21.3實際問題與一元二次方程（幾何問題和數(shù)字問題）【A組-基礎題】1．(2019年廣西北部灣經(jīng)濟區(qū)中考)揚帆中學有一塊長，寬的矩形空地，計劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，小禹同學設計方案如圖所示，求花帶的寬度．設花帶的寬度為，則可列方程為（）A． B．C． D．【詳解】設花帶的寬度為，則可列方程為，故選D．2．如圖，某小區(qū)有一塊長為18米，寬為6米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為60平方米，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道．若設人行道的寬度為x米，則可以列出關(guān)于x的方程是()A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0【詳解】解：設人行道的寬度為x米，根據(jù)題意得，（18﹣3x）（6﹣2x）=60，化簡整理得，x2﹣9x+8=0．故選C．3．如圖，把長40，寬30的矩形紙板剪掉2個小正方形和2個小矩形（陰影部分即剪掉部分），將剩余的部分折成一個有蓋的長方體盒子，設剪掉的小正方形邊長為（紙板的厚度忽略不計），若折成長方體盒子的表面積是950，則的值是（

）A．3 B．4 C．4.8 D．5【詳解】解：由圖可得出，整理，得，解得，（不合題意，舍去）．故選：D．4．(2019年內(nèi)蒙古通遼市中考)一個菱形的邊長是方程的一個根，其中一條對角線長為8，則該菱形的面積為（）A．48 B．24 C．24或40 D．48或80【詳解】解：，所以，，∵菱形一條對角線長為8，∴菱形的邊長為5，∴菱形的另一條對角線為，∴菱形的面積．故選B．5．在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角DA和DC（兩邊足夠長），再用28m長的籬笆圍成一個面積為192m2矩形花園ABCD（籬笆只圍AB、BC兩邊），在P處有一棵樹與墻CD、AD的距離分別是15m和6m，現(xiàn)要將這棵樹也圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細），則AB的長為（）A．8或24 B．16 C．12 D．16或12【詳解】解：設AB＝xm，則BC＝（28﹣x）m，依題意，得：x（28﹣x）＝192，解得：x1＝12，x2＝16．∵P處有一棵樹與墻CD、AD的距離分別是15m和6m，∵，∴，∴x2＝16不合題意，舍去，∴x＝12．故選：C．6．若一個三角形的兩邊長分別為2和6，第三邊是方程x2－10x＋21＝0的一根，則這個三角形的周長為(

)A．7 B．3或7 C．15 D．11或15【詳解】x2?10x+21=0，(x?3)(x?7)=0，則x?3=0，x?7=0，解得：x=3或7，當x=3時，2+3=5<6，不能組成三角形，故x=3不合題意舍去，當x=7時，2+6=8>7，可以組成三角形，則三角形的周長為2+6+7=15，故答案選C.7．一個兩位數(shù)比它的十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積大，已知十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大．則這個兩位數(shù)是（）A．64 B．75 C．53或75 D．64或75【詳解】令個位上的數(shù)字為x，則依據(jù)題意可知十位上的數(shù)字為(x+2)，該兩位數(shù)可表示為：10(x+2)+x依據(jù)題意列出方程：10(x+2)+x=x(x+2)+40整理得到：x2-9x+20=0解得：x1=4，x2=5則該兩位數(shù)為64或75,故選擇D.8．一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4，若設個位數(shù)字為a，則可列方程為(

)A．a(chǎn)2+(a-4)2=10(a-4)+a-4 B．a(chǎn)2+(a+4)2=10a+a-4-4C．a(chǎn)2+(a+4)2=10(a+4)+a-4 D．a(chǎn)2+(a-4)2=10a+(a-4)-4【詳解】依題意得：十位數(shù)字為：a+4，這個數(shù)為：a+10(x+4)，這兩個數(shù)的平方和為：a2+(a+4)2，∵兩數(shù)相差4，∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a?4.故選：C.9．若兩個連續(xù)整數(shù)的積是56，則它們的和為（）A．11 B．15 C．﹣15 D．±15【詳解】解：設這兩個連續(xù)整數(shù)為x，x+1．則x（x+1）=56，解之得，x=7或x=-8，則x+1=8或-7，則它們的和為±15．故選D．10．(江蘇省南通市2020年中考)1275年，我國南宋數(shù)學家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．若設長為x步，則可列方程為_____．【詳解】解：∵長為x步，寬比長少12步，∴寬為（x﹣12）步．依題意，得：x（x﹣12）＝864．11．如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16cm2，則該半圓的半徑為cm．【詳解】解：如圖所示，圓心為A，設半徑為R，大正方形邊長是2x∵正方形的兩個頂點在半圓上，另外兩個頂點在圓心兩側(cè)，∴AE=BC=x，CE=2x，∵小正方形的面積為16cm2，∴小正方形的邊長為EF=DF=4，由勾股定理得：，即，解得：x=4，，故答案為：．12．準備在一塊長為30米，寬為24米的長方形花圃內(nèi)修建四條寬度相等，且與各邊垂直的小路，(如圖所示)四條小路圍成的中間部分恰好是一個正方形，且邊長是小路寬度的4倍，若四條小路所占面積為80平方米，則小路的寬度為_____米．【詳解】設小路的寬度為，由題意和圖示可知，小路的面積為，解一元二次方程，由，可得.13．(2019年江蘇省南京市中考)某地計劃對矩形廣場進行擴建改造．如圖，原廣場長50m，寬40m，要求擴充后的矩形廣場長與寬的比為3：2．擴充區(qū)域的擴建費用每平方米30元，擴建后在原廣場和擴充區(qū)域都鋪設地磚，鋪設地磚費用每平方米100元．如果計劃總費用642000元，擴充后廣場的長和寬應分別是多少米？【詳解】解：設擴充后廣場的長為，寬為.根據(jù)題意，得.解得（不合題意，舍去）.所以.答：擴充后廣場的長和寬應分別為和.14．如圖，某農(nóng)戶準備建一個長方形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻，若墻長為18m，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長35m，圍成長方形的養(yǎng)雞場四周不能有空隙．（1）要圍成養(yǎng)雞場的面積為150m2，則養(yǎng)雞場的長和寬各為多少？（2）圍成養(yǎng)雞場的面積能否達到200m2？請說明理由．【詳解】解：（1）設養(yǎng)雞場的寬為xm，根據(jù)題意得：x（35﹣2x）＝150，解得：x1＝10，x2＝7.5，當x1＝10時，35﹣2x＝15＜18，當x2＝7.5時35﹣2x＝20＞18，（舍去），則養(yǎng)雞場的寬是10m，長為15m．（2）設養(yǎng)雞場的寬為xm，根據(jù)題意得：x（35﹣2x）＝200，整理得：2x2﹣35x+200＝0，△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因為方程沒有實數(shù)根，所以圍成養(yǎng)雞場的面積不能達到200m2．15．如圖是2019年1月份的日歷．任意選擇圖中的菱形框部分，將每個菱形框部分中去掉中間位置的數(shù)之后，相對的兩對數(shù)分別相乘，再相減，例如：9×11-3×17=48，13×15-7×21=48．不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是48（1）請證明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）小明說：他用一個如圖所示菱形框，框出5個數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積是120，請判斷他的說法是否正確．【詳解】（1）證明：設中間的數(shù)為a，則另外4個數(shù)分別為（a-7），（a-1），（a+1），（a+7），∴（a-1）（a+1）-（a-7）（a+7）=a2-1-（a2-49）=48．（2）解：設這5個數(shù)中最大數(shù)為x，則最小數(shù)為（x-14），依題意，得：x（x-14）=120，解得：x1=20，x2=-6（不合題意，舍去）．∵20在第一列，∴不符合題意，∴小明的說法不正確【B組-提高題】16．一個矩形內(nèi)放入兩個邊長分別為3cm和4cm的小正方形紙片，按照圖①放置，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為8cm2；按照圖②放置，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為11cm2，若把兩張正方形紙片按圖③放置時，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為（

）A．6cm2 B．7cm2 C．12cm2 D．19cm2【詳解】解：設矩形的長為xcm，寬為ycm，依題意，得：，（②-①）÷3，得：y-x+1=0，∴x=y+1③．將③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，整理，得：y2-2y-15=0，解得：y1=5，y2=-3（舍去），∴x=6．∴按圖③放置時，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為：（x-4）（y-3）+（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7．故選：B．17．如圖1，用籬笆靠墻圍成矩形花圃ABCD，墻可利用的最大長度為15m，一面利用舊墻，其余三面用籬笆圍，籬笆總長為24m，設平行于墻的BC邊長為xm（1）若圍成的花圃面積為40m2時，求BC的長（2）如圖2，若計劃在花圃中間用一道籬笆隔成兩個小矩形，且圍成的花圃面積為50m2，請你判斷能否成功圍成花圃，如果能，求BC的長？如果不能，請說明理由．（3）如圖3，若計劃在花圃中間用n道籬笆隔成小矩形，且當這些小矩形為正方形時，請列出x、n滿足的關(guān)系式【詳解】（1）根據(jù)題意得，AB=m則?x=40∴x1=20，x2=4，因為20＞15，所以x1=20舍去答：BC的長為4米；（2）不能圍成花圃，根據(jù)題意得，?x＝50方程可化為x2-24x+150=0△=（-24）2-4×150＜0，∴方程無實數(shù)解，∴不能圍成花圃；（3）∵用n道籬笆隔成小矩形，且這些小矩形為正方形，∴AB=而正方形的邊長也為，∴關(guān)系式為：18．發(fā)現(xiàn)：四個連續(xù)的整數(shù)的積加上是一個整數(shù)的平方．驗證：(1)的結(jié)果是哪個數(shù)的平方？(2)設四個連續(xù)的整數(shù)分別為，試證明他們的積加上是一個整數(shù)的平方；延伸：(3)有三個連續(xù)的整數(shù)，前兩個整數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方，試求出這三個整數(shù)分別是多少．【詳解】(1)3×4×5×6＋1=361=192，即3×4×5×6＋1的結(jié)果是19的平方；(2)設這四個連續(xù)整數(shù)依次為：n-1，n，n+1，n+2，則(n-1)n