數學建模二次章節程6、露凝無游氛，天高風景澈。7、翩翩新來燕，雙雙入我廬，先巢故尚在，相將還舊居。8、吁嗟身后名，于我若浮煙。9、陶淵明（約365年—427年），字元亮，（又一說名潛，字淵明）號五柳先生，私謚“靖節”，東晉末期南朝宋初期詩人、文學家、辭賦家、散文家。漢族，東晉潯陽柴桑人（今江西九江）。曾做過幾年小官，后辭官回家，從此隱居，田園生活是陶淵明詩的主要題材，相關作品有《飲酒》、《歸園田居》、《桃花源記》、《五柳先生傳》、《歸去來兮辭》等。10、倚南窗以寄傲，審容膝之易安。數學建模二次章節程數學建模二次章節程6、露凝無游氛，天高風景澈。7、翩翩新來燕，雙雙入我廬，先巢故尚在，相將還舊居。8、吁嗟身后名，于我若浮煙。9、陶淵明（約365年—427年），字元亮，（又一說名潛，字淵明）號五柳先生，私謚“靖節”，東晉末期南朝宋初期詩人、文學家、辭賦家、散文家。漢族，東晉潯陽柴桑人（今江西九江）。曾做過幾年小官，后辭官回家，從此隱居，田園生活是陶淵明詩的主要題材，相關作品有《飲酒》、《歸園田居》、《桃花源記》、《五柳先生傳》、《歸去來兮辭》等。10、倚南窗以寄傲，審容膝之易安。數學建模第二次課程目的：介紹一些簡單的數學建模問題；介紹數學建模的一般思想和思路；介紹簡單的初等數學模型；增加大家對數學建模的興趣；為今后參加數學建模競賽打下良好的基礎；初等模型介紹2.1公平的席位分配2.2錄像機計數器的用途2.3雙層玻璃窗的功效2.4汽車剎車距離2.5劃艇比賽的成績公平分配方案應使rA

,rB

盡量小設A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問應分給A,還是B不妨設分配開始時p1/n1>p2/n2，即對A不公平~對A的相對不公平度將絕對度量改為相對度量類似地定義rB(n1,n2)將一次性的席位分配轉化為動態的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定義1）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應計算rB(n1+1,n2)應計算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應給應討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會出現？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應給B當rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q

值方法計算，三系用Q值方法重新分配21個席位按人數比例的整數部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結果Q1最大，第20席給甲系問題在一次使用中錄像帶已經轉過大半，計數器讀數為4450，問剩下的一段還能否錄下1小時的節目？要求不僅回答問題，而且建立計數器讀數與錄像帶轉過時間的關系。思考計數器讀數是均勻增長的嗎？2.2

錄像機計數器的用途經試驗，一盤標明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時間用了184分，計數器讀數從0000變到6061。錄像機計數器的工作原理主動輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計數器錄像帶錄像帶運動方向錄像帶運動右輪盤半徑增大右輪變慢錄像帶運動速度是常數計數器讀數增長變慢問題分析觀察計數器讀數增長越來越慢！模型假設

錄像帶的運動速度是常數

v

；

計數器讀數

n與右輪轉數

m成正比，記

m=kn；

錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數

w；

空右輪盤半徑記作r

；

時間

t=0時讀數n=0.建模目的建立時間t與讀數n之間的關系（設v,k,w,r為已知參數）模型建立建立t與n的函數關系有多種方法1.右輪盤轉第

i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長度等于錄像帶在時間t內移動的長度vt,所以2.考察右輪盤面積的變化，等于錄像帶厚度乘以轉過的長度，即3.考察t到t+dt錄像帶在右輪盤纏繞的長度，有模型建立思考3種建模方法得到同一結果但仔細推算會發現稍有差別，請解釋。模型中有待定參數一種確定參數的辦法是測量或調查，請設計測量方法。思考參數估計另一種確定參數的方法——測試分析將模型改記作只需估計a,b理論上，已知t=184,n=6061,再有一組(t,n)數據即可實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數據作擬合現有一批測試數據：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061最小二乘法(大家編程序實現)程序t=[020406080100120140160184];n=[0000114120192760341340044545505155256061];R=[(n.^2)'n'];A=R\t'模型檢驗應該另外測試一批數據檢驗模型：模型應用回答提出的問題：由模型算得n=4450時t=116.4分，剩下的錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節目。揭示了“t與n之間呈二次函數關系”這一普遍規律，當錄像帶的狀態改變時，只需重新估計a,b即可。2d墻室內T1室外T2dd墻l室內T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設熱量傳播只有傳導，沒有對流T1,T2不變，熱傳導過程處于穩態材料均勻，熱傳導系數為常數建模熱傳導定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導系數2.3雙層玻璃窗的功效dd墻l室內T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1Ta~內層玻璃的外側溫度Tb~外層玻璃的內側溫度k1~玻璃的熱傳導系數k2~空氣的熱傳導系數建模記單層玻璃窗傳導的熱量Q22d墻室內T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導系數k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會如此之大大家畫出圖形2.4

汽車剎車距離美國的某些司機培訓課程中的駕駛規則：背景與問題正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時，后面與前車的距離應增一個車身的長度。實現這個規則的簡便辦法是“2秒準則”：后車司機從前車經過某一標志開始默數

2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何判斷“2秒準則”與“車身”規則是否一樣；建立數學模型，尋求更好的駕駛規則。問題分析常識：剎車距離與車速有關10英里/小時(16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺(9米)>>車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規則不同剎車距離反應時間司機狀況制動系統靈活性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動力與車質量成正比，使汽車作勻減速運動。車速常數反應距離制動距離常數假設與建模1.剎車距離d等于反應距離d1與制動距離d2之和2.反應距離d1與車速v成正比3.剎車時使用最大制動力F，F作功等于汽車動能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應時間且F與車的質量m成正比反應時間t1的經驗估計值為0.75秒參數估計利用交通部門提供的一組實際數據擬合k模型最小二乘法k=0.06計算剎車距離、剎車時間車速(英里/小時)(英尺/秒)實際剎車距離（英尺）計算剎車距離（英尺）剎車時間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準則”應修正為“t秒準則”模型車速(英里/小時)剎車時間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時）0~1010~4040~6060~80t（秒）12342.5劃艇比賽的成績賽艇2000米成績t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長l

艇寬b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手數n

16.313.618.114.7對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠軍的成績進行比較，發現與漿手數有某種關系。試建立數學模型揭示這種關系。問題準備調查賽艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變問題分析

前進阻力~浸沒部分與水的摩擦力

前進動力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手數量之間的關系賽艇速度由前進動力和前進阻力決定劃漿功率

賽艇速度賽艇速度前進動力前進阻力漿手數量艇重浸沒面積

對漿手體重、功率、阻力與艇速的關系等作出假定運用合適的物理定律建立模型模型假設1）艇形狀相同(l/b為常數),w0與n成正比2）阻力f與sv2成正比符號：艇速v,浸沒面積s,浸沒體積A,空艇重w0,阻力f,漿手數n,漿手功率p,漿手體重w,艇重W艇的靜態特性艇的動態特性3）w相同，p不變，p與w成正比漿手的特征模型建立f

sv2p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績

t

n

–1/9npfv模型檢驗n