江蘇省南京市南湖第一中學高一數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f（x）=log2x，x∈（4，8），則函數y=f（x2）+的值域為（）A．[8，10） B．（，10） C．（8，） D．（，10）參考答案：C【考點】對數函數的圖象與性質．【分析】構造函數，設log2x=t，t∈（2，3），則得到y=2t+=2（t+），利用定義得到函數的單調性，即可求出函數的值域【解答】解：∵f（x）=log2x，x∈（4，8），設log2x=t，t∈（2，3），∵f（x2）=log2x2=2log2x，∴y=2t+=2（t+），設t1，t2∈（2，3），且t1＜t2，∴f（t1）﹣f（t2）=2[（t1+）﹣（t2+）]=2（t1﹣t2），∵t1，t2∈（2，3），且t1＜t2，∴t1﹣t2＜0，t1t2﹣4＞0，∴f（t1）﹣f（t2）＜0，∴函數y=f（t）在（2，3）上為增函數，∴f（2）＜y＜f（3），∴8＜y＜∴函數y=f（x2）+=2log2x的值域為（8，），故選C．2.兩數與的等比中項是（

）

A.1 B.－1 C.±1 D.參考答案：C試題分析：設兩數的等比中項為，等比中項為-1或1考點：等比中項3.sin150°的值等于（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】運用誘導公式化簡求值．【專題】計算題．【分析】根據誘導公式直接求解．【解答】解：sin150°=sin30°=故選A．【點評】本題考查了誘導公式的應用，屬于基礎題型．4.函數為奇函數，定義域為，若為偶函數，且，則(

)A．－2

B．－1

C.0

D．1參考答案：D由題為偶函數，∵f（x）是奇函數，

即即則

則是奇函數，則，

則．5.關于函數f（x）=x3的性質表述正確的是(

)A．奇函數，在（﹣∞，+∞）上單調遞增 B．奇函數，在（﹣∞，+∞）上單調遞減C．偶函數，在（﹣∞，+∞）上單調遞增 D．偶函數，在（﹣∞，+∞）上單調遞減參考答案：A【考點】函數奇偶性的判斷；函數單調性的判斷與證明．【專題】計算題．【分析】利用f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x）可判斷函數f（x）的奇偶性，再利用導數值的符號與原函數單調性的關系可判斷函數f（x）的單調性，兩者結合即可判斷選項．【解答】解：函數f（x）=x3的定義域為R，關于原點對稱，又∵f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），∴函數f（x）=x3為奇函數，∵f′（x）=3x2≥0，故函數f（x）=x3在（﹣∞，+∞）上單調遞增．故選A．【點評】本題考查函數奇偶性的判斷、函數單調性的判斷與證明，著重考查導數工具的應用，屬于基礎題．6.集合，集合，則A∪B=（

）A.(1,2) B.(－2,3) C.(－2,2) D.(0,2)參考答案：B【分析】解出集合、，利用并集的定義可求出集合.【詳解】，，因此，.故選：B.【點睛】本題考查并集的計算，涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎題.7.已知函數，，則函數的值域為（

）A.{－1,0,1} B.[0,1]C.{0,1} D.[0,+∞)參考答案：C【分析】分別代入求得即可.【詳解】由題,故值域為故選：C【點睛】本題主要考查函數的值域,屬于簡單題型.8.已知點P是圓x2+y2=1上動點，定點Q（6，0），點M是線段PQ靠近Q點的三等分點，則點M的軌跡方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣4）2+y2= C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（2x+3）2+4y2=1參考答案：B【考點】J3：軌跡方程；JE：直線和圓的方程的應用．【分析】點M是靠近點Q的三等分點，設M（x，y），則P（3x，3y﹣8），代入圓的方程即得M的軌跡方程．【解答】解：點M是靠近點Q的三等分點，設M（x，y），P（x′，y′），=3，則P（3x﹣12，3y），代入圓的方程得（3x﹣12）2+（3y）2=1．M的軌跡方程是：（x﹣4）2+y2=．故選：B．9.下列冪函數中，定義域為R的是（）A．y=x2 B．y=x C．y=x D．y=x參考答案：A【考點】函數的定義域及其求法．【分析】直接利用冪函數的定義域判斷即可．【解答】解：y=x2的定義域是R，A正確；y=x的定義域是x≥0，B不正確；y=x的定義域是x≥0，C不正確；y=x的定義域是x＞0，D不正確；故選：A．10.已知函數y=sin(x+)與直線y＝的交點中距離最近的兩點距離為，那么此函數的周期是（

）A

B

C

2

D

4參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了了解我校今年準備報考飛行員的學生的體重情況，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1：2：3，第2小組的頻數為12，則抽取的學生人數是

．參考答案：48

12.函數的最小正周期是__________．參考答案：2【分析】直接利用余弦函數的周期公式求解即可．【詳解】函數的最小正周期是：2．故答案為：2．【點睛】本題考查三角函數的周期的求法，是基本知識的考查．13.已知，，若是的充分條件，則實數的取值范圍是

參考答案：14.角終邊上一點的坐標為，則_____.參考答案：【知識點】倍角公式【試題解析】因為角終邊上一點的坐標為，

所以，

故答案為：15.在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，，，則

．參考答案：416.已知向量=（1，2），向量=（x，﹣1），若向量與向量夾角為鈍角，則x的取值范圍為．參考答案：（﹣∞，﹣）∪（﹣，2）【考點】9R：平面向量數量積的運算．【分析】向量與向量夾角為鈍角，則?＜0，且與不共線，解得x的范圍即可．【解答】解：向量=（1，2），向量=（x，﹣1），向量與向量夾角為鈍角，∴?＜0，且與不共線，∴，解得x＜2且x≠﹣，故x的取值范圍為（﹣∞，﹣）∪（﹣，2），故答案為：（﹣∞，﹣）∪（﹣，2）17.（5分）冪函數f（x）的圖象過點，則f（x）的解析式是

．參考答案：考點： 冪函數的概念、解析式、定義域、值域．專題： 計算題．分析： 先由待定系數法設出函數的解析式，令f（x）=xn，再由冪函數f（x）的圖象過點，將點的坐標代入求出參數，即可得到函數的解析式解答： 由題意令f（x）=xn，將點代入，得，解得n=所以故答案為點評： 本題考查冪函數的概念、解析式、定義域，解答本題，關鍵是掌握住冪函數的解析式的形式，用待定系數法設出函數的解析式，再由題設條件求出參數得到解析式，待定系數法是求函數解析式的常用方法，其前提是函數的性質已知，如本題函數是一個冪函數．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2）．（1）設=4+，求；（2）若+與垂直，求λ的值；（3）求向量在方向上的投影．參考答案：考點： 平面向量數量積的運算；數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．專題： 平面向量及應用．分析： （1）由已知中向量=（1，2），=（2，﹣2），=4+，可得向量的坐標，代入向量數量積公式可得的值，再代入數乘向量公式，可得答案．（2）若+與垂直，則（+）?=0垂直，進而可構造關于λ的方程，解方程可得λ的值．（3）根據向量在方向上的投影為||cosθ=，代入可得答案．解答： （1）∵向量=（1，2），=（2，﹣2）．∴=4+=（6，6），∴=2×6﹣2×6=0∴=…3分（2）+λ=（1，2）+λ（2，﹣2）=（2λ+1，2﹣2λ），由于+λ與垂直，∴2λ+1+2（2﹣2λ）=0，∴λ=．…（6分）（3）設向量與的夾角為θ，向量在方向上的投影為||cosθ．∴||cosθ===﹣=﹣．…（10分）點評： 本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，數量積判斷兩個向量的垂直關系，向量的投影，熟練掌握向量運算的基本運算法則是解答的關鍵．19.設函數是定義在上的減函數，并且滿足，．（1）若存在實數，使得＝2，求的值；（2）如果，求的集合.參考答案：（1）且函數是定義在上的減函數

（2）

且函數是定義在上的減函數

即

略20.在銳角三角形中，邊a、b是方程x2－2x+2=0的兩根，角A、B滿足2sin(A+B)－=0，求角C的度數，邊c的長度及△ABC的面積.參考答案：解：由2sin(A+B)－=0，得sin(A+B)=,

∵△ABC為銳角三角形

∴A+B=120°,

C=60°.………………（4分）又∵a、b是方程x2－2x+2=0的兩根，∴a+b=2,a·b=2,……………….（6分）∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,

∴c=,

…………….…….（10分）S△ABC=absinC=×2×=.

…………….…….（12分）

略21.已知函數f（x）=4x﹣2?2x+1﹣6，其中x∈[0，3]．（1）求函數f（x）的最大值和最小值；（2）若實數a滿足：f（x）﹣a≥0恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【分析】（1）由題意可得，f（x）=（2x）2﹣4?2x﹣6（0≤x≤3），令t=2x，從而可轉化為二次函數在區間[1，8]上的最值的求解（2）由題意可得，a≤f（x）恒成立?a≤f（x）min恒成立，結合（1）可求【解答】解：（1）∵f（x）=4x﹣2?2x+1﹣6（0≤x≤3）∴f（x）=（2x）2﹣4?2x﹣6（0≤x≤3）…（2分）令t=2x，∵0≤x≤3，∴1≤t≤8．令h（t）=t2﹣4t﹣6=（t﹣2）2﹣10（1≤t≤8）…（4分）當t∈[1，2]時，h（t）是減函數；當t∈[2，8]時，h（t）是增函數．∴f（x）min=h（2）=﹣10，f（x）max=h（8）=26…（8分）（2）∵f（x）﹣a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立．∴a≤f（x）min恒成立．由（1）知f（x）min=﹣10，∴a≤﹣10．故a的取值范圍為（﹣∞，﹣10]…（14分）22.（16分）已知△OAB的頂點坐標為O（0，0），A（2，9），B（6，﹣3），點P的橫坐標為14，且，點Q是邊AB上一點，且．（1）求實數λ的值與點P的坐標；（2）求點Q的坐標；（3）若R為線段OQ上的一個動點，試求的取值范圍．參考答案：考點： 平面向量的綜合題．專題： 綜合題．分析： （1）先設P（14，y），分別表示，然后由，建立關于y的方程可求y．（2）先設點Q（a，b），則可表示向量，由，可得3a=4b，再由點Q在邊AB上可得①②，從而可解a，b，進而可得Q的坐標．（3）由R為線段OQ上的一個動點可設R（4t，3t），且0≤t≤1，則有分別表示，，由向量的數量積整理可得，利用二次函數的知識可求取值范圍．解答： （1）設P（14，y），則