高一年級數(shù)學(xué)隨機(jī)模擬

在拋擲硬幣試驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)正面朝上的次數(shù)，算出正面朝上的頻率，通過大量重復(fù)試驗(yàn)，頻率會(huì)穩(wěn)定在概率0.5附近.問題1

拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如何估計(jì)正面朝上的概率？拋擲硬幣試驗(yàn)實(shí)驗(yàn)者擲幣次數(shù)出現(xiàn)“正面向上”的頻數(shù)頻率德·摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069德·摩根409220480.5005費(fèi)勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005羅曼諾夫斯基80640396990.4923大量手工試驗(yàn)方法耗時(shí)費(fèi)事，統(tǒng)計(jì)量大，效率低，需要提高效率.隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不確定的，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，它的發(fā)生呈規(guī)律性.有些隨機(jī)事件不能像古典概型一樣直接計(jì)算概率，要利用頻率來估計(jì)概率.我們可以根據(jù)不同的隨機(jī)試驗(yàn)，構(gòu)建相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)，那么如何產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)呢？由試驗(yàn)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)想要產(chǎn)生0~9之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，像彩票搖獎(jiǎng)那樣，把10個(gè)質(zhì)地和大小相同的號碼球放入搖獎(jiǎng)器中，充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球，這個(gè)球上的號碼稱為隨機(jī)數(shù).利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性，因此我們把利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)稱為偽隨機(jī)數(shù).利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)為了滿足不同需求，人們開發(fā)了功能各異的統(tǒng)計(jì)軟件，有些是專門的統(tǒng)計(jì)軟件，如R，SAS,SPSS,S-Plus,Stata等；有些是有一定統(tǒng)計(jì)功能的軟件，如MicrosoftExcel,MATLAB,GeoGebra等.

在電子表格軟件中RANDBETWEEN（1，n）函數(shù)表示產(chǎn)生于1~n范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù).下面我們以電子表格軟件為例,模擬拋擲一枚均勻硬幣試驗(yàn).首先，建立概率模型，用0表示拋擲硬幣出現(xiàn)反面朝上，用1表示出現(xiàn)正面朝上.

利用電子表格軟件的自動(dòng)填充功能，可以快速生成隨機(jī)數(shù)，相當(dāng)于不斷做拋擲硬幣的試驗(yàn).

按照如上方法，我們很快就可以得到100個(gè)數(shù)據(jù)，相當(dāng)于做了100次試驗(yàn).

統(tǒng)計(jì)100次試驗(yàn)中出現(xiàn)“正面朝上”的頻數(shù)為46，計(jì)算出正面朝上的頻率為0.46，用頻率估計(jì)概率的近似值為0.46.

小結(jié)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率，即具有隨機(jī)性，又具有穩(wěn)定性.通過大量重復(fù)試驗(yàn)，可以看到出現(xiàn)“正面朝上”的頻率穩(wěn)定于概率0.5附近.用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣問題2要從11件產(chǎn)品中抽取5件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，其中甲產(chǎn)品必須被抽中，如何利用隨機(jī)數(shù)表示抽樣過程.用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣解：（1）將10件產(chǎn)品進(jìn)行編號，號碼為1，2，…，10；（2）用計(jì)算器的函數(shù)RAND（1,10）或利用計(jì)算機(jī)的函數(shù)RANDBETWEEN(1,10)產(chǎn)生4個(gè)1到10范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù).（如果有重復(fù)，重新產(chǎn)生一個(gè)即可）；

（3）以上號碼就是對應(yīng)的4件產(chǎn)品，也就是要抽取的對象.用隨機(jī)模擬估計(jì)等可能事件的概率問題3

一個(gè)袋子中裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除顏色不同外沒有其他差別.從袋中摸出一個(gè)球，出現(xiàn)紅球的概率是0.4，如何設(shè)計(jì)隨機(jī)模擬試驗(yàn)，驗(yàn)證結(jié)論？用隨機(jī)模擬估計(jì)等可能事件的概率1、建立概率模型

對于從袋子中摸出一個(gè)球的試驗(yàn)，除了具體試驗(yàn)，我們還可以利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn).用1，2表示紅球，用3，4，5表示白球，不斷產(chǎn)生1~5之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，相當(dāng)于不斷地做從袋中摸球的試驗(yàn).用隨機(jī)模擬估計(jì)等可能事件的概率2、進(jìn)行模擬試驗(yàn)在電子表格軟件中利用函數(shù)RANDBETWEEN（1,5）產(chǎn)生整數(shù)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn).0.6

0.35

0.4

0.45

0.44

0.3850.416

0.39

3、統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果n102050100150200250300nA6720456677104116fn(A)用隨機(jī)模擬估計(jì)等可能事件的概率4、頻率估計(jì)概率

這種利用隨機(jī)模擬解決問題的方法稱為蒙特卡洛（MonteCarlo）方法.

畫出頻率折線圖，從圖中可以看出隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于概率0.4.蒙特卡洛（MonteCarlo）方法在20世紀(jì)40年代美國第二次世界大戰(zhàn)期間興起和發(fā)展起來，它的奠基人是研制原子彈“曼哈頓計(jì)劃”的成員烏拉姆和馮·諾伊曼.馮·諾伊曼首創(chuàng)該法用于裂變中的中子隨機(jī)擴(kuò)散進(jìn)行模擬，并以馳名世界的賭城—摩納哥的蒙特卡洛來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘的色彩.馮·諾伊曼蒙特卡洛（MonteCarlo）方法兩大優(yōu)點(diǎn)：

一是簡單，省去了反復(fù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和演算過程，使得一般人也能夠理解和掌握；二是快速.這兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)使得蒙特卡洛方法在金融工程學(xué)、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、化學(xué)、生物、生態(tài)學(xué)、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.蒙特卡洛（MonteCarlo）方法蒙特卡洛方法通過構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來解決數(shù)學(xué)上的各種問題.對于那些由于計(jì)算過于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒有解析解的問題，蒙特·卡洛方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法.建立概率模型進(jìn)行模擬試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果頻率估計(jì)概率摸球試驗(yàn)計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)例從你所在班級任意選出6名同學(xué)，調(diào)查他們的出生月份，假設(shè)出生在一月，二月，…，十二月是等可能的.設(shè)事件A=“至少有兩人出生月份相同”，設(shè)計(jì)一種試驗(yàn)方法，模擬20次，估計(jì)事件A發(fā)生的概率.分析解：根據(jù)假設(shè)，每個(gè)人的出生月份在12個(gè)月中是等可能的，而且相互之間沒有影響，所以觀察6個(gè)人出生月份可以看成重復(fù)試驗(yàn).

建立概率模型方法一:構(gòu)建有放回摸球試驗(yàn)進(jìn)行模擬

在袋子中裝入編號為1，2，…，12的12個(gè)球，有放回地隨機(jī)從袋中摸6次球，得到6個(gè)數(shù)代表6個(gè)人的出生月份，這就完成了一次模擬試驗(yàn).

進(jìn)行模擬試驗(yàn)方法二：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)在電子表格軟件中，利用函數(shù)RANDBETWEEN（1，12）產(chǎn)生6個(gè)數(shù)，代表6個(gè)人的出生月份，即完成一次模擬試驗(yàn).如此重復(fù)20次，相當(dāng)于做20次重復(fù)試驗(yàn).

進(jìn)行模擬試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果

如果一組的6個(gè)隨機(jī)數(shù)中至少有2個(gè)相同，則表示事件A發(fā)生了.統(tǒng)計(jì)20次試驗(yàn)的結(jié)果，事件A發(fā)生了15次.頻率估計(jì)概率事件A發(fā)生的頻率為0.75，可以用它估計(jì)事件A發(fā)生的概率為0.75.

事實(shí)上，通過理論計(jì)算，事件A的概率約為0.78.建立概率模型進(jìn)行模擬試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果頻率估計(jì)概率小結(jié)

具體試驗(yàn)計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)例甲、乙兩人進(jìn)行一項(xiàng)比賽，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.4,乙獲勝的概率為0.6，利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，估計(jì)三局兩勝制甲獲勝的概率.例甲、乙兩人進(jìn)行一項(xiàng)比賽，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.4,乙獲勝的概率為0.6，利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，估計(jì)三局兩勝制甲獲勝的概率.問題1如何理解三局兩勝制甲獲勝？三局兩勝制甲獲勝賽兩局賽三局甲以2：0獲勝甲以2：1獲勝（前兩局贏一局輸一局，且第三局甲勝）分析例甲、乙兩人進(jìn)行一項(xiàng)比賽，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.4,乙獲勝的概率為0.6，利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，估計(jì)三局兩勝制甲獲勝的概率.問題2每局比賽甲獲勝的概率為0.4的含義是什么？分析：設(shè)事件A=“甲贏得比賽”，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~9范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)1，2，3，4時(shí)表示一局比賽甲獲勝.

例如產(chǎn)生如下隨機(jī)數(shù)：44171658097983861962067650031055236405052662382197758416074499831146322420148588451093728871234297777781074532140832989407729385791075533619955092261196056763138802202535386604204533785943512833設(shè)計(jì)概率模型的幾種想法（1）若將產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)每三個(gè)一組，若統(tǒng)計(jì)總組數(shù)N及至少有兩個(gè)數(shù)字都為1，2，3或4的組數(shù)N1，即為“采用三局兩勝制甲獲勝”的概率的近似值；（2）若將產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)每三個(gè)一組，若統(tǒng)計(jì)總組數(shù)N及前兩個(gè)數(shù)字都為1，2，3或4的組數(shù)N1，即為“甲以2：0獲勝”的概率的近似值；設(shè)計(jì)概率模型的幾種想法接著再統(tǒng)計(jì)該次試驗(yàn)中前兩個(gè)數(shù)字中恰有一個(gè)數(shù)字為1，2，3或4的組數(shù)M及前兩個(gè)數(shù)字中恰有一個(gè)數(shù)字為1，2，3或4，且第三個(gè)數(shù)字也為1，2，3或4的組數(shù)M1，即為“甲以2：1獲勝”的概率的近似值．所以即為“采用三局兩勝制甲獲勝”的概率的近似值．設(shè)計(jì)概率模型的幾種想法（3）若將產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)每兩個(gè)一組，若統(tǒng)計(jì)總組數(shù)N及兩個(gè)數(shù)字都為1，2，3或4的組數(shù)N1，即為“甲以2：0獲勝”的概率的近似值；再將產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)每三個(gè)一組，統(tǒng)計(jì)該次試驗(yàn)中前兩個(gè)數(shù)字中恰有一個(gè)數(shù)字為1，2，3或4的組數(shù)M及前兩個(gè)數(shù)字中恰有一個(gè)數(shù)字為1，2，3或4，且第三個(gè)數(shù)字也為1，2，3或4的組數(shù)M1，即為“甲以2：1獲勝”的概率的近似值．所以即為“采用三局兩勝制甲獲勝”的概率的近似值．問題3如何估計(jì)“甲以2：0獲勝”的概率？

三局兩勝制甲獲勝賽兩局賽三局甲以2：0獲勝甲以2：1獲勝（前兩局贏一局輸一局，且第三局甲勝）若以每兩個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組樣本點(diǎn)，產(chǎn)生97組隨機(jī)數(shù)：4417165809798386196206765003105523640505266238219775841607449983115632

242014858845109372887123

4297777781074532140832989407729385791075533619955092261196056763138802202535386604204533785943512833相當(dāng)于做了97次重復(fù)試驗(yàn)，其中“甲以2：0獲勝”共發(fā)生了18次.因此“甲以2：0獲勝”的頻率為0.186，用頻率估計(jì)概率的近似值為0.186.若以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組樣本點(diǎn)，產(chǎn)生64組隨機(jī)數(shù)：441716580979838619620676500310552364050526623821977584

160

744998311463224201

485884510937288712342977777810745321408329894077293857910755336199550922611960567631388022025353866042045337859435128

相當(dāng)于做了64次重復(fù)試驗(yàn)，其中“甲以2：0獲勝”共發(fā)生了11次，因此“甲以2：0獲勝”的頻率為0.172，用頻率估計(jì)概率的近似值為0.172.

事實(shí)上，若設(shè)事件Ai表示第i（i=1,2,3）局比賽甲獲勝，則P(Ai)=0.4，從理論計(jì)算得到“甲以2：0獲勝”的概率的精確值為.問題4如何估計(jì)“舉行三局比賽甲以2：1獲勝”的概率？

甲需要在前兩局中贏一局輸一局，并贏得第三局.以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，觀察64組隨機(jī)數(shù)：441716580979838619620676500310552364050526623821977584160744998311463224201485884510937288712342977777810745321408329894077293857910755336199550922611960567631388022025353866042045337859435128相當(dāng)于做了64次重復(fù)試驗(yàn)，其中“甲以2：1獲勝”發(fā)生了32次.

其中第三個(gè)數(shù)也在1，2，3，4中，表示第三局甲勝，對應(yīng)的組數(shù)分別是：364，623，821，744，463，201，712，293，922，611，631，022，353.

相當(dāng)于做了64次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，其中“甲以2：1獲勝”發(fā)生了14次，因此“甲以2：1獲勝”的頻率為0.219，用頻率估計(jì)概率的近似值為0.219.所以，在三局兩勝制下甲獲勝的概率的近似值為0.391.解：設(shè)事件A

=“甲獲勝”，事件Ai=“單局比賽甲勝”，則P(Ai)=0.4（i=1,2,3），用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2時(shí)，表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.4.

由于要比賽三場，每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組.例如,產(chǎn)生40組隨機(jī)數(shù)：414544114135522525452213255125442534522242323114