§

3.3【學習要求】1.了解冪函數的概念.§

3.31會畫冪函數y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x－1,y＝x

2

的圖象.理解冪函數的性質.【學法指導】類比研究指數函數、對數函數的過程與方法,通過五個具體冪函數認識冪函數的圖象與性質.體會冪函數的變化規律及蘊含其中的對稱性,體驗由特殊到一般、由具體到抽象的學習方法,進一步滲透數形結合與類比的思想方法.(α∈R)的函數稱為冪函數,§

3.3冪函數的定義:一般地,形如y＝xα其中α

為常數.冪函數的性質:(1)所有的冪函數在

(0,＋∞)上都有定義,并且 圖象都過點

(1,1);(2)若α>0,則冪函數的圖象通過原點

,并且在區間[0,＋∞)

上是增函數.特別地,當α>1

時,冪函數的圖象下凸;當0<α<1

時,冪函數的圖象上凸;§

3.3(3)如果α<0,則冪函數在區間

(0,＋∞)上是減函數.在第一象限內,當x

從右邊趨向原點時,圖象在y

軸右方無限地逼近y

軸正半軸,當x

趨于＋∞時,圖象在x

軸上方無限地逼近x

軸正半軸.[問題情境]我們知道對于N＝ab,N

隨b

的變化而變化,我們建立了指數函數y＝ax;如果a

一定,b

隨N

的變化而變化,我們建立了對數函數y＝logax.設想:如果b

一定,N

隨a

的變化而變化,是不是也應該可以確定一個函數呢？本節我們就來探討這個問題.探究點一

冪函數的概念問題

1

函數

y＝x,y＝x2,y1x＝分別是哪種類型的函數？§

3.3答

分別是一次函數,二次函數,反比例函數.§

3.3問題

2

這些函數的解析式結構有何共同特點？其一般形式如何？答

冪的底數是自變量,指數是常數,一般形式為

y＝xα.1問題

3

函數

y＝x,y＝x2,y＝x都是冪函數.怎樣定義冪函數？答

冪函數的定義:一般地,形如

y＝xα

(α∈R)的函數叫做冪函數,其中

α

是常數.問題

4

判斷一個函數是冪函數的標準是什么？答

冪函數與指數函數、對數函數的定義類似,只有滿足函數解析式右邊的系數為

1,底數為自變量

x,指數為一常數這2

3x2三個條件時,才是冪函數.如:y＝3x

,y＝(2x)

,y＝

4

都不是冪函數.x2例

1

在函數

y＝

1

,y＝2x2,y＝x2＋x,y＝1

中,冪函數的個數為A.0B.1

C.2

D.3§

3.3

1解析

∵y＝

2＝x－2,所以是冪函數;y＝2x2

由于出現系數

2,x(

B

)因此不是冪函數;y＝x2＋x是兩項和的形式,不是冪函數;常函數y＝1

不是冪函數.小結

只有在形式上完全符合冪函數的定義的式子,才是冪函數,否則就不是.跟蹤訓練1§

3.3解

由題意得,解得

,所以m＝－3,n＝23.為R

的冪函數,求m,n

的值.m2＋2m－2＝1m2－1≠02n－3＝02已知y＝(m2＋2m－2)xm

－1

＋2n－3

是定義域§

3.3探究點二 冪函數的圖象和性質導引

為了研究冪函數的性質,如下圖,在同一坐標系內作出函1數(1)y＝x;(2)y＝x

2

;(3)y＝x2;(4)y＝x－1;(5)y＝x3

的圖象,思考下列問題:問題1你能從這五個具體的函數圖象中,發現什么規律？§

3.3答(1)所有的冪函數在(0,＋∞)都有定義,并且圖象都過點

(1,1);若α>0,則冪函數的圖象通過原點,并且在區間[0,＋∞)上是增函數.特別地,當α>1

時,冪函數的圖象下凸;當0<α<1

時,冪函數的圖象上凸;如果α<0,則冪函數在區間(0,＋∞)上是減函數.在第一象限內,當x

從右邊趨向原點時,圖象在y

軸右方無限地逼近y軸正半軸,當x

趨于＋∞時,圖象在x

軸上方無限地逼近x

軸正半軸.§

3.3問題

3

你能把問題

2

中兩個函數圖象的關系推廣到什么范圍？答冪指數互為倒數的冪函數在第一象限內的圖象關于直線y＝x

對稱.問題

4

在第一象限,作直線

x＝a(a>1),它同各冪函數圖象都相交,若按交點從下到上的順序,對應的冪指數有什么規律？答

冪指數按從小到大的順序排列.1問題

2

函數

y＝x2

與

y＝x

2

在第一象限的圖象有什么關系？出現這種關系的原因是什么？1答

函數

y＝x2

與

y＝x

2

在第一象限的圖象關于直線

y＝x

對1稱,因為y＝x2

與y＝x

2

互為反函數.問題

5

仔細觀察你畫出的五個函數的圖象,你能填寫表格的內容嗎？§

3.3y＝xy＝x2y＝x31y＝x

2y＝x－1定義域值域奇偶性單調性答§

3.3y＝xy＝x2y＝x31y＝x

2y＝x－1定義域RRR[0,＋∞){x|x≠0}值域R[0,＋∞)R[0,＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增在[0,＋∞)上增在(－∞,0]上減增增在(0,＋∞)上減在(－∞,0)上減例

2

比較下列兩個代數式的大小:1.5

1.5

2§

3.3解

(1)考察冪函數

y＝x1.5,在區間[0,＋∞)上是單調增函數.因為a＋1>a,所以(a＋1)1.5>a1.5.(2)考察冪函數y2

2小結比較兩個冪的大小要仔細觀察它們的異同點,指數相同底數不同時,要利用冪函數的單調性比較,底數相同而指數不同時,要利用指數函數的單調性比較,指數與底數都不同時要通過增加一個數起橋梁作用進行比較.－2(1)(a＋1)

,a

;(2)(2＋a

)

3

,2－23

.—2＝x

3,在區間2因為

2＋a

≥2,所以(2＋a

)

3

≤2－

－[0,＋∞)上是單調減函數.23

.跟蹤訓練2比較下列各組數的大小:1－3－3和(－2.5)

;9(3)(1.1)－0.1

和(1.2)－0.1;§

3.3

1

18

9又

>

,則

8>

9,從而－8

—7

7(1)－8

8和－

8;(2)(－2)－22

3(4)(4.1)

5

,(3.8)

3

和(－1.9)

5

.－71

7解

(1)－8

8＝－8

8,函數

y＝x78在(0,＋∞)上為增函數,81

7

1

78－71

78

<－9

8.§

3.3冪函數y＝x－3

在(－∞,0)和(0,＋∞)上為減函數,又∵－2>－2.5,∴(－2)－3<(－2.5)－3.冪函數y＝x－0.1

在(0,＋∞)上為減函數,又∵1.1<1.2,∴1.1－0.1>1.2－0.1.2(4)(4.1)

5

>1

5＝1;0<(3.8)2

－23－2<1

3

＝1;3

3(－1.9)

5

<0,∴(－1.9)

5

<(3.8)－223

<(4.1)

5

.§

3.332x

,定義域是實數集R.2例

3

討論函數

y＝x

3

的定義域、奇偶性,作出它的圖象.并根據圖象說明函數的增減性.2解

函數

y＝x

3

＝21

1

2因為f(－x)＝(－x)3＝[(－x)2]3＝(x2)3＝x

3

,2所以函數y＝x

3

是偶函數.因此函數的圖象關于y

軸對稱.列出函數在[0,＋∞)上的對應值表:x01234…y011.592.082.52…作出這個函數在[0,＋∞)上的圖象,再根據這個函數的圖象關于y

軸對稱,作出它在(－∞,0]上的圖象,如圖:由它的圖象可以看出,

這個函數在區間(－∞,0]上是減函數,在區間[0,＋∞)上是增函數.§

3.3小結討論冪函數的性質時,若冪函數的指數是分數的形式,一般把冪函數寫成根式的形式,這樣不僅容易求出函數的定義域、值域,也容易考察函數的奇偶性;畫冪函數的圖象,只需弄清楚冪函數在第一象限的圖象,再借助于奇偶函數的圖象性質,即可畫出整個函數的圖象.§

3.3跟蹤訓練

3

求下列冪函數的定義域,并指出其奇偶性、單調性.§

3.352

1

4x3,其定義域為(0,＋∞),它既不是奇函數,也不是偶函數,它在(0,＋∞)上單調遞減.(3)函數y＝x－2,即y＝

1

,其定義域為(－∞,0)∪(0,＋∞),是偶x2函數.它在區間(－∞,0)上單調遞增,在(0,＋∞)上單調遞減.23(1)y＝x

5

;(2)y＝x－

;(3)y＝x－2.42解

(1)函數

y＝x

5

,即

y＝

x

,其定義域為

R,是偶函數,它在—[0,＋∞)上單調遞增,在(－∞,0]上單調遞減.3(2)函數

y＝x

4

,即

y＝1.下列函數中不是冪函數的是A.y＝

xC.y＝2xB.y＝x3D.y＝x－1§

3.3解析根據冪函數的定義:形如y＝xα

的函數稱為冪函數,選項C

中自變量x

的系數是2,不符合冪函數的定義,所以C

不是冪函數.(

C

)2.已知冪函數

f(x)＝xα

的圖象經過點(2,

22

),則f(4)的值等于)A.16B.

116C.2D.12§

3.3解析

由f(x)＝xα

的圖象經過點(2,

22

12

),得 ＝2α,所以α＝－2

212(

D－1則

f(4)＝4

2＝