正多項式和最佳平方逼近第1頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.4正交多項式和最佳平方逼近

正交多項式是數(shù)值計算中的重要工具，這里只介紹正交多項式的基本概念、某些性質和構造方法。離散情形的正交多項式用于下節(jié)的數(shù)據(jù)擬合，連續(xù)情形的正交多項式用于生成最佳平方逼近多項式和下章的高斯型求積公式的構造。它們在數(shù)值分析的其他領域中也有不少應用。2.4.1離散點集上的正交多項式設有點集，函數(shù)和在離散意義下的內積定義為(2.4.1)其中為給定的權數(shù)。在離散意義下，函數(shù)的2范數(shù)定義為(2.4.2)有了內積，就可以定義正交性。若函數(shù)和的內積，則稱兩者正交。若多項式組在離散意義下的內積滿足第2頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月(2.4.3)則稱多項式組為在離散點集上的帶權的正交多項式序列。

下面給出離散點上正交多項式的構造方法.給定點集和權數(shù)，并且點集中至少有個互異，則由下列三項遞推公式（2.4.4）給出的多項式序列是正交多項式序列，其中(2.4.5)三項遞推公式（2.4.4）是構造正交多項式的簡單公式，此外，還有其他的特殊的情形，這里，不進一步討論。第3頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2.10已知點集和權數(shù)試用三項遞推公式求關于該點集的正交多項式。解先令，由此得由此得從而有第4頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月其中的為給定的權函數(shù)。按連續(xù)意義下的內積，若多項式組滿足條件(2.4.3),則稱它為在區(qū)間上的帶權的正交多項式序列.

完全類似于離散情況下的正交多項式的構造方法,連續(xù)區(qū)間上的正交多項式序列同樣可以由遞推公式(2.4.4)和(2.4.5)構造,其中內積按(2.4.6)式定義.下面給出幾種常用的正交多項式.

(1)Legendre多項式.Legendre多項式可由三項遞推公式2.4.2連續(xù)區(qū)間上正交多項式

連續(xù)區(qū)間上的正交多項式的概念與離散點集上的正交多項式概念相似，只要將內積的定義作相應的改變。函數(shù)和在連續(xù)意義下的內積定義為（2.4.6）第5頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月(2.4.7)給出.它們是在區(qū)間上的帶權的正交多項式.前幾個Legendre多項式如下:它們的根都是在開區(qū)間上的單根,并且與原點對稱.

(2)第一類Chebyshev多項式.

第一類Chebyshev多項式可由三項遞推公式第6頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月給出.它們是在區(qū)間上的帶權的正交多項式.前幾個第一類Chebyshev多項式如下:(2.4.8)它們的根都在開區(qū)間（-1，1）上的單根，并且與原點對稱。（3）Legendre多項式。Legendre多項式可由三項遞推公式第7頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月給出。它們是在區(qū)間[0，+∞)上帶權的正交多項式。前幾個Legendre多項式如下:

它們的根都是在區(qū)間（0，+∞）上的單根。第8頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)Hermite多項式Hermite多項式可由三項遞推公式給出。它們是在區(qū)間（-∞，+∞）上帶權的正交多項式。前幾個Hermite多項式如下：它們的根都在區(qū)間（-∞，+∞）上的單根，并且與原點對稱第9頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4.3連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近

定理2.6

在[a,b]上線性無關的充要條件是它的Gramer行列式Gn≠０，其中

連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]上定義了內積（2.4.6）就形成了一個內積

設在[a,b]上連續(xù)，如果當且僅當時成立，則稱在[a,b]上是線性無關的。對于函數(shù)組的線性無關性，有如下定理。

空間。在Rn空間中任一向量都可用它的線形無關的基表示，類似地，對內積空間任一元素f(x)∈C[a,b]，也可用線形無關的基表示。第10頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月則稱是發(fā)f(x)在中的最佳平方逼近函數(shù)。下面我們先討論在區(qū)間[a,b]上一般的最佳平方逼近問題。設

是C[a,b]中的線性無關函數(shù)，記對于f(x)∈C[a,b],若存在，使得求等價于求多元函數(shù)的極小值。利用多元函數(shù)求極小值的必要條件有第11頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月按內積的定義，上式可寫為這是關于的線性方程組，稱為法方程。

由于線性無關，故（2.4.12）的系數(shù)距陣非奇異，于是（2.4.12）有唯一解。從而得到該式滿足（2.4.11），即對任意，有事實上，有（2.4.12）知因此，對任意，有，從而也有第12頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月于是這就證明了（2.4.14），從而也證明了f在中的最佳平方逼近的存在唯一性。若令，則稱為最佳逼近的誤差，稱

(2.4.15)為平方誤差。

考慮特殊情形，設[a,b]=[0,1],。對于f∈C[a,b],在中最佳平方逼近多項式可以表示為第13頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月相應于法方程（2.4.12）中的系數(shù)矩陣為稱之為Hilbert矩陣例2.11設，求[0，1]上的一次最佳平方逼近多項式。

解由于

得方程組第14頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月解得a0=0.394,a1=0.246。從而最佳平方逼近為平方誤差由于Hilbert矩陣是病態(tài)的（見第4章），用作基時，求法方程的解，舍入誤差很大。實用的辦法是采用正交多項式作基。

若是中的正交多項式組，則有（2.4.12）得

。第15頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月于是f(x)的最佳平方逼近多項式為

例2.12設f(x)=ex,在[-1,1]上用legendre多項式作f的三次多次最佳平方逼近多項式。

解