正交相移鍵控(QPSK)編碼規則：A和B兩種編碼方式格雷(Gray)碼規律：相鄰k之間僅差1比特。

格雷碼優點：誤比特律小。abkA方式B方式0002251090315111804501270135序號格雷碼二進制碼12340000001000110001000000010010001056780101011101100100010001010110011191011121314151611001110111111011001101110101000100010011010101111001101111011110111001045參考相位00101101參考相位

(a)A方式

(b)B方式

71產生方法第一種方法：相乘法 二進制碼元“1”

雙極性脈沖“+1”

二進制碼元“0”

雙極性脈沖“-1”cos(0t+/2)=-sin0t載波產生相乘電路相乘電路/2移相串/并變換相加電路cos0tA(t)s(t)圖6.7.8第一種QPSK信號產生方法ab01110010a(1)a(0)b(1)b(0)B方式編碼

72第二種方法：選擇法串/并變換串/并變換帶通濾波串/并變換1432ab73解調方法－相干解調載波提取相乘低通抽判/2相乘低通抽判并/串A(t)s(t)abcos0t-sin0t定時提取74誤碼率若發送信號“11”的相位為45，則判決門限應該設在0和90。設：f()－接收矢量相位的概率密度，則錯誤概率等于： 上式計算結果為：誤比特率由解調方框圖可見，正交的兩路相干解調方法和2PSK中采用的解調方法一樣。所以其誤比特率的計算公式也和2PSK的誤碼率公式一樣。0111001090075MPSK信號的誤碼率 當信噪比r足夠大時，Perb

（dB）766.7.4多進制差分相移鍵控(MDPSK)基本原理 以4進制DPSK(QDPSK)信號為例

表中k是相對于前一相鄰碼元的相位變化abkA方式0001090111800127077產生方法 相乘的信號應該是不歸零二進制雙極性矩形脈沖“+1”和“-1”，對應關系是： 二進制碼元“0”“＋1”

二進制碼元“1”“－1”abcd碼變換相加電路s(t)A(t)串/并變換-/4載波產生相乘電路相乘電路/4A方式編碼78當前輸入的一對碼元及要求的相對相移前一時刻經過碼變換后的一對碼元及所產生的相位當前時刻應當給出的變換后一對碼元和相位ak

bkkck-1

dk-1k-1ck

dkk00000101101090180270010110109018027010900010110109018027010110100901802700111800010110109018027011010010180270090012700010110109018027001001011270090180QDPSK碼變換關系:

79解調方法極性比較法 和QPSK信號極性比較法解調相似，只多一步逆碼變換，將相對碼變成絕對碼。圖6.7.15A方式QDPSK信號解調方法bacdA(t)-/4相乘電路相乘電路/4s(t)低通濾波低通濾波抽樣判決抽樣判決并/串變換逆碼變換定時提取載波提取80碼變換原理設第k個接收信號碼元可以表示為 相乘電路的相干載波 上支路：

下支路： 相乘電路輸出：上支路：下支路：經過低通濾波后，上支路： 下支路：81

判決規則： “＋