專題13幾何圖形問題一、數正方體個數【典例】如圖是由若干個大小相同的小正方體所搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數是（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9【解答】解：綜合三視圖可知，這個幾何體的底層有4個小正方體，第二層有1個小正方體，第三層有1個小正方體，因此搭成這個幾何體所用小正方體的個數是4+1+1＝6個．故選：A．【鞏固】由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的左視圖和俯視圖，如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體的個數最多是（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由俯視圖易得最底層有6個小正方體，第二層最多有3個小正方體，那么搭成這個幾何體的小正方體最多為3+6＝9個．故選：C．二、正方體的展開與折疊【學霸筆記】正方體的11種不同的展開圖“一四一”型“一三二”型“階梯”型【典例】如圖，是一個幾何體的表面展開圖．（1）該幾何體是；（2）依據圖中數據求該幾何體的體積．【解答】解：（1）由展開圖得這個幾何體為長方體，故答案為：長方體．（2）表面積：3×1×2+3×2×2+2×1×2＝22（米2），體積：3×2×1＝6（米3），答：該幾何體的表面積是22平方米，體積是6立方米．【鞏固】如圖是一個正方體的展開圖，標注了字母A，C的面分別是正方體的正面和底面，其他面分別用字母B，D，E，F表示．已知A＝kx+1，B＝3x﹣2，C＝1，D＝x﹣1，E＝2x﹣1，F＝x．（1）如果正方體的左面與右面所標注字母代表的代數式的值相等，求出x的值；（2）如果正面字母A代表的代數式與對面字母代表的代數式的值相等，且x為整數，求整數k的值．【解答】解：（1）∵正方體的左面B與右面D代表的代數式的值相等，∴x﹣1＝3x﹣2，解得x=1（2）∵正面字母A代表的代數式與對面F代表的代數式的值相等，∴kx+1＝x，∴（k﹣1）x＝﹣1，∵x為整數，∴x，k﹣1為﹣1的因數，∴k﹣1＝±1，∴k＝0或k＝2，綜上所述，整數k的值為0或2．三、疊放的幾何體求表面積或體積【典例】棱長為a的正方體，擺成如圖所示的形狀．（1）如果這一物體擺放三層，試求該物體的表面積；（2）依圖中擺放方法類推，如果該物體擺放了上下20層，求該物體的表面積．（3）依圖中擺放方法類推，如果該物體擺放了上下n層，求該物體的表面積．【解答】解：（1）6×（1+2+3）?a2＝36a2．故該物體的表面積為36a2；（2）6×（1+2+3+…+20）?a2＝1260a2．故該物體的表面積為1260a2；（3）6×（1+2+3+…+n）?a2＝3n（1+n）a2．故該物體的表面積為3n（1+n）a2．【鞏固】將一個棱長為整數的正方體木塊的表面涂紅色，然后分割成棱長為1的小正方體，若各個面未染色的小正方體有2197個，則只有兩個面染色的小正方體有個．【解答】解：∵133＝2197，∴在大正方體中未染色的部分是棱長為13的小立方體，因此大正方體的棱長為13+2＝15，棱長為15的大正方體的每一條棱上有15﹣2＝13個只有兩個面染色的小正方體，因此共有13×12＝156個只有兩個面染色的小正方體，故答案為：156．鞏固練習1．一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數字表示在該位置的小正方塊的個數，能正確表示該幾何體的主視圖的是（）A． B． C． D．【解答】解：由所給圖可知，這個幾何體從正面看共有三列，左側第一列最多有4塊小正方體，中間一列最多有2塊小正方體，最右邊一列有3塊小正方體，所以主視圖為B．故選：B．2．如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中所標數據計算這個幾何體的體積為（）A．12π B．18π C．24π D．30π【解答】解：由三視圖可得，幾何體是空心圓柱，其小圓半徑是1，大圓半徑是2，則大圓面積為：π×22＝4π，小圓面積為：π×12＝π，故這個幾何體的體積為：6×4π﹣6×π＝24π﹣6π＝18π．故選：B．3．如圖所示的正方體，如果把它展開，可以是下列圖形中的（）A． B． C． D．【解答】解：由“相間Z端是對面”可知A、D不符合題意，而C折疊后，圓形在前面，正方形在上面，則三角形的面在右面，與原圖不符，只有B折疊后符合，故選：B．4．一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀如圖所示，其中小正方形中的數字表示在該位置上的小正方塊的個數，請你畫出從正面與左面看到的這個幾何體的形狀圖．【解答】解：從正面看、左面看的圖形如圖所示：5．（1）如圖1，一個正方體紙盒的棱長為4厘米，將它的一些棱剪開展成一個平面圖形，求這個平面圖形的周長．（2）如圖2，一個長方體紙盒的長、寬、高分別是a厘米、b厘米、c厘米（a＞b＞c）將它的一些棱剪開展成一個平面圖形，求這個平面圖形的最大周長，畫出周長最大的平面圖形．【解答】解：（1）∵正方體有6個表面，12條棱，要展成一個平面圖形必須5條棱連接，∴要剪12﹣5＝7條棱，4×（7×2）＝4×14＝56（cm）．答：這個平面圖形的周長是56cm；（2）如圖，這個平面圖形的最大周長是8a+4b+2c．6．請在下面的五個方框中畫出5種不同的正方體的展開圖（經過平移或旋轉后能夠重合的，算作一種）．【解答】解：作圖如下：（答案不唯一）．7．如圖，下列幾何體是由若干棱長為1的小立方體按一定規律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），觀察該圖，探究其中的規律．（1）第1個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有個．第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有個．（2）設第n個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數為M，請用含字母n的代數式表示M；（3）求出前100個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數的和．【解答】解：（1）觀察圖形可得第1個幾何體中最底層的4個角的小立方體只有2個面涂色；第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有5×4＝20個故答案為：420…（4分）（2）觀察圖形可知：圖①中，兩面涂色的小立方體共有4個；圖②中，兩面涂色的小立方體共有12個；圖③中，兩面涂色的小立方體共有20個．4，12，20都是4的倍數，可分別寫成4×1，4×3，4×5的形式，因此，第n個圖中兩面涂色的小立方體共有4（2n﹣1）＝8n﹣4，∴M＝8n﹣4（n為正整數）…（8分）（3）（8×1﹣4）+（8×2﹣4）+（8×3﹣4）+（8×4﹣4）+（8×5﹣4）+…+（8×100﹣4）＝8（1+2+3+4+…+100）﹣100×4＝40000故前100個圖形的點數和為40000．8．（1）在如圖（1）所示的正方體表面展開圖中的三個空白正方形內各填入一個質數，使該圖復原成正方體后，三組對面上的兩數之和都相等．（2）圖（2）是由四個如圖（1）所示的正方體拼成的長方體，其中有陰影的面上為合數，無陰影的面上為質數，并且整個表面上任意兩個相鄰正方形內的數都不是圖（1）所示的正方體相對面上的兩數．已知長方體正面上的四個數之和為質數，那么其左側面上的數是（填具體數）．（3）如果把圖（2）中的長方體從中間等分成左右兩個小長方體，它們各自表面上的各數之和分別為S左和S右，那么S左與S右的大小關系是S左S右．【解答】解：（1）如圖．（2）已知長方體正面上的四個數之和為質數，任意兩個相鄰正方形內的數都不是圖（1）所示的正方體相對面上的兩數．那么可猜測正面上的四個數分別為：13，18，2，21，按照（1），13在正面，那么21應該在左側；故答案為21．同時第（2）小題中，如果正面的數從左到右依次是2，10，13，16與13，10，2，16，答案就不一樣了．同時即使左邊一個正面的數為2，那上面的數可以是16，也可以是10，故此題答案不唯一．（3）分開后，左側表面的數的和為：2（13+21+10+16+7）＝134；右側表面的數的和為：（2+16+21+7+13）+（21+10+13+2+7）＝112，∴S左＞S右．9．六盒磁帶按“規則方式”打包，所謂“規則方式”是指每相鄰兩盒必須以完全一樣的面對接，最后得到的包裝形狀是一個長方形．已知磁帶盒的大小為abc＝11×7×2（單位cm）．（1）請畫出示意圖，給出一種打包方式，使其表面積最小；（2）若不給出a、b、c的具體尺寸，只假定a≥b≥c，3問能否按照已知的方式打包，使其表面積最小？并說明理由．【解答】解：（1）設：三個面的面積記為A＝bc，B＝ac，C＝ab，①在1×6的方式下，打包方式如圖乙，這時，表面積S乙＝2C+12B+12A＝2×11×7+12×11×2+12×7×2＝586（cm2）；②在2×3的方式下，打包方式如圖丙，這時，表面積S丙＝4C+6B+12A＝4×11×7+6×11×2+12×7×2＝608（cm2）；因為S乙＜S丙，所以最小表面積的打包方式是1×6．（2）若a≥b≥c，則單疊（即1*6方式）打包的最小表面積S＝2ab+12ac+12bc；雙疊（即2*3方式）打包最小表面積S'＝4ab+6ac+12bc．所以S﹣S'＝2a（3c﹣b）．所以：當a≥b，且c≤b＜3c時，最小表面積為雙疊當a≥b＞3c時，最小表面積為單疊當a≥b＝3c時，兩種方式一樣大10．十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：（1）根據上面多面體的模型及表格中的數據：多面體頂點數（V）面數（F）棱數（E）四面體446長方體8612正八面體6812你發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是；（2）一個多面體每個頂點處都有3條棱，多面體的棱數比頂點數大10，則這個多面體的面數是；（3）某個玻璃飾品的外形是簡單的多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，每個頂點處都有3條棱，共有棱36條．若該多面體外表面三角形的個數比八邊形的個數的2倍多2，求該多面體外表面三角形的個數．【解答】解：（1）∵4+4﹣6＝2，8+6﹣12