?電容(

)導體得到單位q

電勢所必須給予的電量C

==

4pe

RU

qU0出發從定義式

C

=通過等效變換基本聯接電容器聯接C1

C2

C3U1UU3+--

+-

+U

2q1q3+

C1-q2

--+

C2+

C3Uq

=

q1

=

q

2

=

=

qnq

=

q1

+

q

2

+

+

qnU

=

U

1

+

U

2

+

+

U

nU

=

U

1

=

U

2

=

=

U

n121

111n=

+C

C

C+

+CC

=

C

1

+

C

2

+

+

C

n電

量電

壓等效電容電壓電流分配律C由

U

=q反比例分配電壓按電容由

q

=

CU

電荷按電容正比例分配示例示例?電容器相關研究++++++-

+

-

+

-

+-

+

-

+

-

+-

+

-

+

-

+-

+

-

+

-

+-

+

-

+

-

+-

+

-

+

-

+------++++++0電介質的介電常數定義為E

0e

=E

0

-

E

￠E

￠de0eS

EC

=21122Q22C=W

=

UQ

=

CU到例４到例6示例sED

S由高斯定理,無限大均勻帶電平面的電場由eF=

s

DSe0E

=

F

e=

s2DS

2e0Q-Q兩面積S、間距d平行板電容器當帶電荷量Q時，板間電場由電場疊加原理可得為s

s2e0

e0=E

=

2兩板間電勢差0sU

=

de0dQ

s

Sdee0

S=則C

=

=U

s++++

+++

+n￥

)rii由高斯定理,在距球心r

處場強ei0

iqe

4p

r

2FE

==DS在距球心ri處取Dr

=RA

-RB

(n

fiDr其上場強視作恒定,則元電勢差為0

iine

4p

r

2q

RA

-

RBU

=電容器兩極間電勢差為2nqnfi

￥

i

=1

e0

4p

riDrU

=

lim

20nqe

4p

nfi

￥i=1Dr=

lim

22limn

nirnfi

￥

i

=1nfi

￥

i

=1

(Dr

Dr

RA

+

iDr

)=

lim

(

)()nAAnfi

￥i

=1DrR

+

iDr()

()1

1

11

1111nnAAAA

AARR

+

iRR

Rnnfifi

￥￥i

=i

=11+---Dr

+-

DDrr+

D+riDrR+

2DrRA

+

(n

-

1)DrRB

+e

4p

R

R

q

1

1 =

-

ri

0

A B

0R

+

iDr

-ADr

B

BA==

lliimm

U-=

lim

Q

R

RR==

4pe-

R則CRRBOA兩個半徑均為R的導體球相互接觸形成一孤立導體，試求此孤立導體的電容．O1RO1O2解題方向:若能確定系統電勢為U時的電量Q,可由定義求得C考慮其中1球,電勢為U時,電量URk+q1

=+q1O2R+q1引入同樣的第2球,1球將電勢疊加,+q1為維持U,q1R-q2

=

-

2

rO1

=

2+q1對稱地,為維持球2電勢U,亦設置像電荷予以抵消為抵消像電荷引起的電勢,再設置3+q

=

2

q1

=

q13O

2r

=

2R-q2+q-3q4-q+4

q3-q23

2

31

1

12

3

4Q

=

2q1

1

-+

-

+UR=

(2

ln

2)

k下一級像電荷C

=8(ln2)pe0R專題18-例2半徑分別為a和b的兩個球形導體，相距很遠地放置，分別帶有電荷qa、qb，現用一金屬導線連接，試求連接后每球上的電荷量及系統的電容.解題方向:系統總電量守恒，只要確定導線連接后系統的電勢,可由定義求得C設連接后兩球各帶電qa￠

qb￠由電荷守恒有qa￠+

qb￠=

qa

+

qbkqa￠

kqb￠由等勢且相距很遠

= =

Ua

b解得)aabaq￠=(q

+

qa

+

b(

)abk

q+

qa

+

bU

=U則C

=qa

+qbka

+

b=返回abdd

+

hi

i+11d23h解題方向:不平行電容器等效為無窮多個板間距離不等的平行板電容器并聯!若無窮均分bb

he0a

ni

=1C

=

limd

+

i1

1ndnde

ab=

0

lim若無窮均分C

b0nfi

￥id

nCh

/

bdin

bne

ai

+1-

d=0iChni

+1e

ab

d

-

d=diChdine0abdi+1

=

1

+nfi

￥

i

=1

1

+i

h等n式兩邊取n次方極限得d

+

hd

Ch

=

ee0abC

=

e0ab

ln

d

+

hh

d如圖，兩塊長與寬均為a與b的導體平板在制成平行板電容器容器的電容．專題18-例1時稍有偏斜，使兩板間距一端為d，另一端為（d＋h），且h

d，試求該空氣電如圖所示，由五個電容器組成的電路，其中C1＝4μF，C2＝6μF，C3＝10μF，求AB間的總電容．C1C1

C22C3ANB設在A、B兩端加一電壓U，并設UM＞UNM(N)處連接三塊極板總電量為０+-

+1

1

2

23則有

U1

+

U2

=

UC

U

=

C

U

+

(U

-

U

)C2

1115

7

158

U

U=解得

U

2=

U228

7

15UCQ1

=

15

UC1Q=于是有12128

715

15CUQ

+

QC

==

C

+15C

=

74

mF五電容連接后的等效電容為五電容連接直觀電路如圖ABC1C1

MCC2C2C3如圖是一個無限的電容網絡，每個電容均為C，求A、則有(2nABnC(C

+

C

)C=

C

=

CCn

+

C

)+

2nn2C

2

+

2CC-

C

2

=

0整理得2nC

=

3

-

1

C該無窮網絡等效電容為nB兩點間的總電容．AB設n個網格的電容為Cn,CnC返回如圖，一平行板電容器，充以三種介電常數分別為ε1、ε2和ε3的均勻介質，板的面積為S，板間距離為2d．試求電容器的電容．專題18-例3dde1e2e33CC21C14dC

=

e0e1

S32dC

=

e0e3

S22dC

=

e0e2

S1C2C3C

=

C

+C2

+

C3等效于C1與串聯的C2、C3

并聯:2

32de0

S

e1e2

+

e1e3

+

2e2e3=2

(e

+

e

)在極板面積為S，相距為d的平行板電容器內充滿三種不同的介質，如圖所示．⑴如果改用同一種介質充滿板間而電容與之前相同，這種介質的介電常數應是多少？⑵如果在ε3和ε1、ε2之間插有極薄的導體薄片，⑴問的結果應是多少？a2e3ebe1cd⑴將電容器劃分為如圖所示a、b、c、d四部分所求等效電容為a與b串聯、c與d串聯后兩部分并聯而成，由C∝ε可得1

3

2

3e

=

e1e3

+

e2

e3e

+

e e

+

e⑵插入導體薄片2e3

+

e1

+

e2所求等效電容為1與2并聯與3串聯，由C∝ε可得2e3

(e1

+

e2

)e￠=球形電容器由半徑為r的導體球和與它同心的球殼構成，球殼內半徑為R，其間一半充滿介電常數為ε的均勻介質，如圖所示，求電容.0Rr球形電容器的電容C

=4pe

eR

-

r本題電容器等效于介電常數為１和ε的兩個半球電容器并聯，每個半球電容各為1RrC

=

2pe0

R

-

r20RrC

=

2pe

eR

-

r該球形電容器的等效電容為02R

-

rC

=

2pe

(e

+

1)

RrRrε如圖所示為共軸的兩導體圓柱面組成的電容器．長l、半徑分別為r和R．兩圓筒間充滿介電常數為ε的電介質．求此電容器的電容．設圓柱面電容器電容為C，它由n個電容為nC的元圓柱面電容串聯而成，元圓柱面電容器可視為平行板電容器，第i個元電容為riri-1nC

=

e0e2p

ri

lri

-

ri

-1ri

-

ri

-1

=

e0e2p

lri

nC0irrnCe

e2p

li

-1=1

-[][]nnlimlimnfi

￥nfi

￥0CrRe

e2pl-=

e2pe0elln

R

-

ln

rC

=e

e

2prl?

0

R-r平行板電容器的極板面積為S，板間距離為D．其間充滿介質介質的介電常數是變化的，在一個極板處為ε1

，在另一個極板處為ε2

，其它各處的介電常數與到介電常數為ε1處的距離成線性關系，如圖，試求此電容器的電容C

．解題方向:介質變化的電容器等效為無窮多個介質不同的平行板電容器串聯!無窮均分CDe

-

e

e0

e1

+

2 1

ri

S=

nCri

-

ri

-12DDDDe2

-

e1e

-

ee0

e1

+1

ri

S=

nCe

-

ee

-

e

e

+

2 1

r-

e

+

2 1

r

1i

1i

-1

2110211irDDnCrDe

Se

-

ee2

-

e1e

+i

-1=

1

-e

-

ee

+等式兩邊取n次方極限得0DCe

Se

1e2e

-e-

2

1=

e02

1e

S

e

-eD

lne2-lne1C

=x0Dr

ri-1

i1

2…

i

…

nε1ε2返回，1

2

3

4++++++++++++++++++++

+++++qq11￠-q-1￠q-1q2￠q+2￠q-2q3￠q-q3￠2q1￠+

q3￠=

q1

-

q2-q1￠-

q2￠=

-q112

43

32由U

=

U

+

U0

0

0C

C

C即q1￠

=q2￠

+q3￠S其中C0

=

e0

d1

223qq￠+

q=32C03e0

SU

=

q2￠

=

d

(q1

+

q2

)解題方向:利用電容對兩板間的電壓及極板上的電量的制約四塊同樣的金屬板，每板面積為S，各板帶電量分別為q1、-q1、q2、-q2．各板彼此相距為d，平行放置如圖，d比板的線尺寸小得多，當板1、板4的外面用導線連接，求板2與板3之間的電勢差．專題18-例4如圖所示，兩塊金屬平板平行放置，相距D=1

cm，一板上電荷面密度σ1=3μC/m2，另一板上電荷面密度σ2=6μC/m2，在兩板之間平行地放置一塊厚d=5

mm的石蠟板，石蠟的介電常數ε=2．求兩金屬板之間的電壓．專題18-例5+σ2+σ1Dd如果在每個金屬板上附加面密度為-4.5μC/m2的電荷，電容器的帶電就成為“標準狀況”了——兩板帶等量異種電荷:附加電荷在板間引起的電場互相抵消，并不影響原來的板間電場，也不會改變電容器的電勢．2s

=

1.5mC/m等效電容為:C0CeC

=C0

+

Ce0D其中C

=

2e0

SDeC

=

2e0eS2e0eS=D

(1

+

e)s

S02e

e?

1272

VV-121s.5D·1(01-6+·e10)-2

(1

+

2)4

·

8.85

·10U

=

==C電容為C的平行板電容器的一個極板上有電量＋q，而另一個極板上有電量+4q，求電容器兩極板間的電勢差．如果在每個金屬板上附加-2.5q的電荷，電容器的帶電就成為兩板帶等量異種電荷1.5q

的“標準狀況”：C則U

=1.5q2C3q=三個電容分別為C1、C

2、C

3的未帶電的電容器，如圖方式相連，再接到點A、B、D上．這三點電勢分別為ＵA、UB、ＵD．則公共點O的電勢是多大？C1C2O

C3DBA解題方向:考慮電容器電容、電壓與電量之間的關系設三個電容帶電量分別為

q1q2

q31OCq則UAO

=

UA

-

U

=

1OC2qUBO

=

UB

-

U

=

2qUDO

=

UD

-

UO

=

3

C3又

q1

+

q2

+

q3

=

0U

C

+

U

C

+

U

CC1

+

C2

+

C3UO

=

A

1

B

2

D

3如圖所示的兩塊無限大金屬平板A、B均接地，現在兩板之間放入點電荷q，使它距A板r，距B板R．求A、B兩板上的感應電荷電量各如何？BAM++++++++解題方向:與設想將q均勻細分n份，均勻分布在距板r處的平面M后等效這是兩個電容并聯!兩電容器電容之比CrR=并聯電容總電量CR

rq每個電容帶電量qA

CrqB

CR=ARq

=R

+

rBrqq

q

=R

+

r122e0

SE

=

q1

+

q2

-

q31、2兩板間的電場是三板上電荷引起電場的疊加：q1-q2q33、2兩板間的電場也是三板上電荷引起電場的疊加：2e

SE

=

q1

-

q2

-

q310d2e

S

U

=

q1

+

q2

-

q32d2e0

S

U

=

q3

+

q2

-

q1123Q0e

SU

0

2

+

d1q

=

1

1

q2

=

e0US

+

d1

d

2

2Qe

SU+

0

d

2

q

3

=設三塊板上電量依次為＋q1、－q2、＋q3，由電荷守恒：q1

-

q2

+

q3

=

Q

①②③三塊相同的平行金屬板，面積為S，彼此分別相距d1和d2．起初板1上帶有電量Q，而板2和板3不帶電．然后將板３、２分別接在電池正、負極上，電池提供的電壓為U．若板1、3用導線連接如圖，求1、2、3各板所帶電量？返回電源上，電路情況如圖所示：S2C1

S3

C2

C3S1q1

=

4C0e++

+-

--斷開S1、S2、S3接通S4的條件下，三電容器串聯在電阻上，電路情況如圖所示：C1C2

C3S4每個電容器電量為q2

=

2C0e

q3

=

C0e

Rq1￠-q1￠-q2￠q2￠-q3￠q3￠由電荷守恒：13

1

3q

￠+

q￠=

q

-

q1q

-q-q1

2

q2

q3-q34C0

2C0

C0q1￠+

q2￠

=

q1

+

q2q1￠

=

q2￠

+

q3￠由電勢關系：1

0

2

0

2

07

7

7得q￠=24

C

e

q￠=18

C

e

q￠=-3

C

e2C0C0q2

-

q￠2

1

q2

-

q￠2

q2

-

q￠22

4C0則Q

=

DW

=227C0e

1

1

+

2 2

+

3 3

=2ReI

=專題18-例6

如圖所示的電路中，C1＝4C0，C2＝2C0，C3＝C0，電池電動勢為ε，不計內阻，C0與為已知量．先在斷開S4的條件下，接通S1、S2、S3，令電池給三個電容器充電；然后斷開S1、S2、S3，接通S4，使電容器放電，求：放電過程中，電阻SR4上斷總開共，產生S1的、熱S量2、及S放3接電過通程的達條到件放下電總，量三一電半容時器，R并上聯的在電流．SAB原來電容以C0表示，由電容器電容公式0C4p

kd=

eS

板間距離為0.9d時10.9CC

=

0

情況1中電容器兩板間電壓恒為UUK

0.1d

=U

C02

·

0.9d

0.9情況2中電容器板上電量恒為C0UA板引起的場強是電容器板間場強的一半！B板上的電量202dK d

d

=

U

C

U比較兩式得2d

=

8.1%絕緣彈簧固定在側壁上，如圖所示，若將開關S閉合，極板B開始平行地向極板A移動，到達新的平衡位置時兩極板間距離減少了d1=10%．如果開關閉合極短時間后就立刻斷開（此間設極板B未及從原位置移動），求此后極板B到達新的平衡位置時兩極板間距離減少的百分比d2

．專題18-例7

在光滑絕緣水平面上，平行板電容器的極板A固定，極板B用2解題方向:把介質拉出的過程,視為外力克服電場力做功消耗電場能的過程!設將介質沿b拉出兩板邊1緣x,外力大小為F,由功能關系：dFx

=

W1

-W2=e0eabdU

2

(C0

-

Cx

)e0a

e(b

-

x

)+

x2dF

=(e

-

1)e0aU

2專題18-例8兩塊平行金屬板，面積都是a×b，相距為d，其間充滿介電常數為ε的均勻介質，把兩塊板接到電壓為U的電池兩極上．現在把板間介質沿平行于b邊慢慢抽出一段，如圖，略去邊緣效應及摩擦，求電場把介質拉回去的力．Ubdε相互插入前：1

211Q2

Q2CCW1

=

2,

W2

=

22C

d1

=

2d2

,

C1

=

2213

QCW0

=

4故兩電容器總電能按第1種方式插入:+++++++Q-Q++++++++++++++++++++++++1111

(2Q)2Q25Q2

5= =

W02C

4C

3W1

=

2·

2

4C

+

2++++++++++++1按第2種方式插入:+Q-Q+Q-Q+Q-Q+2Q-2Q+Q-Q1111Q2

Q2W

=

2

·

=

=

W02

4C

4C

3極板相同的兩個平行板空氣電容器充以同樣電量．第一個電容器兩極板間的距離是第二個電容器的兩倍．如果將第二個電容器插在第一個電容器的兩極板間，并使所有極板都互相平行，問系統的靜電能如何改變？電容器帶電時，上極板所受電場力矩與質量為m的砝碼重力矩平衡，即

Fe

=

mg2

x

xe0

S

U

=

mg即U2mge0

SU

=

x靜電天平的原理如圖所示，一空氣平行板電容器兩極板的面積都是S，相距為x，下板固定，上板接到天平的一頭，當電容器不帶電時，天平正好平衡．然后把電壓U加到電容器的兩極上，則天平的另一頭須加上質量為m的砝碼，才能達到平衡．求所加的電壓U

．xSmRRC

C

C+3充電完畢時各塊板上電量均為Ce接入兩電阻,電荷重新分布!-

-+

-+

+

-11q21

(3q￠)2Q放

=

-三電容成并聯,故每個電容帶電量為

q￠=

Ce9釋放的熱量即減少的電場能,為427=Ce2

每個電阻放熱227Ce2+-10Ce+607Ce607Ce60-

13Ce19Ce60R60R2

C/

3

2

3C19Ce+-10-

Ce+6013Ce6013Ce60-

7Ce60R

Ce60RCe三只電容均為C的電容器，互相串聯后接到電源上，電源電動勢為ε．當電容器完全充電后跟電源斷開，然后接入兩只電阻均為R的電阻器，如圖所示．試問每只電阻上釋放的熱量有多少？當中間一只電容器的電壓減小到電源電動勢ε的1/10的瞬間，流過電阻R的電流i1和i2各為多大？bca￠Cd2+雙刀雙擲開關1

a￠

b￠UC2充電至q1=CU/2C2輸出電壓U1=U/2雙刀雙擲開關

a

b1

+C1充電至電壓U、電量CU雙刀雙擲開關2

a￠

b￠e22

1223CU

a=

,

U

-U

=

U平衡后CU12

+CU22C2充電至q2=5CU/4

C2輸出電壓U22=5U/4++b￠-

--CU5U=U12

=

24f++

--

+--雙刀雙擲開關3

a￠

b￠4C2充電至q3=13CU/8

C2輸出電壓U23=13U/82n2n+1

-

39CU2nnfi

￥2n+1

-

3平衡后

CUU132n+=CU23

=

U

U,2mUax23=-

Ulim13

=

UU

=

2U如圖所示，兩個電容均為C的電容器C1和C2，一個雙刀雙擲開關S，一個可提供恒定電壓U的蓄電池E．將它們適當聯接并操作開關，以使這個電路的輸出端得到比U高的電壓，試求出這個最高輸出電壓？１．(a)兩塊邊長為15

cm的正方形平板，相距為5

cm，組成接范德格喇夫起電機一個空氣平行板電容器．ε0＝8.85×10-12

F/m．試求該電容器的電容．電容器平板被豎直固定在絕緣支撐物上．（b）涂有導電漆的球形木髓小球被長為10

cm的一段絲線懸掛，絲線上端固定于A板上，如圖所示，木髓小球開始時和A板接觸．它的質量m＝0.1

g，半徑r＝0.3

cm，求木髓小球的電容． ２．平板電容器的B板接地，A板與電勢為60000V范德格喇夫起電機作瞬時接觸，然后平板電容器再次絕緣．這時可觀察到木髓小球離開A板運動到B板，然后再返回到A板，往復幾次以后，木髓小球處于平衡位置，并且懸掛絲線與A板夾角為θ．(a)解釋木髓小球為什么會這樣運動并求出它最后的平衡位置；

(b)計算兩平行板之間最終電勢差；(c)試求木髓小球在靜止前來回擺動的次數k；(d)作一草圖，表示兩板電勢差與小球在兩板間來回次數的函數關系UAB＝f

(k)A

B解答⑴(a)由平行板電容器公式2d8.85

·10-12

·(15

·10-2

)得空氣平行板電容器電容：C

=e0

S

=5

·10-2式得木髓球電容器電容：0(b)由孤立導體球電容器公Ck9

·109R

0.003=

=

F

?

0.333

pF10⑵(a)球帶電后被A板靜電推斥，與B板接觸時放電．而后受重力作用擺回A板充電，再被推到B板放電，如此往復k次，使板間電壓減小、場強減小，直至小球所受電場力與重力及絲線張力平衡而靜止在將要接觸B板但未放電的位置，則絲線與A板夾角為q

=sin-1

5

-0.3

?28(b)由于球平衡，有U C

Udmgtanq

=

k

0

k

5

·10-2

·

0.1·10-3

·

9.8Uk

=tanq

?

8840

V0.333

·10-12(c)初時A板與球電勢均為U0=60000

V，球推開后A的電勢變成U1，板上電0

1

0

0

10CCU

=

CU

+

C

U

U

=

C

-

C0

U00kUCC

-

CU

=k

lg

8840

60000

lgk

=量CU1，球上電量C0

U0，由電荷守恒：

電勢差次數2260000V3.98

-0.333

?22次8840V3.98(d)讀題F

?

3.98

pF電勢點，大板聯在一個電勢點，這就相當于51個電容為e0p

r

2C0

=并聯!

0

d51e

pr

2C總

=增大正對面積是增大電容的又一途徑:20de

prC0

=C0d2de

pr

2e0p

(R2

-

r

2

)C1

=

0

+(

)2202de

p

R+

rC

=CAB1122AB112623342525……C02CC4C26C(

)2

202de

p25R+

27rC

￠

=總R

>

3r時dR

<

3r時有26塊半徑為R和26塊半徑為r（R＞r）的薄金屬板，它們被平行地放置，如圖所示．任何兩塊鄰近的平板之間的距離均為d（d＜r）．用這種方式可形成一電容器，問應該如何把這些板連接成兩組，使所得的電容量成為最大？求出這要個使最總大電電容容最量大.，采用并聯形式為好，故首先設計將小板聯在一個

Rrd對

稱

軸如圖所示，恒溫的矩形盒內裝有理想氣體，當隔板將盒等分為二時，兩側氣體壓強均為P0，當隔板平移時無摩擦、無漏氣，兩側氣體經歷準靜態過程．隔板是面積為A的金屬板，帶電量為Q，矩形盒上與它平行的兩塊板也是金屬板，面積同樣是A，相距為2L，固定并接地．隔板兩側電場均勻．盒的其余部分是設絕隔緣板板．向現右將發隔板生拉一離小原位平移衡位x，置兩一小側位氣移體，對確隔定隔板板的的壓運力動：狀況.000L

L

2LxP

AP

A-L-

xP

A

=-L+

xL2

-

x2F

=F

-F

=氣

氣左氣右隔板上電荷受兩側電場靜電力合力：000Q2

x4e

LA(L+

x)Q

L+

x(L-

x)Q

L-

xQ

-2L

4e

LAQ

=2L

2e

LA0200Q2LQ2

x

2Lx2e

LA2e

LAF

=

-P

A

?2P0

A

L2

-

x-

xFe

=Fe右-Fe左=隔板所受合力：2P

AQ22e0

LA

L<

0

,Q2

<

4e0

P0

A2Q2

>

4e0

P0

A20

0Q2

=

4e

P

A2一直向右（左）靠到盒右（左）側靜止在新位置P0隔A板P0-Q如下圖(a)所示，一個電容器由兩片半徑為R，相距為d，平行放置的圓形導體平板構成，上板與電壓為Ｕ的恒壓源相連，下板接地．現如圖小導體圓片上的電荷量q與兩板間的電壓U的關系為q=χU；確定χ與r、d、之間的關系；⑶要使小導體圓片由靜止開始向上運動，必須加大電容器兩板間電壓至一個閾值Ut，導出Ut；⑷當U>Ut時，小導體圓片將在電容器兩極板間上下運動（假設無搖擺），小導體圓板與導體平板碰撞時恢復系數，導體平板在sv

=

aU2

+