湖南省株洲市醴陵黃沙鄉聯校2021-2022學年高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設函數,則在處的切線斜率為（

）A.0

B.-1

C.3

D.-6參考答案：D2.以下四圖，都是同一坐標系中三次函數及其導函數的圖象，其中一定不正確的序號是（

） A.③④

B.①②

C.②③

D.②④參考答案：A略3.設向量，，定義一運算：,已知，。點Q在的圖像上運動，且滿足（其中O為坐標原點），則的最大值及最小正周期分別是（

） A．

B．

C．

D．參考答案：B4.在中，，且，點滿足：，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C5.不等式ax2+ax﹣4＜0的解集為R，則a的取值范圍是(

)A．﹣16≤a＜0 B．a＞﹣16 C．﹣16＜a≤0 D．a＜0參考答案：C【考點】一元二次不等式的應用．【專題】計算題．【分析】由于不能確定原不等式的二次項系數的符號，故對a進行分類討論：當a=0時，不等式恒成立；當a≠0時，由題意可得△＜0，且a＜0，將這兩種情況下的a的取值范圍取并集，即為所求．【解答】解：當a=0時，不等式即﹣4＜0，恒成立．當a≠0時，由題意可得△=a2+16a＜0，且a＜0，解得﹣16＜a＜0．綜上，實數a的取值范圍是﹣16＜a≤0，故選C．【點評】本題考查二次函數的性質、函數的恒成立問題、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、分類討論思想，注意檢驗a=0時的情況，這是解題的易錯點，屬于基礎題．6.某幾何體的三視圖如圖所示，當取最大值時，這個幾何體的體積為()A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點】橢圓、雙曲線的幾何性質.【答案解析】B解析：解：由已知橢圓、雙曲線的幾何性質得，，所以，，雙曲線的漸近線方程為選B.【思路點撥】由已知橢圓、雙曲線的幾何性質可得雙曲線的漸近線方程.8.將函數的圖象上所有點向右平行移動個單位長度，再把所得的各點的橫

坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象的函數解析式是

(

)

A．

B．

C．

D.參考答案：D略9.某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知是偶函數，而是奇函數，對任意，且時,有,則的大小關系是（）A．B．

C．

D．

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓過點,且圓心在軸的正半軸上,直線被圓截得的弦長為,則圓的方程為

.參考答案：12.若函數上有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍為__________．參考答案：(-2,-1]13.已知函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是

參考答案：[，2]14.在約束條件下，函數S=2x+y的最大值為．參考答案：2【分析】有約束條件畫出可行域，對于目標函S=2x+y化成直線的一般式利用目標函數的幾何含義即可求得．【解答】解：根據線性規劃知識作出平面區域為：圖形中的陰影區域直角三角形ABC，即為不等式組表示的可行域．由于目標函數為：S=2x+y化成直線的一般式可得：y=﹣2x+S，此直線系為斜率為定值﹣2，截距為S的平行直線系．在可行域內，當目標函數過點A（）時使得目標函數在可行域內取最大值：S==2故答案為：2【點評】此題考查了線性規劃的知識，直線的方程及學生的數形結合的思想．15.若等比數列的各項均為正數，且成等差數列，則

．參考答案：16.設點(x,y)是不等式組表示的平面區域內的點，則過點(x,y)和點(－2,－4)的直線的斜率的取值范圍是_____．參考答案：【分析】作出不等式組表示的平面區域，結合圖象可得所求斜率的取值范圍.【詳解】作出不等式組表示的平面區域如圖陰影部分所示，.記，過點和點的直線的斜率為，由圖象可得，而，所以，即過點和點的直線的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查線性約束條件下可行域內的點與定點連線斜率的取值范圍，解題關鍵是作出平面區域.17.設△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，D為AB的中點，若且，則△ABC面積的最大值是

．參考答案：由b=acosC+csinA，正弦定理：sinB=sinAcosC+sinCsinA即sin（A+C）=sinAcosC+sinCsinA可得：sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA∴cosAsinC=sinCsinA，∵sinC≠0∴cosA=sinA，即tanA=1．0＜A＜180°，∴A=45°在三角形ADC中：由余弦定理可得：即2bc=4b2+c2﹣8．∵4b2+c2≥4bc，∴bc≤=那么S=bcsinA=．故答案為：．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知命題：不等式的解集為R，命題：是上的增函數，若或為真命題，且為假命題，求實數的取值范圍．參考答案：略19.已知函數，，（）．（1）求函數的極值；（2）已知，函數，，判斷并證明的單調性．參考答案：解：（1），令，得．當時，，是減函數；當時，，是增函數．∴當時，有極小值，無極大值．（2）==，由（1）知在上是增函數，當時，，即，∴，即在上是增函數．略20.在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2，BA=BS=4．（Ⅰ）證明：BD⊥平面SAD；（Ⅱ）求點C到平面SAB的距離．參考答案：【考點】MK：點、線、面間的距離計算；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）證明：AD⊥BD，SA⊥BD，即可證明BD⊥平面SAD；（Ⅱ）利用等體積方法，求點C到平面SAB的距離．【解答】（Ⅰ）證明：△ADB中，由余弦定理可得BD=2，∴BD2+AD2=AB2，∴AD⊥BD．取SD的中點E，連接DE，BE，則DE⊥SA，BE⊥SA，∵DE∩BE=E，∴SA⊥平面BDE，∴SA⊥BD，∵SA∩AD=A，∴BD⊥平面SAD；（Ⅱ）解：點C到平面SAB的距離=點D到平面SAB的距離h．△SAD中，SAD=30°，AD=SD=2，∴S△SAD==3，△SAB中，BA=BS=4，SA=6，∴S△SAB==3，由等體積可得，∴h=．【點評】本題考查線面垂直的毆打，考查點面距離，考查體積的計算，屬于中檔題．21.已知函數f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．（Ⅰ）當a=﹣時，求函數f（x）的極值；（Ⅱ）當x∈[1，+∞）時，函數y=f（x）圖象上的點都在所表示的平面區域內，求數a的取值范圍．參考答案：考點：利用導數研究函數的極值．專題：函數的性質及應用；導數的綜合應用．分析：（Ⅰ）當時，，求導；從而求極值；（Ⅱ）原題意可化為當x∈[1，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；設g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），求導=；從而求a．解答：解：（Ⅰ）當時，，；由f′（x）＞0解得0＜x＜2，由f′（x）＜0解得x＞2；故當0＜x＜2時，f（x）單調遞增；當x＞2時，f（x）單調遞減；所以當x=2時，函數f（x）取得極大值；（Ⅱ）因f（x）圖象上的點在所表示的平面區域內，即當x∈[1，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；設g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可；由=；（ⅰ）當a=0時，，當x＞1時，g′（x）＜0，函數g（x）在（1，+∞）上單調遞減，故g（x）≤g（1）=0成立；（ⅱ）當a＞0時，由，令g′（x）=0，得x1=1或；①若，即時，在區間（1，+∞）上，g′（x）＞0，函數g（x）在（1，+∞）上單調遞增函數，g（x）在[1，+∞）上無最大值，不滿足條件；②若，即時，函數g（x）在上單調遞減，在區間上單調遞增，同樣g（x）在[1，+∞）上無最大值，不滿足條件；（ⅲ）當a＜0時，由，因為x∈（1，+∞），故g′（x）＜0；則函數g（x）在（1，+∞）上單調遞減，故g（x）≤g（1）=0成立．綜上，數a的取值范圍是a≤0．點評：本題考查了導數的綜合應用及分類討論的思想應用，屬于中檔題．22.由于濃酸泄漏對河流形成了污染，現決定向河中投入固體堿。1個單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度（個濃度單位）與時間（個時間單位）的關系為。只有當河流中堿的濃度不低于1（個濃度單位）時，才能對污染產生有效的抑制作用。Ks5u

（1）如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時間有多長？

（2）當河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，此后，每一時刻河中的堿濃度認為是兩次投放的堿在該時刻相應的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值.參考答案：解：（1）--------2分-------------4分綜上，得-------------5分即若1個單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作