直接證明和間接證明1．直接證明知識(shí)梳理內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論_____從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的_____條件，直到最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止成立充分2.間接證明

間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法． (1)反證法的定義：假設(shè)原命題_______(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明____________的證明方法． (2)用反證法證明的一般步驟：①反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②歸謬——根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推出矛盾為止；③結(jié)論——斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立．不成立原命題成立1．判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)

精彩PPT展示 (1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明． () (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件． () (3)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a<b”． () (4)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾．()診斷自測(cè)××××2．(2014·山東卷)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是(

) A．方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根

解析因?yàn)椤胺匠蘹3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x3＋ax＋b＝0的實(shí)根的個(gè)數(shù)大于或等于1”，所以要做的假設(shè)是“方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根”．

答案A3．設(shè)a＝lg2＋lg5，b＝ex(x<0)，則a與b的大小關(guān)系為 (

) A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≤b

解析a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex，當(dāng)x<0時(shí)，0<b<1，

∴a>b.

答案A4．若a，b，c為實(shí)數(shù)，且a<b<0，則下列命題正確的是 (

) A．a(chǎn)c2<bc2 B．a(chǎn)2>ab>b2

解析a2－ab＝a(a－b)，

∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，

∴a2>ab.①

又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②

由①②得a2>ab>b2.

答案B5．(人教A選修2－2P96例1改編)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為_(kāi)_______．

答案等邊三角形考點(diǎn)一綜合法的應(yīng)用【例1】設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：

證明(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，

即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

規(guī)律方法用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，綜合法的適用范圍：(1)定義明確的問(wèn)題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無(wú)條件的等式或不等式；(2)已知條件明確，并且容易通過(guò)分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型．在使用綜合法證明時(shí)，易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是因果關(guān)系不明確，邏輯表達(dá)混亂．考點(diǎn)二分析法的應(yīng)用【例2】已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.

證明要證明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，

只需證：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，

即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，

即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.

∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，

從而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，

∴2a3－b3≥2ab2－a2b.

規(guī)律方法(1)分析法采用逆向思維，當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過(guò)程中所需要用的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，從正面不易推導(dǎo)時(shí)，常考慮用分析法．(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵在于需保證分析過(guò)程的每一步都是可逆的，它的常用書(shū)面表達(dá)形式為“要證……只需證……”或用“?”．注意用分析法證明時(shí)，一定要嚴(yán)格按照格式書(shū)寫(xiě)．證明

∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要證原不等式成立，只需證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，故原不等式得證．考點(diǎn)三反證法的應(yīng)用【例3】設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列． (1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式； (2)設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列． (1)解設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，

當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.① qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，

規(guī)律方法用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的．【訓(xùn)練3】已知a≠0，證明關(guān)于x的方程ax＝b有且只有一個(gè)根．

假設(shè)x1，x2是它的兩個(gè)不同的根，即ax1＝b，

① ax2＝b，

②

由①－②得a(x1－x2)＝0，

因?yàn)閤1≠x2，所以x1－x2≠0，

所以a＝0，這與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．

所以當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax＝b有且只有一個(gè)根.[思想方法]1．綜合法的特點(diǎn)是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的必要條件．

分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件．2．分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)．分析法思考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，但不便于思考．實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來(lái)．3．利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要假設(shè)