2022年河南省商丘市孫付集聯合中學高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若變量，滿足約束條件，則的最大值為

A． B．

C．

D．參考答案：C

【知識點】簡單線性規劃．E5解析：線性約束區域如下圖，看作是，當經過與的交點時，取最大值．故選C.【思路點撥】作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部，再將目標函數z=x+2y對應的直線進行平移，可得當x=，y=時，z取得最大值．2.中，是的

（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C3.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.設,則

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.過雙曲線的右焦點與對稱軸垂直的直線與漸近線交于兩點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D由題意，得代入，得交點，則，整理，得，故選D．6.已知向量滿足則向量夾角的余弦值為(

)

參考答案：C7.已知點是雙曲線：左支上一點，，是雙曲線的左、右兩個焦點，且，兩條漸近線相交兩點（如圖），點恰好平分線段，則雙曲線的離心率是

（

）A．

B．2

C．

D．參考答案：A8.已知，則的值為（

）A. B. C.

D．參考答案：C9.直線與y軸的交點為P，點P把圓的直徑分為兩段，則較長一段比上較短一段的值等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：A令代入可得，圓心坐標為，則與圓心的距離為，半徑為6，可知較長一段為8，較短一段4，則較長一段比上較短一段的值等于2．故選A．10.雙曲線與橢圓有相同的焦點，該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若變量滿足條件，則的最小值為

參考答案：略12.執行如圖程序框圖，如果輸入的依次為3，5，3，5，5，4，4，3，4，4，則輸出的s為．參考答案：4考點：程序框圖．

專題：算法和程序框圖．分析：框圖的功能是求數據3、5、3、5、5、4、4、3、4、4的平均數，利用平均數公式計算可得答案．解答：解：由程序框圖知：算法的功能是求數據3、5、3、5、5、4、4、3、4、4的平均數，∴輸出的S==4．故答案為：4．點評：本題考查了當型循環結構的程序框圖，根據框圖的流程判斷算法的功能是解答本題的關鍵．13.已知函數的圖象是以點（－1,1）為中心的中心對稱圖形，，曲線在點處的切線與曲線在點處的切線互相垂直，則__________．參考答案：【分析】由中心對稱得，可解得，再由兩切線垂直，求導數得斜率，令其乘積為-1，即可得解.【詳解】由，得，解得，所以.又，所以.因為，，，由，得，即.故答案為：【點睛】本題主要考查了函數的中心對稱性，考查了導數的幾何意義即切線斜率，屬于中檔題.14.過雙曲線的一個焦點F作一條漸近線的垂線，若垂足恰在線段OF(O為原點)的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為

.參考答案：不妨設F為左焦點，過F作漸近線的垂線，垂足為M,若垂足恰在線段OF(O為原點)的垂直平分線上，則說明直角三角形FMO為等腰直角三角形，所以漸近線的的斜率為1，即，所以，所以雙曲線的離心率為。15.已知四棱錐的各棱棱長都為，則該四棱錐的外接球的表面積為________。參考答案：36π16.若的值為_______.參考答案：8試題分析：令，得①；令，得②，兩式相加得.考點：二項式定理.17.已知曲線

參考答案：-6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在如圖所示的幾何體中，平面ADNM⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，，AB=2，AM=1，E是AB的中點．（1）求證：平面DEM⊥平面ABM；（2）在線段AM上是否存在點P，使二面角P﹣EC﹣D的大小為？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（1）推導出DE⊥CD，ND⊥AD，從而ND⊥DE，進而DE⊥平面NDC，由此能證明平面MAE⊥平面NDC．（2）以D為原點，建立空間直角坐標系D﹣xyz，求出平面PEC的一個法向量、平面ECD的法向量．利用向量的夾角公式，建立方程，即可得出結論．【解答】證明：（1）∵ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠DAB=60°，∴△ABD為等邊三角形，E為AB中點，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，∵ADMN是矩形，∴ND⊥AD，又平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，∴ND⊥平面ABCD，∴ND⊥DE，∵CD∩ND=D，∴DE⊥平面NDC，∵DE?平面MDE，∴平面MDE⊥平面NDC．因為面ABM∥面NDC，∴平面DEM⊥平面ABM；（2）解：設存在P符合題意．由（Ⅰ）知，DE、DC、DN兩兩垂直，以D為原點，建立空間直角坐標系D﹣xyz（如圖），則D（0，0，0），A（，﹣1，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h）（0≤h≤1）．∴=（0，﹣1，h），=（﹣，2，0），設平面PEC的法向量為=（x，y，z），則令x=2h，則平面PEC的一個法向量為=（2h，h，）取平面ECD的法向量=（0，0，1），cos45°=，解得h=，即存在點P，使二面角P﹣EC﹣D的大小為，此時AP=．19.（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系xoy中，以O為頂點，x軸正半軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為。（1）求的值；（2）求的值．參考答案：（1）；（2）．試題分析：（1）由題意A，B的橫坐標分別為，先確定的值，從而確定的值，先求，再根據兩角和差公式求得的值；（2）可先求的值，再由的范圍確定的值．試題解析：由條件得，為銳角，故．同理可得，因此．（1）。∴（2），∵

，從而．考點：（1）三角函數的定義；（2）兩角和差的正切公式．20.如圖，點C為某沿海城市的高速公路出入口，直線BD為海岸線，，，是以A為圓心，半徑為1km的圓弧型小路.該市擬修建一條從C通往海岸的觀光專線，其中P為上異于B，C的一點，PQ與AB平行，設.（1）證明：觀光專線的總長度隨的增大而減小；（2）已知新建道路PQ的單位成本是翻新道路的單位成本的2倍.當取何值時，觀光專線的修建總成本最低？請說明理由.參考答案：解：（1）由題意，，所以，又，所以觀光專線的總長度，，因為當時，，所以在上單調遞減，即觀光專線的總長度隨的增大而減小.（2）設翻新道路的單位成本為，則總成本，，，令，得，因為，所以，當時，，當時，.所以，當時，最小.答：當時，觀光專線的修建總成本最低.

21.交強險是車主必須為機動車購買的險種．若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）統一為a元，在下一年續保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發生道路交通事故的情況相聯系，發生交通事故的次數越多，費率也就越高，具體浮動情況如表：交強險浮動因素和浮動費率比率表

浮動因素浮動比率A1上一個年度未發生有責任道路交通事故下浮10%A2上兩個年度未發生有責任道路交通事故下浮20%A3上三個及以上年度未發生有責任道路交通事故下浮30%A4上一個年度發生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個年度發生兩次及兩次以上有責任道路交通事故上浮10%A6上一個年度發生有責任道路交通死亡事故上浮30%某機構為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續保時的情況，統計得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數量105520155以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：（Ⅰ）按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規定a=950．記X為某同學家的一輛該品牌車在第四年續保時的費用，求X的分布列與數學期望值；（數學期望值保留到個位數字）（Ⅱ）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車．假設購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：①若該銷售商購進三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；②若該銷售商一次購進100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由題意可知X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．由統計數據可知其概率及其分布列．（II）①由統計數據可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P=+．②設Y為該銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為﹣5000，10000．即可得出分布列與數學期望．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．…（2分）由統計數據可知：P（X=0.9a）=，P（X=0.8a）=，P（X=0.7a）=，P（X=a）=，P（X=1.1a）=，P（X=1.3a）=．所以X的分布列為：X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP…（4分）所以EX=0.9a×+0.8a×+0.7a×+a×+1.1a×+1.3a×==≈942．（Ⅱ）①由統計數據可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P=+=．…（8分）②設Y為該銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為﹣5000，10000．所以Y的分布列為：Y﹣500010000P所以EY=﹣5000×+10000×=5000．…（10分）所以該銷售商一次購進100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為100EY=50萬元．…（12分）【點評】本題考查了隨機變量的分布列與數學期望、相互獨立與互斥事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．22.（本小題滿分14分）設函數（1）證明對每一個，存在唯一的，滿足；（2）由（1）中的構成數列，判斷數列的單調性并證明；（3）對任意，滿足（1），試比較與的大小.參考答案：（1）顯然,當時,,故在上遞增.