第六章積分與其應用6.1反導數與不定積分6.2廣義乘冪律與替代法的積分6.3指數與對數的積分6.4面積與微積分基本定理6.5兩圖形所圍成區域的面積6.6加總極限的定積分6.7旋轉體的體積P.6-1第六章積分與其應用6.1反導數與不定積分學習目標了解反導數的定義。利用不定積分表示反導數。利用積分法則求反導數。利用起始條件求不定積分的特解。利用反導數求解實際生活的問題。P.6-2第六章積分與其應用反導數到目前為止，本書的重點在於解決這樣的問題：「給定一函數，試求導數」?？墒呛芏辔⒎e分的應用卻牽涉反向的問題：「給定一導數，試求原函數」。譬如，已知導數 f(x)=2, g(x)=3x2, 和 s(t)=4tP.6-2第六章積分與其應用反導數目標是欲求函數f、g和s。對於下列函數的合理猜測是 從導數來求原函數的運算，其實是微分的反向運算，稱為反微分(antidifferentiation)。P.6-2第六章積分與其應用反導數P.6-2第六章積分與其應用反導數若F(x)為f(x)的反導數，則F(x)＋C也為f(x)的反導數，其中C為任意常數。譬如， F(x)=x3, G(x)=x3

－5,和

H(x)=x3+0.3 皆為3x2

的反導數，因為它們的導數都是3x2。所有3x2

的反導數都是屬於x3

＋C的一般式。所以，反微分的過程並不只是找到單一函數而已，而是找到整個函數族，其成員之間只相差一常數。P.6-2第六章積分與其應用學習提示在本節中，「F(x)為f(x)的反導數」同義於「F為f的反導數」。P.6-2第六章積分與其應用反導數與不定積分的表示法計算反微分的過程也稱為積分

(integration)，記作

積分符號 稱為積分符號

(integralsign)。P.6-3第六章積分與其應用反導數與不定積分的表示法下列符號

f(x)dx 不定積分 是f(x)的不定積分

(indefiniteintegral)，代表f(x)的整個反導數族；即，對於所有的x，若F

(x)＝f(x)為真，則可寫成 其中f(x)為積分函數

(integrand)且C為積分常數

(constantofintegration)。P.6-3第六章積分與其應用反導數與不定積分的表示法P.6-3第六章積分與其應用另外，不定積分的微分dx可辨識出積分的變數；即符號

f(x)dx的意義為「f對

x的反導數」。正如同符號dy/dx的意義為「y對

x的導數」P.6-3第六章積分與其應用試驗算F1(x)＝x2

－2x，F2(x)＝x2

－2x－1和F3(x)＝(x－1)2

皆為f(x)＝2x－2的反導數，在相同的座標平面畫出F1、F2和F3。它們的圖形有何相關性？至於其他f的反導數圖形會是怎樣？探索範例

1反導數的表示法以積分表示法，就可改寫本節前三個反導數。 a.

2dx=2x+

C b.3x2

dx=

x3+C

c.4tdt=2t2+CP.6-3第六章積分與其應用檢查站1試以積分表示法來改寫下列的反導數。P.6-3第六章積分與其應用求反導數積分與微分互為反運算的性質可以符號表示為 也因為它們互為反運算的性質，所以可利用微分公式，直接推導得積分公式。P.6-3第六章積分與其應用求反導數以下為已學過微分公式所對應的積分公式的整理P.6-3第六章積分與其應用求反導數請注意，基本乘冪律有個限制：n不能等於－1，所以不能將該法則應用於積分 若要計算此積分，則須利用6.3節的積分對數律。P.6-3第六章積分與其應用學習提示在6.2節將要研究積分的廣義乘冪律，在6.3節則要研究積分的指數律與對數律。P.6-3第六章積分與其應用範例2求不定積分求下列不定積分。P.6-3第六章積分與其應用範例2求不定積分（解）P.6-3第六章積分與其應用學習提示範例2(b)的積分

1dx常簡寫為

dx的形式。P.6-3第六章積分與其應用檢查站2求下列不定積分。 a.5dx b.－1dr c.2dtP.6-3第六章積分與其應用範例

3求不定積分求

3xdx。P.6-5第六章積分與其應用範例

3求不定積分（解）P.6-5第六章積分與其應用檢查站3求5xdx。P.6-5第六章積分與其應用求反導數在求不定積分時，若只依據基本積分法則，很容易產生怪異的積分常數。譬如在範例3，可能寫成 然而，因為C可為任意常數，所以沒有必要將積分常數寫成3C，只要寫

就行了。P.6-5第六章積分與其應用求反導數請注意，範例3中求積分的過程很類似於計算微分的流程。P.6-5第六章積分與其應用範例

4積分前先改寫求下列不定積分。P.6-5第六章積分與其應用範例

4積分前先改寫（解）P.6-5第六章積分與其應用學習提示切記可利用微分來驗算反微分的問題。譬如在範例4(b)中，若要檢查

是否為正確的反導數，將其微分可得P.6-5第六章積分與其應用檢查站4求下列不定積分。P.6-5第六章積分與其應用求反導數運用五個基本積分法則，就可求出任意多項式函數的積分，如同下例所示。P.6-5第六章積分與其應用範例

5多項式函數的積分求下列不定積分。 a.(x+2)dx b.(3x4

－5x2+x)dxP.6-6第六章積分與其應用範例

5多項式函數的積分（解） 通常省略解答的第二行。P.6-6第六章積分與其應用範例

5多項式函數的積分（解）b.使用基本積分法則來求積分。P.6-6第六章積分與其應用檢查站5求下列不定積分。 a.(x+4)dx b.(4x3

－5x+2)dxP.6-6第六章積分與其應用學習提示在求商的不定積分時，切記不可將分子與分母的函數個別積分。譬如，在範例6中 不等於P.6-6第六章積分與其應用範例

6積分前先改寫求。P.6-6第六章積分與其應用範例

6積分前先改寫

（解）首先將積分函數中的商改寫為分項和，再改寫每一項的乘冪為分數形式。P.6-6第六章積分與其應用範例6的計算過程可參考本章代數複習範例1(a)。P.6-6第六章積分與其應用代數技巧檢查站6求。P.6-6第六章積分與其應用特解方程式y=

f(x)dx有許多解，每個解之間也只有常數的不同。這說明f的任意兩個反導數的圖形是互為垂直平移的圖形。譬如，圖6.1為多個不同C值的反導數圖形，反導數的形式為y=

F(x)=(3x2

－1)dx=

x3

－x+

C 每一個反導數都是微分方程dy/dx＝3x2

－1的解。一個x、y的微分方程(differentialequation)中包含x、y和y的導數，故dy/dx＝3x2

－1的通解

(generalsolution)為F(x)＝x3

－x＋C。P.6-6~6-7第六章積分與其應用特解在許多積分的應用中，足夠的給定條件可求出特解

(particularsolution)，藉由知道某個x的F(x)值就行[這條件稱為起始條件(initialcondition)]。譬如在圖6.1中，只有一曲線通過點(2,4)，因此，用下列的條件就能找出這一條曲線。 F(x)=x3

－x+

C 通解 F(2)=4 起始條件 將起始條件代入通解，得F(2)＝23

－2＋C＝4，即C＝－2，所以特解為 F(x)=x3

－x－

2 特解P.6-7第六章積分與其應用特解P.6-7圖6.1第六章積分與其應用範例

7求特解求F(x)＝2x－2的通解，再求滿足起始條件F(1)＝2的特解。P.6-7第六章積分與其應用範例

7求特解（解）首先以積分求通解。 F(x)=(2x－

2)dx 對F(x)積分得F(x) =x2

－2x+

C 通解 利用起始條件F(1)＝2可得 F(1)＝12

－2(1)＋C＝2 即C＝3。所以特解為 F(x)=x2

－2x+3 特解P.6-7第六章積分與其應用範例

7求特解（解）此解如圖6.2所示，其中每條灰色曲線為方程式F

(x)＝2x－2的某一解，而黑色曲線是唯一通過點(1,2)的解，也就是F(x)＝x2

－2x＋3是滿足起始條件的唯一解。P.6-7第六章積分與其應用範例

7求特解（解）P.6-7圖6.2第六章積分與其應用檢查站7求F

(x)＝4x＋2的通解，再求滿足起始條件F(1)＝8的特解。P.6-7第六章積分與其應用應用在第三章中，自由落體的位置函數(不計空氣阻力)為s(t)=－16t2+v0t+

s0 其中s(t)為高度(呎)且t為時間(秒)。在下個例子中，我們將以積分技巧推導此函數。P.6-7~6-8第六章積分與其應用範例8：決策－推導位置函數從80呎高處將一球以每秒64呎的速度向上投擲(如圖6.3所示)。試以t(秒)為變數，推導高度s(呎)的位置函數。試問此球在空中的時間會超過5秒嗎？P.6-8第六章積分與其應用範例8：決策－推導位置函數（續）P.6-8圖6.3第六章積分與其應用範例8：決策－推導位置函數（解）令t＝0代表起始時間，再利用給定的兩條件

s(0)=80 起始高度為80呎 s(0)=64 起始速度為每秒64呎 由於重力加速度為－32呎每秒平方，對加速度函數積分即可求得速度函數，

s(t)=－32 重力加速度

s(t)=－32dt 對s

(t)積分可求得s

(t) =－32t+

C1速度函數P.6-8第六章積分與其應用範例8：決策－推導位置函數（解）利用起始速度為每秒64呎，可求得C1

＝64 s(t)=－32+64

速度函數 s

(t)=(－32+64)dt 對s(t)積分則可求得s(t) =－16t2+64t+

C2位置函數 再利用起始高度為80呎，可求得C2

＝80，所以位置函數為 s(t)=－16t2+64t+

80位置函數P.6-8第六章積分與其應用範例8：決策－推導位置函數（解）令位置函數等於0解出t，就是球落到地面的時間。 －16t2+64t+80=0 令s(t)

等於零 －16t(1+t)(t－5)=0 因式分解 t=－

1,t=5 解t 因為時間為正數，則此球丟出5秒後落到地面；它