電大高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)期末考試復(fù)習(xí)試題及答案IMBstandardizationoffice【IMB5AB-IMBK08-IMB2C】xx高等數(shù)學(xué)(1)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(一)第一章函數(shù)1?理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù)y=f(x)中符號(hào)fO的含義；了解函數(shù)的兩要素；會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等。兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同。2了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。若對(duì)任意x，有f(-x)=f(x)，則f(x)稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱。若對(duì)任意x,有f(-x)=-f(x)，則f(x)稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。掌握奇偶函數(shù)的判別方法。掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。3?熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。基本初等函數(shù)是指以下幾種類型：常數(shù)函數(shù)：y二c冪函數(shù)：y=xa(a為實(shí)數(shù))指數(shù)函數(shù)：y二ax(a>0,a豐1)對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logx(a>0,a豐1)a三角函數(shù)：sinx,cosx,tanx,cotx反三角函數(shù)：arcsinx,arccosx,arctanx4?了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單的函數(shù)如函數(shù)可以分解y二eu,u=v函數(shù)f(x)=応*口的定義域是,v=函數(shù)f(x)=応*口的定義域是5■會(huì)列簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。例題選解一、填空題1?設(shè)f(1)=x+\；1+x2(x>0)，則f(x)=。x解：設(shè)t=，則x=-，得xt故f(x)二1f；1+x2解：對(duì)函數(shù)的第一項(xiàng)，要求X-2〉0且ln(x-2)豐0，即x〉2且x豐3；對(duì)函數(shù)的第二項(xiàng)，要求5-x>0，即x<5。取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?2,3)(3,5］。3■函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,1］，則f(Inx)的定義域是。解：要使f(Inx)有意義，必須使0<lnx<1，由此得f(lnx)定義域?yàn)椋?,e］。函數(shù)y二二9的定義域?yàn)椤-3解：要使y二?二9有意義，必須滿足x2-9>0且x-3〉0，即［國(guó)>［成立，解不x一3Ix〉3等式方程組，得出］x等式方程組，得出］x>3^或x<-3x〉3故得出函數(shù)的定義域?yàn)?-8,-32(3,+8)5?設(shè)f(x)=ax+?a-x，則函數(shù)的圖形關(guān)于對(duì)稱。解：f(x)的定義域?yàn)?-8,+8)，且有即f(x)是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于y軸對(duì)稱。二、單項(xiàng)選擇題1?下列各對(duì)函數(shù)中，()是相同的。A.f(x)=\.x2,g(x)二x；B.f(x)=lnx2,g(x)=2lnx；C.f(x)二lnx3,g(x)二3lnx；D.f(x)=,g(x)=x-1x+1解：A中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，*x2=|x|豐x,B,D三個(gè)選項(xiàng)中的每對(duì)函數(shù)的定義域都不同，所以AB,D都不是正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng)C中的函數(shù)定義域相等，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故選項(xiàng)C正確。2設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-8,+8)，則函數(shù)f(x)—f(-x)的圖形關(guān)于()對(duì)稱。二x；軸；軸；D.坐標(biāo)原點(diǎn)解：設(shè)F(x)=f(x)-f(-x)，則對(duì)任意x有即F(x)是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。選項(xiàng)D正確。?設(shè)函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù)f(x)-f(-x)是().A.單調(diào)減函數(shù)；B.有界函數(shù)；C.偶函數(shù)；D.周期函數(shù)解：A,B,D三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿足。設(shè)F(x)=f(x)-f(-x)，則對(duì)任意x有即F(x)是偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確。ax-14.函數(shù)f(x)=x(a〉0,a豐1)()ax+1A.是奇函數(shù)；B.是偶函數(shù)；C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù)；D.是非奇非偶函數(shù)解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。所以B正確。

若函數(shù)f(x+丄)=x2+，則f(x)=()xx2A.x2；B.x2-2；C.(x一1)2；D.x2-1解軍：因?yàn)閤2+=x2+2+—2=(x+—)2—2x2x2x所以f(x+)=(x+—)2—2xx則f(x)二x2—2，故選項(xiàng)B正確。第二章極限與連續(xù)1?知道數(shù)列極限的“￡-N”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。2理解無窮小量的概念；了解無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系；知道無窮小量的比較。無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有：有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量；有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量；無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。3?熟練掌握極限的計(jì)算方法：包括極限的四則運(yùn)算法則，消去極限式中的不定因子，利用無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個(gè)重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。求極限有幾種典型的類型a2+xk—a(xa2+xk—a)(a2+xk+a)11)lim=lim=——xtOXkxtOxk(*'a2+xk+a)2a2)x2+ax+blim=limx—xx2)x2+ax+blim=limx—xxTxxTx000—0x—x0—x1十a(chǎn)xn+axn—1++ax+alim01xTxcbxm+bxm—1++bx+bxTx001m—1a—0b04?熟練掌握兩個(gè)重要極限：1lim(1+—)x=exTgx重要極限的一般形式：(或lim(1+x)x=e)xT0lim(1+1f(x)T8(或lim(1+g(x))g(x)=e)g(x)T0)f(x)=ef(x)利用兩個(gè)重要極限求極限，往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則，如5理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念；會(huì)對(duì)函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類。間斷點(diǎn)的分類：已知點(diǎn)x=x是的間斷點(diǎn)，0若f(x)在點(diǎn)x二x0的左、右極限都存在，則x二x0稱為f(x)的第一類間斷點(diǎn)；若f(x)在點(diǎn)x=x的左、右極限有一個(gè)不存在，則x=x稱為f(x)的第二類間00斷點(diǎn)。6?理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)及復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論。一、填空題1一、填空題1x2sm1.極限limx=xtosinx1TOC\o"1-5"\h\zx2sm—ii解：lim—=lim(xsin)=limxsin-lim=0x1=0xtosinxxtoxsinxx^oxx—osinx注意：limxsin丄=0(無窮小量乘以有界變量等于無窮小量)x—0xlim—=lim—=——-=1=1，其中l(wèi)im里^=1是第一個(gè)重要極限。xt0x—0sinxx—0sinxlimsinx1x—xt0xx—0xsin10xsin—x<0占左x的間斷點(diǎn)疋x=x+1x>0解：由f(x)是分段函數(shù)，x=0是f(x)的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在x=0處的連續(xù)性。因?yàn)閘imxsin—=0lim(x+1)=1f(0)=1TOC\o"1-5"\h\zx—0-xx—0+所以函數(shù)f(x)在x=0處是間斷的，又f(x)在(-?0)和(0,+s)都是連續(xù)的，故函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)是x=0。3.4.5.6.設(shè)f(x)=x2-3x+2，則f[f'(x)]=。解：f'(x)=2x一3，故7.函數(shù)y=ln(1+x2)的單調(diào)增加區(qū)間是。二、單項(xiàng)選擇題.函數(shù)在點(diǎn)處()A.有定義且有極限；A.有定義且有極限；C.有定義但無極限；B.無定義但有極限；D.無定義且無極限解：f(x)在點(diǎn)處沒有定義，但limxsin-=0(無窮小量x有界變量=無窮小量)x—0x故選項(xiàng)B正確。2下列函數(shù)在指定的變化過程中，()是無窮小量。

C.ln(l+C.ln(l+x),(xT1)；解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以

而A,C,D三個(gè)選項(xiàng)中的極限都不為0,故選項(xiàng)B正確。1.計(jì)算下列極限：x2—3x+2⑴limxT21.計(jì)算下列極限：x2—3x+2⑴limxT2x2+4x—12⑶lim(x―1)10(2x+-)5xTS12(x—2)154)x+3⑵lim()-xx—11—x—1limxT0sin3xXT8解：⑴x2—3x+2(x—1)(x—2)_x—1x2+4x—12(x—2)(x+6)x+6x2—3x+2x—11lim=lim—-xT2x2+4x—12xT2x+68(1--)x—nTS(1+_)x⑶題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為分母的最高次項(xiàng)為12xd由此得(4)當(dāng)xT0時(shí)，分子、分母的極限均為0,⑵lim("3)—x=lim(—_-)x=limnT8x—1nT8x+3lim[(1—-1)-x]-1—nT8x3xe3e4lim[(1+—)-]-nTSx所以不能用極限的除法法則。求解時(shí)先有理化根式在利用除法法則和第一個(gè)重要極限計(jì)算。—x—x13x1—x=lim———lim-lim——x——xt0sin3x(1—x+1)3xt0sin3xxt01—x+13262?設(shè)函數(shù)問(1)a,b為何值時(shí)，f(x)在x—0處有極限存在？a,b為何值時(shí)，f(x)在x二0處連續(xù)？解：(1)要f(x)在x—0處有極限存在，即要limf(x)—limf(x)成立。xT0—xT0+因?yàn)閘imf(x)—lim(xsin1+b)—bxT0—xT0—xlimf(x)—lim血x—1xT0+xT0+x所以，當(dāng)b—1時(shí)，有l(wèi)imf(x)—limf(x)成立，即b—1時(shí)，函數(shù)在x—0處有極xT0—xT0+限存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無關(guān)，所以此時(shí)a可以取任意值。(2)依函數(shù)連續(xù)的定義知,函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是于是有b=1=f(0)=a，即a二b=1時(shí)函數(shù)在x二0處連續(xù)。第三章導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)與微分這一章是我們課程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一。在學(xué)習(xí)的時(shí)候要側(cè)重以下幾點(diǎn)：1?理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會(huì)求曲線的切線和法線；會(huì)用定義計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。f(x)在點(diǎn)x二x處可導(dǎo)是指極限0存在，且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)極限的值。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫成極限函數(shù)f(x)在點(diǎn)x二xo處的導(dǎo)數(shù)八x0)的幾何意義是曲線y=f(x)上點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率。曲線y=f(x)在點(diǎn)(xo,f(x0))處的切線方程為函數(shù)y=f(x)在x點(diǎn)可導(dǎo)，則在x點(diǎn)連續(xù)。反之則不然，函數(shù)y=f(x)在x點(diǎn)000連續(xù)，在x點(diǎn)不一定可導(dǎo)。02了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。3?熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，熟練掌握下列求導(dǎo)方法導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)方法對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法正確的采用求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，如一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí)，求導(dǎo)時(shí)采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，例如函數(shù)y="x$，求y'。x在求導(dǎo)時(shí)直接用導(dǎo)數(shù)的除法法則是可以的，但是計(jì)算時(shí)會(huì)麻煩一些，而且容易出錯(cuò)。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，于是有這樣計(jì)算不但簡(jiǎn)單而且不易出錯(cuò)。又例如函數(shù)y二=，求y'。x—2顯然直接求導(dǎo)比較麻煩，可采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對(duì)數(shù)得兩端求導(dǎo)得整理后便可得若函數(shù)由參數(shù)方程的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。?熟練掌握微分運(yùn)算法則微分四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則類似一階微分形式的不變性

微分的計(jì)算可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，但要注意它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。6?了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會(huì)求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。要求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的n-1階導(dǎo)數(shù)。第三章導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解一、填空題1?設(shè)函數(shù)f(x)在x二0鄰近有定義，且f(0)=0,f'(0)=1,貝glimflimf(x)解：因?yàn)閘imf(x)—f解：因?yàn)閘imf(x)—f⑵_f'⑵，xt2x—2所以f'(2)_2x|_4，即C正確2設(shè)f()_x,xA.-；x解：先要求出f(x)因?yàn)閒()_x_1,x1x_2,則f(x)_(B.-1；x

再求廣(x)。由此得f(x)=且f(x)=x2,c.丄;x21D.—-

x2所以f(x)=(丄)xXT0X解：lim竺=limf(x)-f(0)=f'(0)=1XT0即選項(xiàng)D正確。3.設(shè)函數(shù)f(即選項(xiàng)D正確。3.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)x(x—1)(x—2),故應(yīng)填12曲線y_丄在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率是x解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線f(x)在x_x0處切線的斜率是f'(x0)，即為函1313數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，于是y'_—2x—2,y'(1)_—2x—2x=1故應(yīng)填-2。3?設(shè)f(x)=x2—4X+5，則f[f'(x)]=解：f'(x)=2x—4，故故應(yīng)填4x2—24x+37二、單項(xiàng)選擇題1設(shè)函數(shù)f(x)=x2,A.2x；則lim1設(shè)函數(shù)f(x)=x2,A.2x；xt2x—2D不存在則f則f'(0)=()；D.-2解：因?yàn)閒(x)=x(x-1)(x-2)+(x+1)(x-1)(x-2)+(x+1)x(x-2)+(x+1)x(x-1),其中的三項(xiàng)當(dāng)x二0時(shí)為0,所以故選項(xiàng)C正確。?曲線y二x-ex在點(diǎn)()處的切線斜率等于0。A.(0,1)；B.(1,0)；C.(0,-1)；D.(-1,0)解：y'二1-ex，令y'=0得x二0。而y(0)=-1，故選項(xiàng)C正確。?y二sinx2，則y'=()。A.cosx2；B.-cosx2；C.2xcosx2；D.-2xcosx2解：y'=cosx2-(x2)'=2xcosx2故選項(xiàng)C正確。三、計(jì)算應(yīng)用題1.設(shè)y二tan2x+2sinx，求dy|血x=2解：⑴由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則由此得2設(shè)y=f(ex)ef(x)，其中f(x)為可微函數(shù)，求y'。解y'=[f(ex)]'ef(x)+f(ex)[ef(x)]'=f'(ex)[ex]'ef(x)+f(ex)ef(x)[f(x)]'=f'(ex)exef(x)+f(ex)ef(x)f'(x)=ef(x)[f'(ex)ex+f(ex)f'(x)]求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),要先搞清函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成,即復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的,特別要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次,然后由外層開始,逐層使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式,一層一層求導(dǎo),關(guān)鍵是不要遺漏,最后化簡(jiǎn)。3?設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程xy+ey=In-確定，求dy。ydx解：方法一：等式兩端對(duì)x求導(dǎo)得整理得方法二：由一階微分形式不變性和微分法則,原式兩端求微分得y2左端=d(xy+ey)=d(xy)+d(ey)=ydx+xdy+eydy右端=d(ln蘭)=2d(蘭)=2?曲-xdy2yxyx由此得整理得4?設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，求學(xué)。dx解：由參數(shù)求導(dǎo)法?設(shè)y=(1+x2)arctanx,求y。=2xarctanx+1解y'=2xarctanx=2xarctanx+1第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題一、填空題1.函數(shù)y=ln(1-x2)的單調(diào)增加區(qū)間是-2x解：y'=L±，當(dāng)x>0時(shí)y'<0?故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是(-?0).1+x2極限lim器=?x1—x解：由洛必達(dá)法則函數(shù)f(x)=2(ex+e-x)的極小值點(diǎn)為。解：f'(x)=2(ex—e-x)，令f'(x)=0，解得駐點(diǎn)x=0，又x<0時(shí)，f'(x)<0；x>0時(shí)，f'(x)>0，所以x=0是函數(shù)f(x)=2(ex+e-x)的極小值點(diǎn)。二、單選題1?函數(shù)y=x2+1在區(qū)間［-2,2］上是()A)單調(diào)增加B)單調(diào)減少C)先單調(diào)增加再單調(diào)減少D)先單調(diào)減少再單調(diào)增加解：選擇Dy'=2x，當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0；當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0；所以在區(qū)間［-2,2］上函數(shù)y=x2+1先單調(diào)減少再單調(diào)增加。2?若函數(shù)y=f(x)滿足條件()，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)g(a<g<b)，使得成立。A)在(a,b)內(nèi)連續(xù)；B)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；C)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；D)在［a,b］內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。解：選擇D。由拉格朗日定理?xiàng)l件，函數(shù)f(x)在［a,b］內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，所以選擇D正確。3?滿足方程廣(x)=0的點(diǎn)是函數(shù)y=f(x)的()。A)極值點(diǎn)B)拐點(diǎn)C)駐點(diǎn)D)間斷點(diǎn)解：選擇C。依駐點(diǎn)定義，函數(shù)的駐點(diǎn)是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。4?設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),xg(a,b)，且f'(x)=f"(x)=0，則函數(shù)在000x=x處()。0A)取得極大值B)取得極小值C)—定有拐點(diǎn)(x,f(x))D)可能有極值，也可能有拐點(diǎn)00解：選擇D函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說明x可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說明0x可能是函數(shù)的拐點(diǎn)，所以選擇D。0三、解答題1.計(jì)算題求函數(shù)y=x-ln(l+x)的單調(diào)區(qū)間。解：函數(shù)y=x-ln(1+x)的定義區(qū)間為(T,+s)，由于令y'=0，解得x二0，這樣可以將定義區(qū)間分成(-1,0)和(0,+Q兩個(gè)區(qū)間來討論。當(dāng)-1<x<0時(shí)，y'<0；當(dāng)0<xv+s是，y'>0。由此得出，函數(shù)y=x—ln(1+x)在(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+s)內(nèi)單調(diào)增加。2.應(yīng)用題欲做一個(gè)底為正方形，容積為108立方米的長(zhǎng)方體開口容器，怎樣做法所用材料最省？解：設(shè)底邊邊長(zhǎng)為x,高為h，所用材料為y108且x2h=10&h=-x2令y，=0得2(x3-216)二0nx二6,且因?yàn)閤>6,y'>0;x<6,y'<0，所以x=6,y=108為最小值.此時(shí)h二3。于是以6米為底邊長(zhǎng)，3米為高做長(zhǎng)方體容器用料最省。3．證明題：當(dāng)x>1時(shí)，證明不等式證設(shè)函數(shù)f(x)=Inx,因?yàn)閒(x)在(0,+s)上連續(xù)可導(dǎo)，所以f(x)在［1,x］上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有公式可得其中1<c<x，即又由于c>1，有1<1c故有l(wèi)nx<x-1兩邊同時(shí)取以e為底的指數(shù)，有emx<ex-1ex即x<-e所以當(dāng)x>1時(shí)，有不等式成立.第5章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(2)

典型例題解析一、填空題1?曲線在任意一點(diǎn)處的切線斜率為2x，且曲線過點(diǎn)(2,5)，則曲線方程為。解」2xdx=x2+c,即曲線方程為y=x2+c。將點(diǎn)(2,5)代入得c二1，所求曲線方程為2已知函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)是arctanx2，則f'(x)=。2x解：f(x)=(arctanx2)，=1+x4

3.已知F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么f(axb)dx解：用湊微分法二、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)f(x)dxxlnxc,則f(x)()oA.lnx1；B.lnx；C.x；D.xlnx解：因故選項(xiàng)A正確．2?設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則等式()成立。dA.(f(x)dx)F(x);B.F(x)dxf(x)c;dxdC.F(x)dxF(x);D.(f(x)dx)f(x)dx解：正確的等式關(guān)系是故選項(xiàng)D正確．3.設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則Uxf1x2)dx()oA.F(1x2)c；B.F(1x2)c；C.丄F1X2)c;D.F(x)c2解：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得故選項(xiàng)C正確．⑵丄上dx⑵丄上dxx2sint,dxcostdt⑵^dxx2^=dxJlx2解：⑴利用第一換元法⑵利用第二換元法，設(shè)x2計(jì)算下列積分：⑴arcsinxdx解：⑴利用分部積分法⑵利用分部積分法高等數(shù)學(xué)(1)第六章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)綜合練習(xí)題單項(xiàng)選擇題(1)?下列式子中，正確的是()。00J2f(x)dx=0.f1x2dx>J1xdx00Jaf(x)dx=fbJ2f(x)dx=0.f1x2dx>J1xdx00(2).下列式子中，正確的是()fcos耐=(2).下列式子中，正確的是()fcos耐=cosx-,Jxcostdt］=0.Vo丿、f血J2costdt0丿/=cosxJxcostdtI0(3)下列廣義積分收斂的是()。=cosxJ00exdx」+Jdx0J00exdx」+Jdx01xJ+8cosxdx.J志砥012Jbaba在(0，1)區(qū)間內(nèi)x2<xJ1x2dx<J1xdxC不正確。f(x)dx=()。若f(x)是f(x)dx=()。J0f(x)dx．0_aC．2J0f(x)dxD．Jaf(x)dx_a0若f(x)與g(x)是［a,b］上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線x=a,x=b所圍圖形的面積().JbIf(x)—g(x)|dxJb(f(x)—g(x))dxaa(g(x)—f(x))dx.|Jb(f(x)—g(x))dxIa答案：(1)A；(2)D；(3)D；(4)C；(5)A。解：(1)根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知A正確而Jaf(x)dx=—Jbf(x)dxB不正確。00根據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關(guān)，而與積分變量的選取無關(guān)。故D不正確。由變上限的定積分的概念知?/Jxcostdt]=cosxV0丿由定積分定義知B不正確。J0costdt］=—cosx「.A、C不正確。D正確。(3)vJ+sexdx=limJexdx=lim(eb—e0)=+s「A不正確。bT+sbbT+sb=lim(lnb—lnl)=+?「.B。不正確。1bT+sJ+8b=lim(lnb—lnl)=+?「.B。不正確。1bT+slxlxbT+sbT+s???J+scosxdx=iimJbcosxdx=lim(sinb—sin0)不存在。「.C。不正確。00bT+sbT+sD正確由課本344頁(yè)(6—4—2)和345頁(yè)(6—4—3)知C。正確。所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù)???A正確。填空題fxcostdt(1)lim-0=xT0x⑵設(shè)F(x)=f1etdt,貝yF'(x)=x2⑶在區(qū)間b,2兀］上，曲線y=sinx和x軸所圍圖形的面積為(4)f\-'4-x2dx=0(5)p二,無窮積分f+s丄dx(5)p二axp答案：fxcostdtcosx解：(°lim—=lim-^=cos0=1x1xT0xT0x2l所圍圖形的面積S=2卜sinxdx-—2cosx0(2)F(x)=—fx2etdt,F'(x)=(—fx2etdt,)r=—x2l所圍圖形的面積S=2卜sinxdx-—2cosx0F=-2(cosF=-2(cos兀-cosO)=40由定積分的幾何意義知:定積分的值等于y=所圍圖形的面積二f2丫4—x2dx=士兀22=兀pWl時(shí)無窮積分發(fā)散。計(jì)算下列定積分2)4)(5(三)f4|2一x|dx0f1x(1+\.：x)dx0e1+lnxfedx1x")f1x2$1—x2dxnn=1n=1(5)J2xsin2xdx0答案：口木?y=xJ412-x|dx=J2(2-x)dx+J4(x-2)dx=(2x-—x2)|0022J1、'x(1++—x2)I1=7o32(3)Je1+lnxdx=Je(1+lnx)d(1+lnx)=1(1+lnx)|e=1x12宀’)J1x2J1一x2dx(5)J解s設(shè)Xxdsi=t-綻2x21+dJ=cos2ddx=晉+4原式=定積分I用dt=1J2sin22tdt=—J21_C0S4tdt=1(x、0404028求由曲線yx=1,及直線y=x,y=2所圍平面圖形的面積解：畫草圖求交點(diǎn)由y=x,xy=1得x==1y(1)2y=20xy=1七章綜合練習(xí)x2+(2x2-2x)I4匸12-sin4to4兀2)=_016所求平面圖形面積A=J2(y-丄)dy=(；y2-lny)|iy22=3-ln2（一）單項(xiàng)選擇題若（）成立，則級(jí)數(shù)藝a發(fā)散，其中Sn表示此級(jí)數(shù)的部分和。1、A、C、limsinslimans豐0；B、a.n=0D、limansnn=1單調(diào)上升；不存在2、當(dāng)條件（）成立時(shí)，級(jí)數(shù)藝（a+b）—定發(fā)散。nnn=1A、C、藝a發(fā)散且區(qū)b收斂；B、藝a發(fā)散;nnn=1另a和另b都發(fā)散。

nnn=1n=1nn=1n=1另b發(fā)散；D、nn=13、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)藝a收斂，則（）收斂。A、nn=1藝paB、藝a2nnC、藝(a+c)2D、藝(a+c)nnn=1n=14、若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)藝a、藝b滿足，a<b(n=1,2,)則結(jié)論()，是正確的nnnnn=1A、C5、A、n=1A、C5、A、n=1另a發(fā)散則區(qū)b發(fā)散；B、nn=1n=1藝a發(fā)散則藝b收斂；D、n=1nn=1nn=1若f(x)=藝nn=0nn=1axn,則a=()。n藝an=1藝an=1收斂則藝b收斂;nn=1收斂則另b發(fā)散。nn=1(f(0))(")Bf(")(X)Cf(n)(0)D、n!n!n!答案：1、D2、A3、B4、A5、C(二)填空題1、當(dāng)q時(shí)，幾何級(jí)數(shù)另aqn收斂。nn=02、級(jí)數(shù)另-)是級(jí)數(shù)。5nnn=1TOC\o"1-5"\h\z3、若級(jí)數(shù)藝|a|收斂，則級(jí)數(shù)藝a。nnn=0n=04、指數(shù)函數(shù)f(X)=ex展成x的冪級(jí)數(shù)為。5、若冪級(jí)數(shù)藝ayn的收斂區(qū)間為(一9，9),貝帰級(jí)數(shù)藝a(x-30的收斂區(qū)間nnn=0n=0為答案：1、<12、發(fā)散3、收斂4、另二5、C(0,6)n!n=0(三)計(jì)算題(-1)n1(-1)n1⑴憶侖n⑴憶侖n=1nn解：⑴此正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)滿足n(n+1)1<-解：⑴此正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)滿足n(n+1)1<-n2n=2,3,由于藝丄收斂，貝g由比較判別法可知乏收斂。n2n(n+1)n=1n=13n+1(n+1)!3n+1(n+1)!⑵lim4=lim°+心鋰nsansn3()!=lim3(一-)n=lim3:(卩!”十n+1(n\ns宀(1+1)nn=3>1貝g由比值判別法可知乞3nn!發(fā)散。nnn=1⑶由于藝匕工是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且a=-＞亠=an=1,2,...nnnn+1貝g由比值判別法可知乞3nn!發(fā)散。nnn=1⑶由于藝匕工是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且a=-＞亠=an=1,2,...nnnn+1n+1，n=1及l(fā)ima=lim=0,由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù)另塵收斂。nsnnsn\nn=12、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑xnn=1n=1n4nnan解：⑴p=limn+1=lim--=1因此收斂半徑R=1,nsansn十1n⑵令(x-1)2=y,得冪級(jí)數(shù)藝$4nnn=1可知4，所p=lim人=lim4n-1(n-1)n—gamg八章綜合練習(xí)題及參考1=lim14nnn?4(n-1)4答案一)單項(xiàng)選擇題1、下列階數(shù)最高的微分方程是()。A、；y'y"-(y")3=sin(x-y)B、xy"-5y'—y5-6y=x3；C、y"-6y=4x-2D、(y')2-2yy'-x=02、下列一階微分方程中為可分離變量的微分方程是()A、；xy"-6y=x3Bs5y"=xyexyC、y"=xy-yD、y"-