江蘇省常州市市北郊高級(jí)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.利用斜二測(cè)畫法得到的：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形．以上結(jié)論，正確的是（）A．①② B．① C．③④ D．①②③④參考答案：A【考點(diǎn)】斜二測(cè)法畫直觀圖．【分析】由斜二測(cè)畫法規(guī)則直接判斷即可．①正確；因?yàn)槠叫行圆蛔儯盛谡_；正方形的直觀圖是平行四邊形，③錯(cuò)誤；因?yàn)槠叫杏趛′軸的線段長減半，平行于x′軸的線段長不變，故④錯(cuò)誤．【解答】解：由斜二測(cè)畫法規(guī)則知：①正確；平行性不變，故②正確；正方形的直觀圖是平行四邊形，③錯(cuò)誤；因?yàn)槠叫杏趛′軸的線段長減半，平行于x′軸的線段長不變，故④錯(cuò)誤．故選A2.某小學(xué)慶“六一”晚會(huì)共由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目A必須排在前兩位，節(jié)目B不能排在第一位，節(jié)目C必須排在最后一位，該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有（

）A．36種

B．42種

C.48種

D．54種參考答案：B3.不等式的解集是（

）A.R

B.

C.

D.參考答案：B4.如圖所示，點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，則PB與AC所成的角是

()

A．90°B．60°C．45°

D．30°參考答案：B略5.已知，且，則的值為（

）A．4

B．-2

C．-4或2

D．-2或4參考答案：C6.定義

，則等于

(

)A.-2

B.0

C.

3

D.5參考答案：C7.若曲線在點(diǎn)P處的切線平行于直線，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

A．（－1，2）

B．（1，－3）

C．（1，0）

D．（1，5）參考答案：C略8.直線x+y﹣1=0的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°參考答案：D【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系即可得出．【解答】解：設(shè)直線x+y﹣1=0的傾斜角為α．直線x+y﹣1=0化為．∴tanα=﹣．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故選：D．9.過雙曲線的右焦點(diǎn)F作實(shí)軸所在直線的垂線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，則此雙曲線的離心率e的取值范圍為（）A． B． C．（2，+∞） D．（1，2）參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)雙曲線方程為﹣=1，作出圖形如圖，由左頂點(diǎn)M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，得|MF|＜|AF|，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的式子，再結(jié)合平方關(guān)系和離心率的公式，化簡整理得e2﹣e﹣2＞0，解之即可得到此雙曲線的離心率e的取值范圍．【解答】解：設(shè)雙曲線方程為﹣=1，a＞b＞0則直線AB方程為：x=c，其中c=因此，設(shè)A（c，y0），B（c，﹣y0），∴﹣=1，解之得y0=，得|AF|=，∵雙曲線的左焦點(diǎn)M（﹣a，0）在以AB為直徑的圓內(nèi)部∴|MF|＜|AF|，即a+c＜，將b2=c2﹣a2，并化簡整理，得2a2+ac﹣c2＜0兩邊都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＞0，解之得e＞2（舍負(fù)）故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題給出以雙曲線通徑為直徑的圓，當(dāng)左焦點(diǎn)在此圓內(nèi)時(shí)求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．10.設(shè)雙曲線的一條漸進(jìn)線方程為2x﹣y=0，則a的值為（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線的漸近線方程，列出方程求解即可．【解答】解：雙曲線的一條漸進(jìn)線方程為2x﹣y=0，可得，解得a=2．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)a，b是平面外的兩條直線，給出下列四個(gè)命題：①若a∥b，a∥，則b∥；②若a∥b，b與相交，則a與也相交；③若a∥，b∥，則a∥b；④若a與b異面，a∥，則．則所有正確命題的序號(hào)是________．參考答案：①②12.從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為________(用數(shù)字作答)

參考答案：1813.若雙曲線E：=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|=3，則|PF2|等于．參考答案：9【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)|PF2|=x，由雙曲線的定義及性質(zhì)得|x﹣3|=6，由此能求出|PF2|．【解答】解：設(shè)|PF2|=x，∵雙曲線E：=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|=3，∴a=3，b=4．c=5，∴|x﹣3|=6，解得x=9或x=﹣3（舍）．∴|PF2|=9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線中線段長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意雙曲線定義及簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用．14.某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如表：學(xué)生1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)甲班67787乙班67679則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為S2=．參考答案：0.4【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【分析】根據(jù)表中所給的兩組數(shù)據(jù)，先寫出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出兩組數(shù)據(jù)的方差，把方差進(jìn)行比較，方差小的一個(gè)是甲班，得到結(jié)果．【解答】解：由題意知甲班的投中次數(shù)是6，7，7，8，7，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7，甲班投中次數(shù)的方差是，乙班的投中次數(shù)是6，7，6，7，9，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7，這組數(shù)據(jù)的方差是∴兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為0.4，故答案為：0.415.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是

．參考答案：2【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=的幾何意義求出z的最小值．【解答】解：由不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋鐖D所示；目標(biāo)函數(shù)z=的幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)O（0，0）連線的直線斜率，由，解得A（1，2），此時(shí)z=有最小值為2．故答案為：2．16.如下圖所示，是平面圖形的直觀圖，則的面積是

參考答案：417.函數(shù)的值域?yàn)椤鴧⒖即鸢福篬-4,3]三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(1)若求的單調(diào)區(qū)間及的最小值;(2)若,求的單調(diào)區(qū)間;

(3)試比較與的大小.,并證明你的結(jié)論.參考答案：(1)0；(2)見解析；(3)見證明.【分析】（1）a＝1時(shí)，f（x）＝|x﹣1|﹣lnx，將絕對(duì)值符號(hào)化去，分類討論，再求導(dǎo)函數(shù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得f（x）的最小值；（2）將絕對(duì)值符號(hào)化去，分類討論，再求導(dǎo)函數(shù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由（1）可知，lnx≤x﹣1，從而，令x＝n2，可得，再進(jìn)行疊加，利用放縮法，即可證得結(jié)論成立．【詳解】(1)當(dāng)時(shí),，在上是遞增.當(dāng)時(shí),,.在上是遞減.故時(shí),的增區(qū)間為,減區(qū)間為,.(2)①若,當(dāng)時(shí),,,則在區(qū)間上是遞增的;當(dāng)時(shí),,,則在區(qū)間上是遞減的

②若,當(dāng)時(shí)，，,則在上是遞增的,在上是遞減的;當(dāng)時(shí),,在區(qū)間(0,a)上是遞減的,而在x=a處有意義;則在區(qū)間上是遞增的,在區(qū)間(0,1)上是遞減的

綜上:當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是(0,a);當(dāng),的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是(0,1)(3)由(1)可知,當(dāng)a=1,x時(shí),有即,則有+,故：+

.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用放縮法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中，用放縮法證明不等式是解題的難點(diǎn)．19.已知直線的極坐標(biāo)方程為，圓M的參數(shù)方程為。求：（1）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求圓M上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.參考答案：（1）

（6分）

（2）

（14分）20.某地區(qū)為調(diào)查新生嬰兒健康狀況，隨機(jī)抽取6名8個(gè)月齡嬰兒稱量體重（單位：千克），稱量結(jié)果分別為6，8，9，9，9.5，10.已知8個(gè)月齡嬰兒體重超過7.2千克，不超過9.8千克為“標(biāo)準(zhǔn)體重”，否則為“不標(biāo)準(zhǔn)體重”.(1)根據(jù)樣本估計(jì)總體思想，將頻率視為概率，若從該地區(qū)全部8個(gè)月齡嬰兒中任取3名進(jìn)行稱重，則至少有2名嬰兒為“標(biāo)準(zhǔn)體重”的概率是多少？(2)從抽取的6名嬰兒中，隨機(jī)選取4名，設(shè)X表示抽到的“標(biāo)準(zhǔn)體重”人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：(1)(2)見解析【分析】（1）計(jì)算出“標(biāo)準(zhǔn)體重”的頻率，用頻率代替概率，可知抽取名嬰兒服從于二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式可求出至少有名嬰兒為“標(biāo)準(zhǔn)體重”的概率；（2）由題意知服從于超幾何分布，利用超幾何分布求解出每個(gè)的取值所對(duì)應(yīng)的概率，從而可求得分布列，利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求得期望.【詳解】（1）抽取的名嬰兒中“標(biāo)準(zhǔn)體重”的頻率為故從該地區(qū)中任取名嬰兒為“標(biāo)準(zhǔn)體重”的概率為：設(shè)“在該地區(qū)個(gè)月齡嬰兒中任取名，至少名為‘標(biāo)準(zhǔn)體重’”為事件則：（2）由題意知，的可能取值為；；的分布列為：

【點(diǎn)睛】本題考查概率分布中的二項(xiàng)分布的概率求解、超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解問題，關(guān)鍵是能夠確定隨機(jī)變量服從的分布類型，從而確定所使用的公式，屬于常規(guī)題型.21.從橢圓上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，又點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP，，求橢圓的方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】欲求橢圓方程，只需求出a，b的值即可，因?yàn)檫^點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，所以F1O=c，由AB∥OP，可得，△PF1O與△BOA相似，所以，就此可得到一個(gè)含a，b，c的等式，因?yàn)椋詀+c=，又得到一個(gè)含a，b，c的等式，再根據(jù)橢圓中，a2=b2+c2，就可解出a，b，c，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：∵AB∥OP∴又∵PF1⊥x軸∴∴b=c由解得：∴橢圓方程為．22.（1）求證：．（2）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°；sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°．①試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；②根據(jù)①的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣