宜昌市協作體高三期中考試

數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合A={x∣-1≤X≤2},B={y=2%,x∈a]則ArIB=(})A.[-1,2] B.(0,2]C.[-1,4] D.1,22.設i為虛數單位，若復數Z滿足Z(1+i)=2,則∣lZI-i∣=()A.1 B.√2 C.√3 D.23.CoS70。cos20o1-2sin225o等于()V3 √3 1A.B.C.-D.24 2 2.已知函數f(X)的圖象如圖所示，則該函數的解析式為( )A.f(X)=X2eX+e-XB.f(X)=eX+e-XC.X2f(X)=X2eX-e-XeX-e-XD.f(X)= X2.如圖，在平行四邊形ABC。中，A5=4,AD=3,點E是AB的中點，點F滿足BF=2定，且DF=√13，則爐?DF=( )9A.9B.-27√13D.4√146.生物體的生長都經過發生、發展、成熟三個階段，每個階段的生長速度各不相同，通常在發生階段生長速度較為緩慢、在發展階段速度加快，在成熟階段速度又趨于緩慢，按照上述三個階段生長得到的變化曲線稱為生長曲線.美國生物學家和人口統計學家雷蒙德?皮爾提出一種能較好地描述生物生長規律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用“皮爾曲線”的K函數解析式為f(x)=； (K>0,a>1,k<0),一種剛栽種的果樹的生長曲線的函數1+akx+b解析式為f(x)=10一(XWN),X表示果樹生長的年數，f(X)表示生長第X年果樹的1+3kx+b高度，若剛栽種時該果樹高為1m，經過一年，該果樹高為2.5m，則f(4)-f(3)=( )A．1B．1.5C．2D．2.5.在△ABC中，“tanAtanB=1”是“cos2A+cos2B=1”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C充要條件 D.既不充分也不必要條件\ ( 3 ( 3) 1.已知定義在R上的偶函數f(X)滿足fIX---f-X--=0,f(2022)=-,若( 2Jk2) ef(X)>f(-X)，則不等式f(X+2)>?的解集為()e2(1,+∞) B.(-∞,1)C.(-∞,3) D.(3,+∞)二、選擇：本面共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。9.已知a>b>0,bb+2則下列說法正確的是()A.C.—> aa+211a+—>b+—abB.10.a+blga+lnbD.lg——>—22 、(.CC，，兀、 已知函數f(X)=ASin(arX+φ)A>0,ar>0,1φ1<—的部分圖象如圖所示，州下列

k 2)說法正確的是()2弋a>a--b+JbA.f(x)的圖象可由g(X)=ACoSωX圖象向右平移:個單位長度得到f(X)圖象的一條對稱軸的方程為X=-5；ω(29； 17；、一 在區間∣-b，-寸上單調遞增k36 36)D.f(Q≥2的解集為駕,2^+當(k∈Z)_3 9 3_ax+1,x≤0,11.已知函數f(X)=〈口l八，若g(X)=f(f(X))+1,則下說法正確的是( )-IlogXI,X>0,2A.當a>0時，g(X)有4個零點 B.當a>0時，g(X)有5個零點C當a<0時，g(X)有1個零點 D.當a<0時，g(X)有2個零點.已知函數f(X)=(X2+1)nX-m(x2-1),則下列說法正確的是( )A.當m=-1時，曲線y=f(X)在點Qf(I))處的切線方程為y=2X-2B.若對任意的X,X∈(0,+∞)(x中X)，都有f1-f2>0，則實數m的取值范圍1 1 1 2 X-X12是(-∞,1]C當m>1時，f(X)既存在根大值又存在極小值D.當m>1時，f(x)恰有3個零點X,X,X，且XXX=11 2 3 123三、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分。4.若角α的終邊在第四象限，且cosa=一.(5兀，則tan--α14=J.一， ”、 Pa-X2 , ,, ..已知函數于(X)=Ej是奇函數,用實數ɑ的取值范圍為 .在^ABC中，NBAC=60°,點D是BC上一點，AD是NBAC的平分線，AD=2,BC=3，則△ABC的面積為..已知函數f(X)=xe3X,g(X)=X3lnX，若a>0,b>0，且f(a)=g(b)，則3a-b的最大值為 .四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。.(本小題滿分10分)已知平面向量Z2滿足2α+b=(2m+5,4),β+3^=(m+10,-3)，其中m∈R.(1)若日〃石，求實數冽的值；(2)若ZLb，求Z+b與Z-2^夾角的余弦值..(本小題滿分12分)已知關于X的不等式ax2+bX-2a+5<0的解集是｛x-1<X<3>.(1)求實數a,b的值；n1(2)若m>0,n>0，且am+bn=1,求一+-的最小值.mn.(本小題滿分12分)tanBc2 1記^ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,C, =-^-1,smB=-.tanA4 3(1)求4ABC的面積；(2)若sinAsinC= ,求b..(本小題滿分12分)已知函數f(x)=(logX>+alogX+3(a∈R).2 2(1)若a=1,求f(X)在區間1,4上的值域；(2)若關于X的方程f(X)+a=0在［1,8］上有解，求實數a的取值范圍..(本小題滿分12分) -、_.,J...兀已知函數f(X)=2sin(ωX+φ)3>一0,即|<—V 2，再從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇一個作為一組已知條件，使f(X)的解析式唯一確定.(1)求f(X)的解析式；(兀、x+-(2)設函數g(X)=f(X)+f,6):，.兀

若a∈0,-V2(a\且g5=V2)6√3

?求fV2-24),,的值.條件①：f(0)=0；條件②：f(X)圖象的一條對稱軸為X=-兀4條件③：若f(X1)=2,f(X2)=-2，且X1-X2|的最小值為2.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分..(本小題滿分12分)eX-a已知函數f(X)=——TnX+ln(a+1)(a>0)(e是自然對數的底數).X(1)當a=1時，試判斷f(X^(1,+∞)上極值點的個數；(2)當a>-?-時，求證：對任意X>1,f(X)>1.e-1 a宜昌市協作體高三期中考試?數學試卷

參考答案、提示及評分細則1.D集合A=［-1,2］，集合B=1,4,??.AnB=1,2.故選D.- 2 2(1-i)2.C由已知得Z=--7=-一—i一-=1-i，所以1Zl=√2，所以1+i(1+i)(1-i)IlZI-iI=I√2—il=√3.故選CCcos70ocos20o_sin20ocos20o_2sin400_11-2si∏225o cos500 sin400=2故選C.D由題圖知：f(X)的定義域為(-∞,0)U(0,+∞)，排除A；eX+e-X e-X+eX9)=TXr=-f(X)，故f(X)是奇函數，排除B.當f(X)=-x2—,f(-X)=(-X)2=eX—e-X e-X—eXX2 X2 =-f(X)，故f(X)= 是奇函數，eX—e-X eX—e-X排除C故選D..A 因為DF^DC-CF^AB，AD,所以^32> 1 2 > 1 2AADF2=AB--AD=ABi--ABAD+-AD2,即13=16--AB-AD+1,解得I3 ) 3 9 3一一一 一一一1一2一ABAD, ,又EF=EB+BF-AB+-AD,所以2 3> > >1Λ? >2Λ1 1 > >2 _EFDF=\AB--AD?-AB+-AD?=-AB2+-AB?AD--AD2=9,I3八2 3 )2 2 9.B根據已知f(0)=1m,f(1)=2.5m,得1+3b=10且1+3k+b=4,得b=2,k=-1,所以f(X)=告G'從而f(3)=告==30=7?5m,f(4)=τ+b=9m'所以f(4)-f(3)=1.5m.故選B.SmASmB?.A若 tanAtanB=1 '貝U - =1,即cosAcosB， .，? z4 CC 兀cosAcosB-SmASmB=cos(A+B)=-cosC=0,所以C=—2所以a+b=π,即πA=——B'所以cosA=cos2… ，fπ?,所以cos2A=cos2—-B12=sin2B=1-cos2B,當f(X)=e-X+eXeX+e-XX3X3故選A.A-B??JJ所以cos2A+cos2B=1,所以"tanAtanB=1”是“cos2A+cos2B=1”的充分條件.若cos2A+cos2B=1 , 貝Ucos2Acos2B+ =1sin2A+cos2Asin2B+cos2B即1+——1——=1tan2A+1 tan2B+1,所以tan2Atan2B=1,所以tanAtanB=1或tanAtanB=-1,所以“tanAtanB=1”不是“cos2A+cos2B=1”的必要條件，所以“tanAtanB=1”是“cos2A+cos2B=1”的充分不必要條件.故選A.8.A因為定義在R上的偶函數f(X)滿足f31 一——f-X--2)1 2rX-k/3、2=0,故)?(fx—I(3-fx+?I23?(3?二0即f,[X-2)2)(3二fχ+?I2即f(x)的周期為3.又,)f(2022)=1,故e3f(3X673+3)=e2，即e3f(3)=e2.因為f(x)>f'(-X)=-f'(X),e即f(X)+f(X)>0,故構造函數g(X)=exf(X),則g'(X)=eχ[f(X)+f(x)]>0,所以g(X)=exf(X)在R上單調遞增，且g(3)=e2.又f(X+2)>?,即eXg(X+2)>?,g(X+2)>e2=g(3)，所以X+2>3，解得X>1.故選A.eX+2 eX—. .Cbb+22(b-a) ? ,八9.BD因為a>b>0,----=4一二<0,故A錯誤；因為a>b>0,所以aa+2a(a+2)√a>Jb,工/a>aa-b,所以2√a>Ya-b+√'b,故B正確；當a=2,b=—時21 1 1 a+b12Sab1rlga+lgba+=b+，故C錯誤;因為a>b>0，所以lg--—>lg---=lg√ab= ,ab 2 2 2故D正確.故選BD.(兀、J18).r一, , ,3一4兀10.ABD由題意知A=4,-T=-4 92兀 - 2兀C”,解得T=—,所以3=—=3,所以 (4兀 \一..f(X)=4sιn(3X+φ).又點,-4在f(X)的圖象上，I9 )..(_4兀所以4sιn3×--+φI94兀3兀… ，一 兀… ，一所以——+φ=——+2k兀,k∈Z,解得φ=—+2k兀,k∈Z3 2 6一.(一 兀、以f(X)=4sin3X+-I6),,兀 兀，又?φ∣<-，所以φ=-，所

26將g(X)=4cos3X=4sin3X+—向右平移二個單位可得y=4sin3X--(一 兀、=4sin3X+—I 6)“ 、 C兀兀， ， ~=f(X)，故A正確;令3X+—=—+k兀,k∈Z,

62(k9):兀+—=-4,)2兀2)兀9兀k兀.一」、 兀k兀.一解得x=9+^3~,k∈Z，所以f(x)圖象的對稱軸的方程為x=9+^^3~,k∈Z.放B正確;(29兀17兀、 兀(9兀5兀、 一一當X∈-,-時，3X+-∈-—,-,故C錯誤；f(X)≥2,即I36 36) 6I4 4)(兀、1 π π 5兀一—一sin3x+7≥G ，所以 ~+2kπ V3x+7V ~J~+2kπ,k∈Z ,解得1 6)2 6 6 6空VXV2π+絆,k∈Z，即f(X)≥2的解集為等,2π+2kπ(k∈Z)，故D正3 9 3 3 9 3確.故選ABD.1211.AC當a>0時，令f(X)=t，所以f(t)+1=0，解得t=-或t=3或t=—-.作3a出函數f(X)的圖象，如圖1所示，易得f(X)=t有4個不同的實數解，即當a>0時，g(X)有4個零點.故A正確，B錯誤；當a<0時，令f(X)=t，所以f(t)+1=0，解得t=3或t=3.作出函數f(X)的圖象，,如圖2所示，易得f(X)=t有1個實數解D錯誤.故選AC即當a<0時，g(X)有1個零點.故C正確，f(X)=時當12BCD,.X+X2-1,所以一 X2+1f(1)=0,f'(X)=2XlnX+ +2X,X處的切線方程為y=4(X-1),即所以f'(1)=4，所以曲線y=f(X)在點(1,f(1))y=4X-4,故A錯誤；因為對任意的f(X)-f(X)八X,X∈(0,+∞)(X≠X),都有--1---J>0,所以f(X)在(0,+∞)上單調遞增，

1 2 1 2 X-X12一J一1一1一. -2mX=X2lnX+1+--2mI≥0在(0,+∞)上恒成立.令X2+1即f(X)=2XlnX+ Xh(X)=2lnX+1+--2mX2h'(X)>0,當0<X<1時,X2 J2 2(X2-1)2(X-1)(X+1)X3.當X>1時，h'(X)<0,所以h(X)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調:2貝Uh(X)=一XX3X3遞增，所以h(X)在X=1處取得最小值h(1)=2-2m，所以2-2m≥0，解得m<1,即實數m的取值范圍是(-∞,1］，故B正確；當m>1時，由B選項知，h(X) =2-2m<0,min?2 8X2-2X-2C令U(X)=4X2-2X+1-2ln2X,X>1,所以U(X)=8X-2--= >0在XX(1,+∞)上恒成立，所以u(X)在(1,+∞)上單調遞增，所以u(X)>u(1)=3-2ln2>0,所J1、.一一一一 以h =4m2-2m+1-2ln2m>0,又h(X)在(0,1)上單調遞減，所以存在12mJ(1 \廠1

12mJ,使得h(X)=0.又h(Cm)=1+—!—>0,02m所以存在X∈(,em),使得h(X)=0.所以當0<X<X又h(X)在(1,+∞)上單調遞增，時，f'(X)>0,f(X)為增函數，X∈44554當X<X<X時，f(X)<0,f(X)為減函數，當X>X時，

4 5 5f(X)既存在極大值又存在極小值，故C正確；因為f(1)=f'(X)>0,f(X)為增函數，故2+I)InI-m(2-1)=0,由C選項知f(X)>f(1)=04f(X5)<f(1)=0.當X→0時，f(X)→一∞；當X→+∞時,f(X)→+∞,故函數f(X)有三個零點，(0<X<1,X=1,X>1) .1 2 3不妨設為X,X,X,1 2 3又)f(X1)+f—1 IXj=(X2+I)InX11Q一1)+1( )1+X2 1-X2+mU—X27- ^lnX—m 11X2 1 X211(1)

卜-XFJIx2G1In一一mX1(1 )――1Ix12=(x2+I)InX1「Q+Jn…(1χ2X2+1lnX+m1—X2一1 1 1故有,一m「1 '—+1771=0,X=一，則XXX=1.即當m>1時，f(X)恰有3個零點X,X,X，且XXX=1,故3X 123 1 2 3 1231D正確.故選BCD.13.7 一一一一4一. 3 3一因為角ɑ的終邊在第四象限，且cosα==,所以Sin^=—-,tanα=一二,所

5 5 4以tan(5兀———aI4=tan兀一一a4兀tan——tana41 兀1+tan-Xtana4I4~Γ」=73)7V71—(3\1+1X\4J14.(0,1]因為1—IX+1l≠0,所以X≠0且X≠—2,a—x2≥0,得八a≤X≤Va,因為函數f(X)是奇函數，所以f(X)=—f(—X),即Ja-X2=—Ja-(-X)2

即1—IX+1I——1—I—X+1I即a——X2 v'a—X2 ： -= - ,得ix-1i+ix+1i=2恒成立，所以-1≤x≤1,所以Va≤1,即IX+1l IX—1I—10<a≤1.15 . —— 因為S+S=S ,所以2 △ABD △ADC △ABC1AB?ADsin/BAD+1AC?ADsin/CAD=1AC?ABsin/CAB ,即2 2 21ABX2X1+1ACX2X1=1AC?ABX邑,即AB+AC=3AAB?AC,由余弦定2 22 22 2 2理得 BC2=AB2+AC2—2AB?ACcos/BAC , 即39=AB2+AC2—AB?AC=(AB+AC)2—3AB?AC=-(AB?AC)2—3AB?AC,解得4ab?ac=6,所以△abc的面積為2ab?AC?sin60°=字16.3ln3-3因為f(a)=g(b),所以ae3a=b3lnb,又a>0,所以lnb>0,所以b>1.因為f(X)=Xe3X,所以f'(X)=(1+3X)e3X>0在(0,+∞)上恒成立，所以f(X)在(0,+∞)上單調遞增，又ae3a=b3lnb,所以f(a)=f(lnb),又a>0,b>1,所以a=lnb,3.3—X所以3a一b=3lnb-b,b>1.令h(X)=3lnX-X,X>1,所以h(X)=--1= ,令X Xh'(X)>0,解得1<X<3,令h'(x)<0,解得X>3,所以h(X)在(1,3)上單調遞增，在(3,+8)上單調遞減，所以h(X) =A(3)=31n3-3,所以3〃一6的最大值為3ln3-3.max17.解：(1)因為2Z+B=(2根+5,4),Z+3B=(根+10,-3),所以5%=3(2Z+?)-(β+而+3(2根+5,4)-(m+10,-3)=(5m+5,15),即Z=(根+1,3),所以3=22+3-2β=(2m+5,4)-2(m+1,3)=(3,-2).又z〃b，所以-2(m+1)-3X3=0,解得m=-11乙?(2)因為。?b,所以a?B=3(根+1)-2X3=0,解得機=1 ，所以1=(2,3)U)=(2,3)+(3,—2)=(5,1),D)=(2,3)—2(3,-2)=(-4,7),所以Ia+bI=√5+12=√26,la-2bI=￠(-4)2+72=√65,所以cos：a+b,a-(a+b)-(a-2b) -4X5+1X7 v10Ia+bI?la-2bI √26X√65 10?18.解：因為關于X的不等式aX2+bX-2a+5<0的解集是〈X-1<所以1、X<-3Ja—b—2a+5=0,1 1.一_八—a+—b—2a+5=0,[9 3所以-1和1是方程aX2+bX-2a+5=0的兩個根，所以?

3Ia=3,解得Ib=2.當a=3,b=2時，aX2+bX-2a+5<0的解集是XX-1<X<；｝,符合題意.所以a=3,b=2?(2)由(1)知a=3,b=2，所以3m+2n=1,n 1 n 3m+2n n 3m ``：n 3m CCkC又m>0,n>0,所以一+—=—+ =—+—+2≥2∣ +2=2√3+2,m n mn mn mn當且僅當-=獨，即m

mn2√3-3= n=3 ,2-<3時等號成立，所以n+1的最小值為2√3+2?mnKLltanBC2, ?SinBcosAC2,19解：(1)因為嬴A=了T'所以嬴市HA=T-1,W)所以SinBeOSA=—-1CoSBSinA,、4>C2 .所以一cos6sinA=sinBcosA+cosBsinA=sin(A+B)=sinC,4由正弦定理得IaC2cos5=c,所以〃CCOSB=4,4所以cosB>O.又SinB=；,所以COSB=(1V2√21—3J3,ac=--=3√2^,所以S=-acsinB=√2cosB λabc2 2ba(2)由正弦定理得:Sin5sinAsinC'b2ac所以SiivB—sinAsinC^SinAsinC逑—9

√23b所以硒"3'所以"=3SinB=1.20.解：(1)若〃=1,貝Ij/(X)=(IOgX)2+log

2令〃=IOgx.u∈[-1,2],所以y=“2+M+3,”w[-1,2],2 .所以y=κ2+κ+3在—1,—Ω-上單調遞減，在一2) I當K=-1時，y=(-1)2-1+3=3,當M=時,l,4?11-,2上單調遞增,2)(1V1C11——+3=—，當〃=2時,ac%+3,%∈2(y=2J24y=22+2+3=9,所以y=9,ymax min11~4111 11所以/(X)在區間-,4上的值域為—,9.4 I4(2)令"logx√∈［0,3］.若關于X的方程/(x)+α=O在［1,8］上有解，即2/-2+3—)〃+3二。在yo,3］上有解，即-E在"3］上有解.Y2+3令心)=-F'"e03]，所以/(%)二一(x+3)(x-l)(X+1)2,令g'(x)<O,解得l<x≤3,令/(x)>0,解得O≤>vl,所以g(x)在QI)上單調遞增,在(1,3)上單調遞減,所以g(x)=g(l)=-2,max又g(0)=-3,g(3)=-3,所以g(%)=-3，

min所以—3≤α≤-2,即實數。的取值范圍是[—3,—2]..解：（1）選擇條件①②：由條件①/（。）=。，所以2sinφ=0,解得φ=Bια∈Z）,,,71 八又即|<弓，所以①=。.由條件②得①XI4Jπ=kπ+-,解得3=-4左一2（左∈Z）,所以/（x）的解析式不唯一,乙不合題意；選擇條件①③：由條件①/（。）=。，所以2sinφ=0,解得φ=Kι（左∈Z）,,,71 八又所以①=0.Tπ 2π由條件③得5=3，得T=兀，所以3=^^^=2,所以/(x)=2Sin2x.乙A J-τ兀 2τc選擇條件②③：由條件③得5=5,得T=兀，所以3=?r=2,所以/(X)=2sin(2x+φ),乙 JLπ?兀又/（x）圖象的一條對稱軸為x=-“所以2χ萬π+φ= +左兀，解得φ=(k+l)π,4√π又l（pl<5，所以①=。，所以/（x）=2Sin2x.( π(2)由題意得g(x)=2sin2x+2sinIx+-\ 3π π=2sin2x+2sin2xcos—+2cos2xsin—√33π=3Sin2x+∕cos2x=2#SinIx+一,6（兀、（(a?因為g——W,所以20sinOC+-6√6√35 ，即sinaH——I6J- 兀所以Ot+—∈O則Sinfoc+1I6√3124.( 兀)sinOL+—I 6J(6?6,2因為si∏2a+—I6√(兀)+cos2α+—[6J'兀2π'U,?5 2π)兀）3巾g,又α∈（八兀）,若πα+—∈6π2π，所以α+二∈（π兀、4所以CoSα+—V6√π\=±—，

5( 兀、，所以Ce)SCL+———I 6√π（兀又α+—∈—,—6(62√45,2π)3√√√∈,又=1,、、(a所以/