線性系統的根軌跡分析法第1頁，課件共102頁，創作于2023年2月回顧與展望線性系統分析的三種方法：時間域法根軌跡法頻域法時間域法：特點：直觀、準確，能提供系統時間響應的全部信息。內容：穩定性分析－充要條件（閉環系統特征根均具有負 實部） 勞斯穩定判據（勞斯表首列各值為正）－用閉環特 征方程構造勞斯表赫爾維茨判據（行列式法）－用閉環特征方程構造 行列式第2頁，課件共102頁，創作于2023年2月準確性分析－穩態誤差的計算動態性能分析－系統動態性能隨系統閉環極點位置變化的規律；附加開環零極點對系統性能的影響；附加閉環零極點對系統性能的影響。2、根軌跡法－分析和設計LTI系統的圖解方法，使用十分簡便， 特別在進行多回路系統分析時，應用根軌跡法比用 其它方法更為方便，因此在工程實踐中獲得了廣泛 應用。第3頁，課件共102頁，創作于2023年2月學習目的及要求：

掌握根軌跡的基本概念掌握控制系統根軌跡的繪制方法能夠運用根軌跡法對控制系統進行分析明確等效開環傳遞函數的概念，能正確繪制出不同參量變化對系統根軌跡圖第4頁，課件共102頁，創作于2023年2月重點難點重點：根軌跡的繪制

利用根軌跡分析控制系統關鍵點：特征方程幅值條件，相角條件第5頁，課件共102頁，創作于2023年2月學習方法通過具體習題練習

掌握根軌跡繪制方法，不要死記硬背各種繪制法則，要多總結歸納典型極、零點分布對根軌跡的大致圖形。學會利用MATLAB軟件繪制系統根軌跡的方法。用學習第6頁，課件共102頁，創作于2023年2月一、根軌跡的概念根軌跡：開環系統某一參數從零變到無窮時，閉環系統特征方程式的根（閉環系統的極點）在S平面上變化的軌跡。ks(0.5s+1)例試分析右圖所示系統的閉環特征方程式的根隨系統開環增益K的變化在S平面的分布情況。§4－1根軌跡法的基本概念第7頁，課件共102頁，創作于2023年2月K=0時，s1=0,s2=－20＜k＜0.5時，兩個負實根；若s1=－0.25,s2=?K=0.5時，s1=s2=－10.5＜k＜∞時，s1,，2=－1±j√2k－1特征根：s1,2=－1±√1－2k特征方程：S2+2s+2k=0第8頁，課件共102頁，創作于2023年2月-2-10j-1-221K=0K=0K=0.5K=1K=1K=2.5K=2.5KK注意：K一變，一組根變；K一停，一組根停；一組根對應同一個K；根軌跡與系統的性能1、穩定性2、穩態性3、動態性能第9頁，課件共102頁，創作于2023年2月二、閉環零極點與開環零極點之間的關系通常系統的開環零、極點是已知的，因此建立開環零、極點與閉環零、極點之間的關系，有助于閉環系統根軌跡的繪制。R(s)C(s)G(s)H(s)第10頁，課件共102頁，創作于2023年2月系統的開環傳遞函數為閉環系統根軌跡增益＝開環系統前向通路根軌跡增益。當H(S)=1時，閉環系統根軌跡增益＝開環系統根軌跡增益。2)閉環零點的組成：開環前向通路的零點、反饋通路的極點。當H(S)=1時，閉環零點就是開環零點。3)閉環極點與開環零點、開環極點以及根軌跡增益K*有關。第11頁，課件共102頁，創作于2023年2月根軌跡法的基本任務：如何由已知的開環零點、極點的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環極點，并根據閉環極點的分布對系統性能進行分析。一旦確定閉環極點后，閉環傳遞函數的形式便不難確定，可直接由下式求得：在已知閉環傳遞函數的情況下，閉環系統的時間響應可利用拉氏反變換的方法求出，或利用計算機直接求解。第12頁，課件共102頁，創作于2023年2月三、根軌跡方程系統閉環傳遞函數為：系統閉環極點即為特征方程的解：根軌跡方程只要系統閉環特征方程可以化為此形式，都可以繪制根軌跡，其中處于變動地位的實參數，不限定是根軌跡增益K*，也可以是其它變動參數。但是開環零極點的在S平面的位置必須是確定的，否則無法繪制根軌跡。第13頁，課件共102頁，創作于2023年2月模值條件相角條件第14頁，課件共102頁，創作于2023年2月

綜上分析，可以得到如下結論：⑴繪制根軌跡的相角條件與系統開環根軌跡增益值的大小無關。即在s平面上，所有滿足相角條件點的集合構成系統的根軌跡圖。即相角條件是繪制根軌跡的充要條件。⑵繪制根軌跡的幅值條件與系統開環根軌跡增益值的大小有關。即值的變化會改變系統的閉環極點在s平面上的位置。⑶在系數參數全部確定的情況下，凡能滿足相角條件和幅值條件的s值，就是對應給定參數的特征根，或系統的閉環極點。⑷由于相角條件和幅值條件只與系統的開環傳遞函數有關，因此，已知系統的開環傳遞函數便可繪制出根軌跡圖。第15頁，課件共102頁，創作于2023年2月§4－2常規根軌跡的繪制法則

通常，我們把以開環根軌跡增益為可變參數繪制的根軌跡叫做普通根軌跡（或一般根軌跡）。繪制普通根軌跡的基本法則主要有8條：根軌跡的起點與終點；根軌跡的分支數、對成性和連續性；實軸上的根軌跡；根軌跡的漸近線；根軌跡在實軸上的分離點；根軌跡的起始角和終止角；根軌跡與虛軸的交點;根之和。第16頁，課件共102頁，創作于2023年2月法則一根軌跡的起點與終點幅值條件可寫成

當，必須有此時，系統的閉環極點與開環極點相同(重合)，我們把開環極點稱為根軌跡的起點，它對應于開環根軌跡增益。當時，必須有，此時，系統的閉環極點與開環零點相同(重合)，我們把開環零點稱為根軌跡的終點，它對應于開環根軌跡增益。第17頁，課件共102頁，創作于2023年2月下面分三種情況討淪。1．當m=n時，即開環零點數與極點數相同時，根軌跡的起點與終點均有確定的值。2．當m<n時，即開環零點數小于開環極點數時，除有m條根軌跡終止于開環零點(稱為有限零點)外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠點(稱為無限零點)。3．當m>n時，即開環零點數大于開環極點數時，除有n條根軌跡起始于開環極點(稱為有限極點)外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠點(稱為無限極點)。這種情況在實際的物理系統中雖不會出現，但在參數根軌跡中，有可能出現在等效開環傳遞函數中。第18頁，課件共102頁，創作于2023年2月結論：根軌跡起始于開環極點，終止于開環零點（)；如果開環極點數n大于開環零點數m，則有n-m條根軌跡終止于s平面的無窮遠處(無限零點)，如果開環零點數m大于開環極點數n，則有m-n條根軌跡起始于s平面的無窮遠處(無限極點)。第19頁，課件共102頁，創作于2023年2月法則二根軌跡的分支數、連續性和對稱性根軌跡的分支數即根軌跡的條數。既然根軌跡是描述閉環系統特征方程的根（即閉環極點）在S平面上的分布，那么，根軌跡的分支數就應等于系統特征方程的階數。系統開環根軌跡增益(實變量）與復變量s有一一對應的關系，當由零到無窮大連續變化時，描述系統特征方程根的復變量s在平面上的變化也是連續的，因此，根軌跡是n條連續的曲線。由于實際的物理系統的參數都是實數，若它的特征方程有復數根，一定是對稱于實軸的共軛復根，因此，根軌跡總是對稱于實軸的。結論：根軌跡的分支數等于系統的閉環極點數。根軌跡是連續且對稱于實軸的曲線。第20頁，課件共102頁，創作于2023年2月法則三實軸上的根軌跡若實軸上某線段右側的開環零、極點的個數之和為奇數，則該線段是實軸上的根軌跡。例設系統的開環傳遞函數為

其中、、、、為實極點和實零點，為共軛復數零、極點，它們在s平面上的分布如圖4-4所示，試分析實軸上的根軌跡與開環零點和極點的關系。第21頁，課件共102頁，創作于2023年2月解：實軸上的根軌跡必須滿足繪制根軌跡的相角條件，即在確定實軸上的根軌跡上時，可以不考慮復數開環零、極點對相角的影響。選擇so作為試驗點開環極點到s0點的向量的相角為θi開環零點到s0點的向量的相角為Φi實軸上，s0點左側的開環極點P4和開環零點z3構成的向量的夾角均為零度，而s0點右側的開環零點z1

、z2和開環零點p1構成的向量的夾角均為180o。若s0為根軌跡上的點，必滿足p1p2p3p4z1s0j0θ1=Φ2=θ2Φ3=0z3θ3Φ1=θ4=0z2結論：只有s0點右側實軸上的開環極點和開環零點的個數之和為奇數時，才滿足相角條件。第22頁，課件共102頁，創作于2023年2月第23頁，課件共102頁，創作于2023年2月第24頁，課件共102頁，創作于2023年2月法則四根軌跡的漸近線當開環極點數n大于開環零點數m時，系統有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠處，這n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此，浙近線也有n-m條，且它們交于實軸上的一點。漸近線與實軸的交點位置和與實軸正方向的交角分別為第25頁，課件共102頁，創作于2023年2月設開環傳遞函數為

開環極點數n=2,開環零點數m=0,n-m=2,兩條漸近線在實軸上的交點位置為

它們與實軸正方向的交角分別為第26頁，課件共102頁，創作于2023年2月例已知系統的開環傳遞函數為

試畫出該系統根軌跡的漸近線。解對于該系統有n=4，m=1，n-m=3；三條漸近線與實軸交點位置為

它們與實軸正方向的交角分別是

swj-4-3-2-10BCAas60o60o300oas180o第27頁，課件共102頁，創作于2023年2月法則五根軌跡的分離點和分離角分離點：兩條或兩條以上的根軌跡分支在S平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌跡的分離點。若根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環極點之間（其中一個可以是無限極點），則在這兩個極點之間至少存在一個分離點；若根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環零點之間（其中一個可以是無限零點），則在這兩個零點之間也至少有一個分離點。如圖4-5上的分離點d1和d2。分離點也可能以共軛形式成對出現在復平面上，如圖4-6中的分離點A和B。顯然，復平面上的分離點表明系統特征方程的根中至少有兩對相等的共軛復根存在。d1d2圖4-5實軸上根軌跡的分離點圖4-6復平面上的分離點AB第28頁，課件共102頁，創作于2023年2月根軌跡的分離點，實質上就是系統特征方程的等實根（實軸上的分離點）或等共軛復根（復平面上的分離點）系統的特征方程可寫成分離點方程分離點方程的另一種形式當開環系統無有限零點時，則上式應寫為：分離角：根軌跡進入分離點的切線方向與分離點的切線方向之間的夾角。第29頁，課件共102頁，創作于2023年2月只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點。若在這些根中有共軛復根，如何判斷是否在根軌跡上，是一個比較復雜的問題，由于只有當開環零、極點分布非常對稱時，才會出現復平面上的分離點（如圖4-6所示）.因此，用觀察法可大體上判斷，然后將其代入特征方程中驗算，即可確定。例如：當系統開環傳遞函數為時，系統根軌跡分離點方程為：解方程得：d＝－1，由于實軸上的根軌跡為（－2，0）段，由此可見d=－1位于根軌跡上，故，根軌跡分離點為：d＝－1第30頁，課件共102頁，創作于2023年2月例4－1設某單位負反饋系統的開環傳遞函數為：試繪制其概略根軌跡。解：1）由規則1)、2)可知：共有3條根軌跡，分別始于S=0、S＝－2、S＝－3其中一條止于S＝－1處，兩條趨于無窮遠處。2）實軸上的根軌跡：(-1,0)、（－3，－2）。3）漸近線：4）分離點：swj0-3-2-1第31頁，課件共102頁，創作于2023年2月例已知系統的開環傳遞函數為

試求出系統根軌跡與實軸的交點。解本系統無有限開環零點，其根軌跡分離點坐標滿足：

解方程得：

由規則五知，實軸上的根軌跡為-1到-2線段和-3到-∞線段。不在上述兩線段上，應舍去。是實軸根軌跡上的點，所以是根軌跡在實軸上的分離點。運用前面的六條規則，可繪制如圖4-7所示的根軌跡圖。第32頁，課件共102頁，創作于2023年2月法則六根軌跡的起始角和終止角當開環傳遞函數中有復數極點或零點時，根軌跡是沿著什么方向離開開環復數極點或進入開環復數零點的呢？這就是所謂的起始角和終止角問題,先給出定義如下：⑴起始角：根軌跡離開開環復數極點處在切線方向與實軸正方向的夾角。⑵終止角：根軌跡進入開環復數零點處的切線方向與實軸正方向的夾角。第33頁，課件共102頁，創作于2023年2月第34頁，課件共102頁，創作于2023年2月法則七根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點就是閉環系統特征方程的純虛根（實部為零）。這時，用s=j代入特征方程可得:由此可得虛部方程和實部方程：解虛部方程可得角頻率c，即根軌跡與虛軸的交點的坐標值；用c代入實部方程，可求出系統開環根軌跡增益的臨界值Kc。Kc的物理含義是使系統由穩定（或不穩定）變為不穩定（或穩定）的系統開環根軌跡增益的臨界值。它對如何選擇合適的系統參數、使系統處于穩定的工作狀態有重要意義。第35頁，課件共102頁，創作于2023年2月例：設系統開環傳遞函數為試繪制閉環系統的概略根軌跡。1-1-1-20swj-3解：1）確定實軸上的根軌跡：2）確定根軌跡的漸近線：3）確定根軌跡的分離點：第36頁，課件共102頁，創作于2023年2月1-1-1-20swj-34）確定根軌跡的起始角：量測各向量相角，得：5）確定根軌跡與虛軸的交點：第37頁，課件共102頁，創作于2023年2月以上七條規則是繪制根軌跡圖所必須遵循的基本規則。此外，尚須注意以下幾點規范畫法。⑴根軌跡的起點（開環極點Pi)用符號“X”標示；根軌跡的終點(開環零點Zi)用符號“o”標示。⑵根軌跡由起點到終點是隨系統開環根軌跡增益K*值的增加而運動的，要用箭頭標示根軌跡運動的方向。⑶要標出一些特殊點的K*值，如起點（K*=0)，終點（K*

)；根軌跡在實軸上的分離點d(K*=K*d)；與虛軸的交點c（K*=Kc）。還有一些要求標出的閉環極點S1及其對應的開環根軌跡增益K1，也應在根軌跡圖上標出，以便于進行系統的分析與綜合。第38頁，課件共102頁，創作于2023年2月第39頁，課件共102頁，創作于2023年2月繪制根軌跡圖示例例4－7已知系統的開環傳遞函數為

試繪制該系統完整的根軌跡圖。解（1）該系統的特征方程為

這是一個三階系統，由規則一知，該系統有三條根軌跡在s平面上。⑵由規則二知，三條根軌跡連續且對稱于實軸。⑶根軌跡的起點是該系統的三個開環極點，即 P1=0P2=-1P3=-2由于沒有開環零點（m=0）,三條根軌跡的終點均在無窮遠處。第40頁，課件共102頁，創作于2023年2月當k=0時

當k=1時

當k=2時⑷由規則四知，可求出根軌跡三條漸近線的交點位置和它們與實軸正方向的交角。第41頁，課件共102頁，創作于2023年2月⑸由規則五知，實軸上的根軌跡為實軸上P1到P2的線段和由P3至實軸上負無窮遠線段。⑹由規則六知，根軌跡與實軸的交點（分離點）是方程

解的合理值，解得

不在實軸的根軌跡上，舍去；實際的分離點應為⑺無復數開環極點和零點，不存在起始角和終止角。第42頁，課件共102頁，創作于2023年2月解虛部方程得其中1=0是開環極點P1對應的坐標值，它是根軌跡的起點之一。合理的交點應為將代入實部方程得到對應的開環根軌跡增益的臨界值Krc=6。繪制出該系統的根軌跡圖如圖4-11所示。⑻由規則八，可求出根軌跡與虛軸的交點c及對應的開環根軌跡增益的臨界值Krc。用s=j代入特征方程得第43頁，課件共102頁，創作于2023年2月swj-1-20()01=rKP()03=rKP)(02=rKPrK1d+60o-60o第44頁，課件共102頁，創作于2023年2月解(1)是一個二階系統，在S平面上有兩條連續且對稱于實軸的根軌跡。(2)由開環傳遞函數可知，該系統有一個開環實零點z1=-2和一對開環共軛復數極點P1,2=-1±j,根軌跡的起點為P1(Kr=0)和P2(Kr=0)，其終點為Z1(Kr)和無窮遠點。(3)由規則五知，實軸上由-2至-∞的線段為實軸上的根軌跡。(4)由規則六，可求出根軌跡與實軸的交點（分離點）。分離點方程是例4-8已知系統的開環傳遞函數為

試繪制該系統的根軌跡圖。

第45頁，課件共102頁，創作于2023年2月即解方程可得d2=-0.586不在實軸上的根軌跡上，舍去，實際的分離點為d1。⑸由規則七，可求出開環復數極點（根軌跡的起點）的起始角。第46頁，課件共102頁，創作于2023年2月證明已知系統的開環零點和極點分別為，，令s=u+jv為根軌跡的任一點，由相角條件可得

將s、、和代入得即應用三角公式（6）為準確地畫出S平面上根軌跡的圖形，運用相角條件可證明本系統在S平面上的根軌跡是一個半徑為，圓心位于點（－2，j0)的圓弧。第47頁，課件共102頁，創作于2023年2月將上式等號左邊合并可得到

將上式等號兩邊取正切，則有方程表示在S平面上的根軌跡是一個圓心位于點（－2，j0)、半徑為的圓弧。由此，可畫出根軌跡的準確圖形如圖4-12所示。第48頁，課件共102頁，創作于2023年2月由本例不難發現，由兩個開環極點（實極點或復數極點）和一個開環實零點組成的二階系統，只要實零點沒有位于兩個實極點之間，當開環根軌跡增益由零變到無窮大時，復平面上的閉環根軌跡，是以實零點為圓心，以實零點到分離點的距離為半徑的一個圓（當開環極點為兩個實極點時）或圓的一部分（當開環極點為一對共軛復數極點時）。這個結論在數學上的嚴格證明可參照本例進行。第49頁，課件共102頁，創作于2023年2月前面介紹的普通根軌跡或一般根軌跡的繪制規則是以開環根軌跡增益K*為可變參數的，大多數系統都屬于這種情況。但有時候，為了分析系統方便起見，或著重研究某個系統參數(如時間常數、反饋系數等)對系統性能的影響，也常常以這些參數作為可變參數繪制根軌跡，我們把以非開環根軌增益作為可變參數繪制的根軌跡叫做參數根軌跡(或廣義根軌跡)。一.參數根軌跡§4－3廣義根軌跡第50頁，課件共102頁，創作于2023年2月例4-10已知系統的開環傳遞函數為

試繪制以時間常數T為可變參數的根軌跡。解⑴系統的特征方程或

第51頁，課件共102頁，創作于2023年2月令

則有：

為系統的等效開環傳遞函數。在等效開環傳遞函數中，除時間常數T取代了普通根軌跡中開環根軌跡增益的位置外，其形式與繪制普通根軌跡的開環傳遞函數完全一致，這樣便可根據繪制普通根軌跡的七條基本規則來繪制參數根軌跡。

(2)系統特征方程的最高階次是3，由規則一和規則二知，該系統有三條連續且對稱于實軸的根軌跡，根軌跡的終點(T=∞)是等效開環傳遞函數的三個零點，即Z1=Z2=0，Z3=-1；本例中，系統的等效開環傳遞函數的零點數m=3,極點數n=2，即m＞n。第52頁，課件共102頁，創作于2023年2月與n＞m情況類似，這時可認為有m-n條根軌跡起始于S平面的無窮遠處（無限極點）。因此，本例的三條根軌跡的起點(T=0)分別為P1=-0.5+j0.866，P2=-0.5-j0.866，和無窮遠處（無限極點）。

由規則六可求出兩個起始角分別為由規則三知，實軸上的根軌跡是實軸上-1至-∞線段。第53頁，課件共102頁，創作于2023年2月由規則七可求出根軌跡與虛軸的兩個交點，用s=j代入特征方程得由此得到虛部方程和實部方程分別為解虛部方程得的合理值為，

代入實部方程求Tc=1秒，所以c=1為根軌跡與虛軸的兩個交點。第54頁，課件共102頁，創作于2023年2月圖4-14例4-10系統的根軌跡圖第55頁，課件共102頁，創作于2023年2月由根軌跡圖可知，時間常數T=Tc=1秒時，系統處于臨界穩定狀態，T>1秒時，根軌跡在S平面右半部，系統不穩定。由此可知，參數根軌跡在研究非開環根軌跡增益對系統性能的影響是很方便的。由上面的例子，可將繪制參數根軌跡的方法歸納為下述兩個步驟：(1)先根據系統的特征方程1+G(s)H(s)=0求出系統的等效開環傳遞函數G’(s)H’(s)，使G’(s)H’(s)與繪制普通根軌跡的開環傳遞函數有相同的形式，即第56頁，課件共102頁，創作于2023年2月其中為除開環根軌跡增益以外的任何參數,它是繪制參數根軌跡的可變參數。⑵根據繪制普通根軌跡的七條基本規則和等效開環傳遞函數繪制出系統的參數根軌跡。（注：此處的零極點是等效開環傳遞函數的零極點）第57頁，課件共102頁，創作于2023年2月二正反饋系統的根軌跡正反饋系統的特征方程是即由此可得到繪制正反饋系統根軌跡的幅值條件和相角條件分別為

與負反饋系統根軌跡的幅值條件和相角條件相比知，正反饋系統和負反饋系統的幅值條件相同；第58頁，課件共102頁，創作于2023年2月負反饋系統的根軌跡遵循180°相角條件，而正反饋系統的根軌跡遵循0°相角條件。故正反饋系統根軌跡又稱為零度根軌跡。由于相角條件不同，在繪制正反饋系統根軌跡時，須對前面介紹的繪制負反饋系統普通根軌跡的七條基本規則中與相角條件有關的三條規則作相應修改，這些規則是:(1)正反饋系統根軌跡的漸近線與實軸正方向的夾角應為

第59頁，課件共102頁，創作于2023年2月⑵正反饋系統在實軸上的根軌跡是那些在其右側的開環實零點和開環實極點的總數為偶數或零的線段。⑶正反饋系統的起始角和終止角應為

下面通過示例進一步說明正反饋系統根軌跡的繪制方法。第60頁，課件共102頁，創作于2023年2月例4-11已知正反饋系統的開環傳遞函數為

試繪制該系統的根軌跡圖。

解：由修改后的規則三知，實軸上的根軌跡是由0至+∞線段和由-1至-2線段。由修改后的規則四知，漸近線與實軸正方向的夾角分別是0°（k=0）、120°（k=1）和-120°（k=2）。第61頁，課件共102頁，創作于2023年2月

在例4-7中，由規則五求出的極值方程的解有兩個，即d1=-0.42和d2=-1.58，對于例4-7的負反饋系統，d1是根軌跡與實軸交點的合理值，因為它是實軸上根軌跡上的一點；d2不在實軸的根軌跡上，故在例4-7中被舍去。這種情況在本例中正好相反，由于是正反饋系統，實軸上的根軌跡改變了，d2=-1.58在實軸的根軌跡上，它是根軌跡與實軸交點（分離點）的合理值，而d1=-0.42不在實軸的根軌跡上，應舍去。由此可見，雖然規則五沒有改變，但在確定分離點時，應考慮規則三變化的影響。第62頁，課件共102頁，創作于2023年2月

本例無共軛復數開環零、極點，不存在起始角和終止角問題，根軌跡與虛軸也無交點。本例的根軌跡如圖4-16所示。由圖4-16可看出，三條根軌跡中，有一條從起點到終點全部位于S平面右半部，這就意味著無論Kr為何值，系統都存在S平面右半部的閉環極點，該正反饋系統總是不穩定的。而有相同開環傳遞函數的負反饋系統(例4-7，圖4-1l)，它的臨界根軌跡增益Krc=6，即當Krc>6時系統是不穩定的，當Krc<6時系統是穩定的。第63頁，課件共102頁，創作于2023年2月圖4-16正反饋系統的根軌跡第64頁，課件共102頁，創作于2023年2月三非最小相位系統的根軌跡

所謂非最小相位系統，是指那些在S平面右半部有開環極點和（或)開環零點的控制系統。所有開環零點和極點都位于S平面左半部的系統叫最小相位系統。本章前面介紹的示例都是最小相位系統。非最小相位系統一詞源于對系統頻率特性的描述，即在正弦信號的作用下，具有相同幅頻特性的系統（或環節），最小相位系統的相位移最小，而非最小相位系統的相位移大于最小相位系統的相位移。該非最小相位系統除了有位于s平面右半部的開環零、極點外，其繪制根軌跡的規則和步驟與最小相位系統完全相同。需要指出的是，如果非最小相位系統是正反饋系統，在繪制根軌跡時應遵循前面介紹的0°相角條件第65頁，課件共102頁，創作于2023年2月圖4-17非最小相位系統的根軌跡第66頁，課件共102頁，創作于2023年2月4.4線性系統的根軌跡分析法

自動控制系統的穩定性，由它的閉環極點唯一確定，其動態性能與系統的閉環極點和零點在S平面上的分布有關。因此確定控制系統閉環極點和零點在S平面上的分布，特別是從已知的開環零、極點的分布確定閉環零、極點的分布，是對控制系統進行分析必須首先要解決的問題。解決的方法之一，是第三章介紹的解析法，即求出系統特征方程的根。解析法雖然比較精確，但對四階以上的高階系統是很困難的。第67頁，課件共102頁，創作于2023年2月

根軌跡法是解決上述問題的另一途徑，它是在已知系統的開環傳遞函數零、極點分布的基礎上，研究某—個和某些參數的變化對系統閉環極點分布的影響的一種圖解方法。由于根軌跡圖直觀、完整地反映系統特征方程的根在S平面上分布的大致情況，通過一些簡單的作圖和計算，就可以看到系統參數的變化對系統閉環極點的影響趨勢。這對分析研究控制系統的性能和提出改善系統性能的合理途徑都具有重要意義。下面通過示例簡要介紹用根軌跡分析控制系統的方法。

第68頁，課件共102頁，創作于2023年2月例4-13已知單位反饋系統的開環傳遞函數為

試根據系統的根軌跡分析系統的穩定性和計算閉環主導極點具有阻尼比=0.5時系統的動態性能指標。

解⑴先根據系統的開環傳遞函數和繪制根軌跡的基本規則繪制出系統的根軌跡圖。系統的特征方程是或第69頁，課件共102頁，創作于2023年2月由規則一、二知該系統有四條連續且對稱于實軸的根軌跡，起點分別是系統的四個開環極點，即P1=0，P2=－1，P3=－2，P4=－3；且四條根軌跡都趨向無窮遠處。由規則三知實軸上的根軌跡是由0至-1線段和由-2至-3線段。由規則四可求出四條漸近線與實軸的交點為-1.5，它們與實軸正方向的夾角分別是45o和135o。由規則六可求出根軌跡與實軸的兩個交點（分離點）分別為d1=-0.38，d2=－2.62。第70頁，課件共102頁，創作于2023年2月

由勞斯判據求根軌跡與虛軸的交點，先根據特征方程列出勞斯表S4111KrS3660S210Kr0S1(60-6Kr)/100S0Kr

由S1行的首項系數求得Krc=10，用S=j和Krc=10

代入S2行輔助方程得到根軌跡與虛軸的交點為c=1。繪制出根軌跡的大致圖形如圖4-18所示。第71頁，課件共102頁，創作于2023年2月圖4-18例4-13的根軌跡圖第72頁，課件共102頁，創作于2023年2月⑵系統穩定性分析由根軌跡圖知，有兩條從S平面左半部穿過虛軸進入S平面右半部，它們與虛軸的交點c=1，且交點處對應的臨界開環根軌跡增益Krc=10。由開環根軌跡增益Krc與系統開環放大系數K之間的關系可求出系統穩定的臨界開環放大系數Kc=10/6=1.67秒－1。⑶系統動態性能指標首先求出滿足阻尼比=0.5時系統的主導極點S1、S2的位置（假定S1、S2滿足主導極點的條件）。方法是作等阻尼比線oA，使oA與實軸負方向的夾角第73頁，課件共102頁，創作于2023年2月等阻尼比線oA與根軌跡的交點S1即為滿足阻尼比=0.5系統的一個閉環極點（即系統特征方程的一個根）。測得S1在s平面上的坐標位置為S1=-0.3+j0.52,由根軌跡的對稱性得到另一共軛復數極點為S2=-0.3-j0.52。由幅值條件可求出閉環極點S1所對應的系統開環根軌跡增益K為K=|S1||S1+1||S1+2||S1+3|=6.35將S1、S2和K代入特征方程，由根和系數之間關系很容易得到另外兩個閉環極點S3、S4，它們也是一對共軛復數極點S3,4=-2.7j3.37

由此可計算出第74頁，課件共102頁，創作于2023年2月共軛復數極點S3,4與虛軸的距離是共軛復數極點S1,2與虛軸的距離的九倍，且閉環極點S1,2附近無閉環零點，這說明S1、S2滿足主導極點的條件。該系統可近似成由閉環主導極點構成的一個二階系統，其閉環傳遞函數為此時對應的系統開環放大系數第75頁，課件共102頁，創作于2023年2月過渡過程時間

超調量

峰值時間

由此可求出系統的各項動態指標如下：第76頁，課件共102頁，創作于2023年2月⑴根據系統的開環傳遞函數和繪制根軌跡的基本規則繪制出系統的根軌跡圖。⑵由根軌跡在s平面上的分布情況分析系統的穩定性。如果全部根軌跡都位于s平面左半部，則說明無論開環根軌跡增益為何值，系統都是穩定的；如根軌跡有一條（或一條以上）的分支全部位于s平面的右半部，則說明無論開環根軌跡增益如何改變，系統都是不穩定的；如果有一條（或一條以上）的根軌跡從s平面的左半部穿過虛軸進入s面的右半部（或反之），而其余的根軌跡分支位于s平面的左半部，則說明系統是有條件的穩定系統，即當開環根軌跡增益大于臨界值Krc時系統便由穩定變為不穩定（或反之）。此時，關鍵是求出開環根軌跡增益的臨界值Krc。這為分析和設計系統的穩定性提供了選擇合適系統參數的依據和途徑。通過上面的示例可以將用根軌跡分析自動控制系統的方法和步驟歸納如下：第77頁，課件共102頁，創作于2023年2月⑶根據對系統的要求和系統的根軌跡圖分析系統的瞬態響應指標。對于一階、二階系統，很容易在它的根軌跡上確定對應參數的閉環極點，對于三階以上的高階系統，通常用簡單的作圖法（如作等阻尼比線等）求出系統的主導極點（如果存在的話），將高階系統近似地簡化成由主導極點（通常是一對共軛復數極點）構成的二階系統，最后求出其各項性能指標。這種分析方法簡單、方便、直觀，在滿足主導極點條件時，分析結果的誤差很小。如果求出離虛軸較近的一對共軛復數極點不滿足主導極點的條件，如它到虛軸的距離不小于其余極點到虛軸距離的五分之一或在它的附近有閉環零點存在等，這時還必須進一步考慮和分析這些閉環零、極點對系統瞬態響應性能指標的影響。第78頁，課件共102頁，創作于2023年2月二.附加開環零、極點對根軌跡的影響

1.附加開環零點對根軌跡的影響例4-14已知系統的開環傳遞函數為

（a＞0）試用根軌跡法分析系統的穩定性。如果給該系統增加一個開環零點，試分析附加開環零點對根軌跡的影響。第79頁，課件共102頁，創作于2023年2月圖4-19原系統的根軌跡wjs[s]3aa-)0(2=rKP)0(1=rKP)0(3=rKP0解⑴原系統的根軌跡如圖4-19所示。由于根軌跡的兩條分支全部位于s平面的右半部，故該系統無論Kr為何值都是不穩定的。第80頁，課件共102頁，創作于2023年2月⑵若給原系統增加一個負開環實零點Z1=-b（b＞0），則開環傳遞函數為

圖4-20(a)附加開環零點對根軌跡的影響b＜a（a）swj[s]1P2P3P1Z)0(=rK)0(=rK)0(=rK)(=rK2ba--b-a-0當b＜a時，根軌跡漸近線與實軸的交點為，它們與實軸正方向的夾角分別為90°和-90°，三條根軌跡均在s平面左半部（如圖4-20（a）所示）。這時，無論根軌跡增益Kr為何值，系統都是穩定的。第81頁，課件共102頁，創作于2023年2月圖4-20(b)附加開環零點對根軌跡的影響swj[s]1P2P3P1Z)0(=rK2a-b-a-b＞a0當b＞a時，根軌跡的漸近線與實軸的交點為，根軌跡如圖4-20（b）所示，與原系統比較，雖然根軌跡的形狀發生了變化，但仍有兩條根軌跡全部位于s平面右半部，系統仍然是不穩定的。第82頁，課件共102頁，創作于2023年2月由上面的分析可以看出，附加開環零點可使原來不穩定的系統變成穩定系統，但附加零點的取值要適當，否則便達不到預期的目的。例4-15已知系統的開環傳遞函數為

試分析附加開環零點對系統性能的影響。第83頁，課件共102頁，創作于2023年2月圖4-21例4-15原系統根軌跡wjs1P2P3P0rcKrcK[s]解⑴原系統的根軌跡如圖4-21所示，由圖4-21可看出，當系統開環根軌跡增益Kr>Krc時，該系統有兩條根軌跡進入S平面右半部成為不穩定系統。第84頁，課件共102頁，創作于2023年2月

⑵給原系統增加一附加負實零點Z1（Z1<0），系統的開環傳遞函數為此時，開環傳遞函數分子與分母的最高階次分別為n=3，m=1；n-m=2。因此根軌跡漸近線與實軸正方向的夾角分別為90°和-90°，兩條漸近線垂直于實軸，它們與實軸的交點坐標位置視附加零點的取值而改變，分別討論如下。第85頁，課件共102頁，創作于2023年2月

（ⅰ）當時，漸近線與實軸的交點

漸近線位于S平面右半部，根軌跡如圖4-22（a）所示。比較原系統的根軌跡（圖4-21），雖然右邊兩條根軌跡形狀發生了變化，但它們仍進入了平面右半部，當 時(為增加了開環零點后的開環根軌跡與虛軸交點對應的臨界值)，系統仍是不穩定的系統。1z1p2p3prcKrcK0wjs[s]圖4-22(a)例4-15中不同附加開環零點對根軌跡的影響第86頁，課件共102頁，創作于2023年2月（ⅱ）當P3<Z1<P2<0時，漸近線與實軸的交點

漸近線位于S平面左半部，根軌跡如圖4-22（b）所示。此時系統的三條根軌跡全部位于S平面左半部，無論Kr為何值，系統都是穩定的系統。

1z1p2p3p1rK0wjs[s]1rK1s2snxwnw圖4-22(b)例4-15中不同附加開環零點對根軌跡的影響第87頁，課件共102頁，創作于2023年2月1z1p2p3prK’rK’0wjs[s]rK’1s2s3s（ⅲ）當P3<P2<Z1<0時，漸近線與實軸的交點也小于零，根軌跡如圖4-22（c）所示。圖4-22(c)例4-15中不同附加開環零點對根軌跡的影響第88頁，課件共102頁，創作于2023年2月比較圖4-22（b）和4-22（c）會發現，前者的漸近線離虛軸的距離較后者近。因此，雖然從系統的穩定性角度看，二者是一樣的，即無論Kr為何值系統都是穩定的。但從簡化系統以便于分析系統的瞬態性能的角度看，條件（ⅱ）所對應的圖4-22（b）則優于條件（ⅲ）所對應的圖4-22（c）。這是因為圖4-22（b）右邊兩條進入復平面的根軌跡離虛軸較近，容易在其上面找到一對滿足主導極點條件的共軛復數極點S1,2（對應K’r），這時便可將系統簡化成閉環傳遞函數為的二階系統，而圖4-22（c）所示系統不能滿足這樣的簡化條件。1z1p2p3prK’rK’0wjs[s]rK’1s2s3s1z1p2p3p1rK0wjs[s]1rK1s2snxwnw1z1p2p3prcKrcK0wjs[s]第89頁，課件共102頁，創作于2023年2月如圖4-22（c）所示，如果S1、S2、S3分別為對應的系統參數K’r的三個閉環極點，由于Re[S1,2]＞Re[S3]，共軛復數極點S1、S2不滿足主導極點條件，系統不能簡化成二階系統。但如果在圖4-22（c）中，閉環實極點S3到虛軸的距離比閉環共軛復數極點S1、S2到虛軸的距離小五倍以上，也可將系統簡化為由閉環實極點S3決定的一階系統。綜上分析，我們可以得到如下兩點結論：1z1p2p3prK’rK’0wjs[s]rK’1s2s3s第90頁，課件共102頁，創作于2023年2月

⑴附加負實零點具有將S平面上的根軌跡向左“拉”的作用，且附加零